函数解析式的方法和习题

求函数解析式常用的方法

求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。

以下主要从这几个方面来分析。

（一）待定系数法

待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1：已知()

f x是二次函数，若(0)0,

f=且(1)()1

f x f x x

+=++试求()

f x的表达式。

小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设

f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k

x

(k≠0)；f(x)为

二次函数时，根据条件可设一般式②顶点式③双根式

练习：

1、已知ƒ(x)是一次函数,且满足3ƒ(x+1)-2ƒ(x-1)=2x+17,求ƒ(x).

2、 已知二次函数()f x 当2x =时有最大值16，它的图像截x 轴所得的线段长为8，求()y f x =的解析式.

（二）换元法

换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例2：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。

小结：已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。 注意：换元后要确定新元t 的取值范围。

练习题：

1、若2(21)2,f x x x +=-则(1)f -= ；

2、已知

221)1(x x x x x f ++=+，求f(x)；

3、已知

22(1)34f x x x

+=+-，求()f x ；

(三)配凑法

已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

例3：已知1)f x =+求()f x 的解析式。

总结：求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

练习题：

1、已知函数()2

1)1(+=+x x f ，则=)(x f ； 2、已知2211(),f x x x x

-=+求()f x .

(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。

消元法适用的范围是：题目条件中，有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

例5：设()f x 满足1()2(),f x f x x

-=求()f x 的解析式。

小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、1()f x

；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

练习题：

1、设()f x 是定义在()1,+∞上的一个函数，且有1()2()1,f x f x

=- （1）求()1f 的值；

（2）求()f x .

2、已知

()f x 满足12()()3f x f x x +=，求()f x ．

3、

()f x 满足：()2()32f x f x x --=+，求()f x

（五）赋值法

赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。 其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

例5：已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。

解析：令0,a =

则2()(0)(1)1f b f b b b b -=--=-+

令b x -=

则2()1f x x x =++

小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。 练习题：

1、已知：(0)1f =，对于任意实数,x y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求

()f x

2、设函数f(x)的定义域为R，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(1)求f(0)与f(1)的值；

(2)求证：f(1

x

)＝－f(x)；

(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q都是常数)，求f(36)的值．

总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、消元法等。如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；当已知的表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式