专题一 第4讲 导数的简单应用
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第4讲 导数的简单应用
[考情分析] 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．
考点一 导数的几何意义与计算 核心提炼
1．导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．
(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．
(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2
(g (x )≠0)． 2．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
例1 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值为( )
A.74 B ．－74 C.94 D ．－94
答案 B
解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，
∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x
， 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－12
， 解得f ′(2)＝－74
. (2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．
答案 (e,1)
解析 设A (x 0，ln x 0)，又y ′＝1x
， 则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为
y －ln x 0＝1x 0
(x －x 0)， 将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1x 0
(－e －x 0)， 化简得ln x 0＝e x 0
，解得x 0＝e ， 则点A 的坐标是(e,1)．
易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．
跟踪演练1 (1)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )
A ．a ＝e ，b ＝－1
B ．a ＝e ，b ＝1
C ．a ＝e －1，b ＝1
D ．a ＝e －1，b ＝－1 答案 D
解析 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，
所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以
⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝e －1，
b ＝－1. (2)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切，则a 等于( )
A ．e
B ．2e
C ．1
D ．2
答案 C
解析 设切点为(n ，a e n ＋n )，因为y ′＝a e x ＋1，
所以切线的斜率为a e n ＋1，
切线方程为y －(a e n ＋n )＝(a e n ＋1)(x －n )，
即y ＝(a e n ＋1)x ＋a e n (1－n )，
依题意切线方程为y ＝2x ＋1，
故⎩⎪⎨⎪⎧
a e n ＋1＝2，a e n (1－n )＝1，解得a ＝1，n ＝0. 考点二 利用导数研究函数的单调性 核心提炼
利用导数研究函数单调性的关键
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认．
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况．
例2 已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2
，a ∈R .讨论f (x )的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3
. 若a ≤0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，
x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，
若a >0，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －