物理学-第八章电磁感应 电磁场

M = dI 1 / dt
= dI 2 / dt
8-3 自感和互感
例3 两同轴长直密绕螺线管的互感 有两个长度均为l，半径 分别为 r1 和 r2 ( r1 < r2 ) ，匝数分别为 N 1 和 N 2 的同轴长直密 绕螺线管。求它们的互感M。 解：先设某一线圈中通以电流 I 求出另一线圈的磁通量 M 设半径为
r1 的线圈中有电流
0
I 1，则
1 1
B1
l
I1
0
则穿过半径为r2 的线圈磁通匝数为
N 2 21 = N 2 B1 (r12 ) = n 2 lB 1 (r12 )
把B1 代入，有：
= N 2 21 = 0 n1 n 2 l (r12 ) I 1
可得互感为：
M
21
=
N 2 21 = 0 n1 n 2 l (r12 ) I1
1 W m = LI 2 2 2 B = nI L=nV 1 2 1 2 B) 2 W m = LI = n V ( 2 n 2 2 = 1 B V = w mV 2
磁场能量密度：
wm
1 1 = Wm = B2 = H 2 = BH V 2 2 2
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
R1 R2


1 = B ( R12 22 ) = 226V R 2
盘边缘的电势高于中 心转轴的电势。
8-2 动生电动势和感生电动势
二 感生电动势
产生感生电动势的非静电场

感生电场
麦克斯韦假设：变化的磁场在其周围空间激发一种电场，这个电 场叫感生电场 E k 。
闭合回路中的感生电动势：
l


L L



点P的电势高于点O的电势
8-2 动生电动势和感生电动势

例2 导线矩形框的平面与磁感强度为B 的均匀磁场相垂直。在此矩形 框上，有一质量为m，长为l的可移动的细导体棒MN；矩形框还接有

以速度 v 0沿如图所示的矩形框运动，试求棒的速率随时间变化的函 数。
解：如图建立坐标
棒中
= Blv
由
1 LI 2 Wm= 2 R2 L= ln 2 R1
H =0
R1 < r < R 2 , H =
wm
r > R 2, H = 0 I2 1 I = H2= )2= ( 82 r 2 2 2r 2
I 2r
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
I2 W m = Vw m dV = V 2 2 dV 8 r
单位长度壳层体积：
= 2 rdr × 1 R2 I 2 I2 R 2 dr = ln Wm= R1 4 r 4 R1 dV
8-1 电磁感应定律
例 如图所示，在均匀磁场中，置有面积为S的可绕oo轴转动的N匝 线圈。若线圈以角速度 作匀速转动。求线圈中的感应电动势。 已知：S、N、

求

解：设t=0时，e
n
与
= N = NBS cos t
令
= NBS 则 = sin t
d dt
i=
R
sin t = I m sin t R
例：同轴电缆的磁能和自感 同轴电缆中金属芯线的半径为R1，共 轴金属圆筒的半径为R2，中间充以磁导率为 的磁介质。若芯线与 圆筒分别和电池两极相接，芯线与圆筒上的电流大小相等、方向相 反。设可略去金属芯线内的磁场，求此同轴电缆芯线与圆筒之间单 位长度上的磁能和自感。 解：由安培环路定理可求H
r < R1 ,
rdr
2
于是圆盘中的感应电流为：
I=
kh R 1 2 rdr = k R h dI = 2 0 4
8-3 自感和互感
一 自感电动势 自感
穿过闭合电流回路的磁通量 = LI 若线圈有N匝，磁通量 = N = LI
d dI dL = L ( I ) dt dt dt dL dI = 0 时， = L 当 dt dt dI 自感： L = / dt
=v×B



OP
l
设杆长为l
= vBdl = vBl 0
8-2 动生电动势和感生电动势

在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端O作匀速转动，试求在铜棒两端 的感应电动势。
解： d
= ( v × B ) d l = vBdl = vBdl = lBdl 0 0 1 = BL2 2
=
ln(源自文库
若导线如右图放置，根据对称性可知 = 0 得： M = 0
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
L
dI = RI dt
2

t
0
Idt =
1 LI 2
2
RI dt 0
t 2
电 源 作 功
电源反 抗自感 电动势 作的功
回路电 阻所放 出的焦 耳热
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
自感线圈磁场能量
8-1 电磁感应定律
一 电磁感应现象
法拉第（1791-1867）：伟大的英 国物理学家和化学家。他创造性地提出 场的思想，磁场这一名称是法拉第最早 引入的。他是电磁理论的创始人之一， 于1831年发现电磁现象，后又相继发现 电解定律，物质的抗磁性和顺磁性，以 及光的偏振面在磁场中的旋转。
N
S
当穿过闭合导体回路所围面积的磁通 量发生变化时，不管这种变化是由于 什么原因所引起的，回路中就有电 流。这种现象叫做电磁感应现象。回 路中所出现的电流叫做感应电流。
8-1 电磁感应定律
二 电磁感应定律
当穿过闭合回路所围面积的磁通量发 生变化时，回路中会产生感应电动势，且 感应电动势正比于磁通量对时间变化的负 值。
= k
伏特 国际单位制

= dt
韦伯
(1)闭合回路由N匝密绕线圈组成 磁通匝数(磁链)
(2)若闭合回路的电阻为R,感应电流为 I i = t = t2 1 时间内流过回路的电荷 R dt t
q= t1
t2
1 2 1 Idt = 2) R 1 d = R (1
8-1 电磁感应定律
三 楞次定律
感生电动势的方向
d dt
<0
dt
与回路绕行方向相反
>0
d <0 dt
>0
与回路绕行方向相同 当线圈有N匝时
d = N dt
8-1 电磁感应定律
楞次定律 闭合的导线回路中所出现的 感应电流,总是使它自已所激发的 磁场反抗任何引发电磁感应的原 因(反抗相对运动、磁场变化或线 圈变形等)。
且由
M N
B 2l 2 v R
棒所受安培力 F = IBl =
方向沿Ox轴反向
dv B 2l 2v = 棒的运动方程为： m dt R 2 2 v dv tB l = 则 mR dt 得 v v0 v 0
= v0 e
B2l 2 / mR ) t (
8-2 动生电动势和感生电动势
3
8-1 电磁感应定律
楞次定律是能量守恒定律的一种 表现。
要移动导线，就需要外力对它作 功，这样就把某种形式的能量转 换为其它形式的能量。 (1)稳恒磁场中的导体运动,或者回路面积变化、取向变化等 动生电动势 (2)导体不动、磁场变化

感生电动势
= Ek d l Ek


非静电的电场强度
= S B d S
l







E k d l =
S
d S

8-2 动生电动势和感生电动势
感生 电场和 静电场比较 (1)E 静 和 E k 均对电荷有力的作用。
Edl=0 d (3) 感生电场是非保守场 E d l = dt
(2) 静电场是保守场
第八章 电磁感应 电磁场
学习要求
一 掌握法拉第电磁感应定律及其物理意义，能熟练地应用法拉第电 磁感应定律计算感应电动势的大小和方向，并能应用楞次定律准确判 断感受应电动势的方向。 二 理解动生电动势，能够用动生电动势的公式计算简单几何形状的 导体，以及在匀强磁场或对称分布的非均匀磁场中运动时产生的动生 电动势。 三 理解感生电动势和感生电场（也叫涡旋电场）的概念，了解感生 电场的基本性质以及它与静电场的区别，能够计算简单的感生电场强 度及感应电动势，会判断感生电场的方向。 四 理解自感、互感的概念及现象，能够计算简单几何形状的导体回 路的自感系数、互感系数及自感电动势和互感受电动势。 五 理解磁场能量和磁能密度的概念，掌握自感磁能、互感磁能和磁 场能量的计算方法。 六 理解位移电流以和全电流的概念，了解位移电流的特性及与传导 电流的区别，掌握位移电流密度和位移电流的单间计算。 七 理解麦克斯韦电磁场理论的基本概念及麦克斯韦方程组的积分形 式，了解麦克斯韦方程组的微分形式。
8-3 自感和互感
例4 如图所示，在磁导率为 的均匀无限大的磁介质中，有一无 限长直导线，与一宽长分别为b和l的矩形线圈处在同一平面内，直 导线与线圈的一侧平行，且相距为d。求它们的互感。 解：设无限长直导线通以恒定电流I
B= d=BdS=
d
ldx ldx = ln( ) d )
M = I
R2
1
则 d = B S = Bldr

8-3 自感和互感
二 互感电动势 互感
I 1 在 I 2 电流回路中所产生的磁通量 21 = M 21 I 1 I 2 在 I 1 电流回路中所产生的磁通量
互感系数: M
12
= M 21 = M =
= I1 I2
两个线圈的互感M在数值上等于其中一个线圈中的电流为一单位 时，穿过另一个线圈所围面积的磁通量。 注意:互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、相对位置以及周 围的磁介质有关（无铁磁质时为常量）。 d 21 dI 1 d 12 互感电动势: = = M = dI 2 M = dt dt dt dt 则，互感系数为
Im=
8-1 电磁感应定律
可见，在匀强磁场 中匀速转动的线圈内的 感应电流是时间的正弦 函数，这种电流称交流 电。
8-2 动生电动势和感生电动势
一 动生电动势
动生电动势的非静电力场来源 洛伦兹力
F m = ( v × B e)




平衡时

Ek=
OP
e E k d l =
解： 如图取一半径为r，宽度为dr，高度为h的圆环。
则圆环中的感生电动势的值为：
8-2 动生电动势和感生电动势 dB = E k d l = dt d S l S dB 2 代入已知条件得： = SdS = k r dt kh
又 dR =

1 2r
hdr
所以 dI =
8-3 自感和互感
例2 有两个同轴圆筒形导体，其半径分别为 R1 和 R 2 ，通过 它们的电流均为I，但电流的流向相反。设在两圆筒间充满磁 导率为 的均匀磁介质。试求其自感。 解：两圆筒之间
如图在两圆筒之间取一长为l的面 PQRS，并将其分成许多小面元。
2r
I ldr = d = 2r R Il R 2 即： = ln 2 R1 l R2 由自感定义可求出： L = = ln 2 R1 I R2 单位长度的自感为： ln 2 R1
=
注意:无铁磁质时，自感仅与线圈形状、磁介质及匝数有关。
单位：1亨利（H）=1韦伯/安培（1Wb/A）
1mH = 10 3 H ,1 H = 10 6 H
8-3 自感和互感
自感的计算方法
例1 有一长密绕直螺线管，长度为l，横载面积为S，线圈的总 匝数为N，管中介质的磁导率为 ，试求其自感。
1
轴的半径为R2 = 2.0 × 10 m，圆盘放在磁感强度B=10T的均匀磁场中，B 3 的方向亦与盘面垂直。有两个集电刷分别与圆盘的边缘和转轴相 连。试计算它们之间的电势差，并指出何处的电势较高。
解：因为 d << R1 ，所以不计圆盘厚度。

如图取线元 d r 则

d
=(v×B)dr = vBdr = rBdr
解：先设电流I 根据安培环路定理求得 H B L

l H d = NI
l
B=
N = BS = IS l = N = NBS = N
N I l N IS l N n= l
L=
N2 = S I l
V = lS = L dI dt
2 L=nV
一般情况可用下式测量自感：
静 l l k


0
(4) 静电场由电荷产生；感生电场是由变化的磁场产生。
8-2 动生电动势和感生电动势
例4 设有半径为R，高度为h的铝圆盘，其电导率为 。把圆盘放在 磁感强度为 的均匀磁场中，磁场方向垂直盘面。设磁场随时间变k=B 化，且dB / dt 为一常量。求盘内的感应电流值。（圆盘内感应电 流自已的磁场略去不计）