第四讲交错级数与任意项级数

n
都发散， 则 (un
n 1
v ) 也发散；
n
（5）级数
u
n 1

n
收敛（发散）等价于其部分和数
；

列{Sn}收敛（发散）
n 1
rn un1 un2 都是其余项； （6）对任何级数 un 来说，
练习：
2.下列命题正确的有（）个.
#2014022508
（1）若
2 3 2 3 2 3 2 3
分析
n
lim un 0
的敛散性 .
a2 n
1 1 a2 n 1 2 3 ( 2n) (2n 1)
1 1 a2 n 1 a2 n 2 3 2 (2n 1) ( 2 n 2)
Lebnitze条件是充分的不是必要的
判别下列级数收敛的是:
un 1 lim 1; 收敛时，有 n un un 1 1 时， 当 （４）由正项级数比值法可知，
正项级数
u
n 1

un
n
收敛；
练习：
3.下列命题正确的有（）个.
n 1
#2014022509
（1）若对正项级数
un

由比值法判断其发散，
则其通项一定不趋于零．
（２）对正项级数
思考பைடு நூலகம் 级数
#2014022505
绝对收敛 ，是级数
收敛的（ ）条件。
（A）充分 （C）充要
（B）必要 （D）不确定
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
v n 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
s 1, 绝对收敛.
1 s 0, 条件收敛.
思考： 下列命题是否正确.
#2014022506
对一个收敛级数的和s来说它是无穷多个数的 “和”，也可以按照有限个数求和的运算规律进行， 比如可以交换各项的顺序。
（A）正确 （B）不正确
（C）不确定
绝对收敛级数与条件收敛级数的区别.
*定理8..
u
n 1


n
则 的部分和 {S n } 有界，
(n N ) 当
u
n 1

n
收敛；
（2）若
则
v
n 1

n
收敛时，
u
n 1
n
收敛；
当 （3）由正项级数比值法可知，
正项级数
u
n 1

n
un 收敛； 则当正项级数 n 1
u lim 1 时， u
n 1 n n
(n )

(1)当 1时, (2)当 1时, (3)当

( )n s n 1 n

( )n 收敛， s 绝对收敛 . n 1 n
( )n s n 1 n

发散，
( )n s 发散. n 1 n

(1)n 1时, s n 1 n
交错级数，
u v ，
n 1 n n 1 n


则两级数敛散性相同.
练习：
4.下列命题正确的有（）个

#2014022510
（1）级数 （2）若 （3）若 则
与广义积分 1 f ( x)dx 有相同敛散性．
n
u u
n 1 n 1 n 1

收敛， 则
u
n 1

n
也一定收敛．
n
的通项单调递减极限为零， 收敛．
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛

三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
n n 1
（A）收敛
（B）发散
例１. 讨论级数
2 2 n 1
#2014022502
sin( n a ) 的敛散性 .
（A）收敛
（B）发散
sin( n 2 a 2 ) ( 1) n sin
a 2
n2 a2 n
例2. 讨论级数
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 (2n) (2n 1)
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
n ( ) 例4. 讨论级数 s n n 1
解： 交错级数
( s 0, 0)
的敛散性 .
un
n
n
s
0
s un 1 n 1 ns n n s un (n 1) n 1
#2014022503
1 1 1 n 1 1 1) 1 (1) 2 3 4 n
1 1 1 n 1 1 2) 1 (1) 2! 3! 4! n!
1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 10 10 10 10 10n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 6 8 5 10 12 2n 1 4n 2 4n 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 2 3 4 5 6 2n 1 2n
注意到
rn un 1 .
(1) 只能借助于定义证明部 分和收敛。
(2) {S }收敛 {S }{S }都收敛到同一值。
n 2n 2 n 1
(3) {S }单调有界则收敛。
2n
证:
(1) 先证{S }收敛。
2n
S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n ) S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
注(1)
积分判别法 比值法 根值法
1
正项级数
比较法极限形式
a 2 b2 2ab, a, b R
1
发散
1
收敛
sin x x, x 0
比较法
e x 1 x, x 0
x ln(1 x ) x, x 0 1 x
部分和数列有界
二 、交错级数及其审敛法
则这两个级数的柯西乘积
u1v1 (u1 v 2 u2 v1 ) (u1v n u2 v n1 un v1 )
也是绝对收敛的，并且其和为 s .
一 数项级数
（一）基本概念
1 敛散性
注(1) 由比值或根值法判断 发散 注(2) 发散

n
lim un
u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛

sin n 的敛散性. 例3. 讨论级数 4 n 1 n

解:
sin n 1 4,而 4 n n

1 n 4 收敛 , n 1




n 1
sin n 收敛 4 n
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1 1n 1 1) ! 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 n n 收敛 1 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10 n! 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
1 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 lim(1 ) 2 n 2 3 4 5 6 2n 1 2n 2
lim s3n
n
s3n 1
s3n 2
1 s3n 2n 1
1 s3n 1 4n 2
*定理10. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S , ,
使用注意
u (1) 比值法： 与1的关系； u
n 1 n
u 与u 的大小
n n 1
(2) 差值法： u u 与0的关系；
n 1 n
(3) 利用导数： 由u 构造一可导函数 f（x），
n
使f（n） u ，利用f （x）与0关系。
n
#2014022501 ln( 1 n ) 例１. 讨论级数 (1) 的敛散性 . 1 n
u
n
练习1
#2014022511
1 数项级数 的和为 ( 2n 1)( 2n 1)
n 1
练习2
p 1 n n n n
#2014022512
设a 0, p 0且 lim [n (e 1)a ] 1, 若 a 收敛, 则p的范围
设 un 0 , n 1, 2 ,,
则各项符号正负相间的级数
形如
或
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)

n
lim un 0 ,
n 1
则级数 (1)
n 1
u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足
un un un un 设pn , qn 2 2
绝对收敛 ，则 条件收敛，则 收敛； 发散。
*定理9. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
s3n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 3 6 8 5 10 12 2n 1 4n 2 4n


a 1,0 p 1, 条件收敛，p 1绝对收敛。
练习：
1.下列命题正确的有（）个.
；
#2014022507
（1）级数各项乘以常数后其敛散性不变
（2）若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散； （3）若 lim un 0 ，则
n
u
n 1

n
收敛；

（4）若
u v
n 1 n n 1
=0
n 1
un
收敛

n 1
un
收敛
发散 发散
0
发散
绝对收敛
条件收敛
注(1)
积分判别法 比值法 根值法
1
正项级数
比较法极限形式
a 2 b2 2ab, a, b R
1
发散
1
收敛
sin x x, x 0
比较法
e x 1 x, x 0
x ln(1 x ) x, x 0 1 x
判别下列级数各项取绝对值后级数收敛的是:
#2014022504
1 1 1 n 1 1 1) 1 (1) 2 3 4 n
1 1 1 n 1 1 2) 1 (1) 2! 3! 4! n!
1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) n 10 10 10 10 10
部分和数列有界
注(2)
任意项级数
交错级数
莱布尼兹
任意级数
定义 性质
1 un 与 cun同敛散，c 0
n 1 n 1


2 收收收 收发 发 发发 待
３加，减，改变有限项， 不改敛散性
４收 收 发 发 收 待
５ｕ 收敛 ｌｉｍ ｕ ＝０ ｎ ｎ
是单调递增有界数列, 故
(2) 再证{S }收敛于S。
2 n 1
又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(3) 考查余项的性质。
(un 1 un 2 )
rn un 1 un 2 un 1
ｎ
加括号
去括号
去括号
2 和函数
①按定义求
②利用函数项级数在收敛域内某点的值求
（二）基本题型
1，判断敛散性 2，求和函数
3，求极限
注
ln n 1 (1) , 当 1时发散, 当 1时收敛； ( ) n 2 n n 2 n ln n
a n n! ( 2) n , 当a e收敛，当a e发散； n 1 n an (3) p ( p 0),当 a 1, 绝对收敛，当a 1, 发 n 1 n a 1,0 p 1, 发散，p 1收敛