拉普拉斯(Laplace)定理

行运用Laplace 定理结果． 定理结果． 为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组 ：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、 一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的 位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
=0 =0 =0 =0
只有零解． 不全为0． 只有零解．其中 a , b, c , d 不全为 ．
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
证：系数行列式
a 2 ′= b D = DD c d
a D= b c d b −a −d c c d −a −b
b −a −d c d −c b −a a b c d
k =1
证： 作一个 级的行列式 作一个2n级的行列式
a11 ⋯ a1n 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 ⋯ ann 0 D= b11 −1 ⋱ ⋯ −1 bn1
由拉普拉斯定理
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 ⋯ 0 b1n ⋯ bnn
a11 ⋯ a1n b11 ⋯ b1n D = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = aij bij an1 ⋯ ann bn1 ⋯ bnn
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
c1n ⋯ cnn b1n ⋯ bnn
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
∴ D = ( −1)1+ 2+⋯+ n+ ( n+1)+⋯+ 2 n cij ( −1)n = cij
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + ⋯ + ain r2 n , i = 1,2,⋯ , n.
可得
0 ⋯ 0 c11 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 cn1 D= b11 −1 ⋱ ⋯ −1 bn1
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
三、行列式乘法法则
设有两个n 设有两个 级行列式 a11 a12 ⋯ a1n b11 b12 a21 a22 ⋯ a2 n b21 b22 D1 = , D2 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann bn1 bn 2
⋯ ⋯ ⋮ ⋯
b1n b2 n ⋮ bnn
c11 c12 ⋯ c1n c21 c22 ⋯ c2 n 则 D1 D2 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ cn1 cn 2 ⋯ cnn n 其中 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj = ∑ aik bkj ,
i , j = 1,2,⋯ , n
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
= (a + b + c + d )
2 2 2
2 4
a , b, c , d不全为 ，有 (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )4 ≠ 0 不全为0， 由
故方程组只有零解． 即 D ≠ 0，故方程组只有零解．
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 )行， 行 元素所组成的一切k级子式与它们的 由这 k 行元素所组成的一切 级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D．即 ． 若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 行后， 为 M 1 , M 2 ,⋯ , M t ，它们对应的代数余子式分别为 它们对应的代数余子式分别为
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
i1 , i2 ,⋯ , ik ; j1 , j2 ,⋯ , jk ，则在 M 的余子式 M ′ 前
( −1)i1 + i2 +⋯+ ik + j1 + j2 +⋯+ jk 后称之为 M 的代数 后称之为 加上符号
M 3 = 1 4 = −1, 1 3 M 5 = 2 4 = 6, 0 3
它们的代数余子式为
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
2 1 = 2, M4 = 0 1 M 6 = 1 4 = −1 1 3
A1 = ( −1)
1+ 3+1+ 2
0 −1 = 0 A = ( −1)1+ 3+ 2+ 4 −1 1 = −2 , , 2 1 1 0 1
余子式， 余子式，记为 A = ( −1)
i1 + i2 +⋯+ ik + j1 + j2 +⋯+ jk
M′ .
注： ① k 级子式不是唯一的 级子式不是唯一的.
k k 级子式）． （任一 n 级行列式有 C n C n个 k 级子式）．
② k = 1 时，D中每个元素都是一个 级子式； 中每个元素都是一个1级子式 中每个元素都是一个 级子式；
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
A3 = ( −1) A5 = ( −1)
1+ 3+ 2+ 3
4+1+ 1+ 3
∴ D = (−2)i1 + 0i(−2) + (−1)i 5 + 2i 0 + 6i 0 + (−1)i0 = −7
A1 , A2 ,⋯ , At , 则 D = M 1 A1 + M 2 A2 + ⋯ + M t At. .
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
注：
① k = 1 时，D = M 1 A1 + M 2 A2 + ⋯ + M t At 按某行展开； 即为行列式 D 按某行展开；
a11 ⋯ a1k 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a ⋯ 11 ak 1 ⋯ akk 0 ⋯ 0 = ⋯ ⋯ ② D= b11 ⋯ b1r a ⋯ k1 * ⋯ ⋯ ⋯ br 1 ⋯ brr a1k ⋯ akk b11 ⋯ br 1 ⋯ ⋯ ⋯ b1r ⋯ brr
k = n 时，D本身为一个 级子式． 本身为一个n级子式 本身为一个 级子式．
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
二、拉普拉斯(Laplace)定理 拉普拉斯 定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的乘积中的每一项都是行列式 的一项，而且符号也一致． 的一项，而且符号也一致．
第二章 行列式
§1 引言 §2 排列 §3 n 级行列式 §4 n 级行列式的性质 §5 行列式的计算 §6 行列式按行(列)展开 行列式按行( §7 Cramer法则 Cramer法则 §8 Laplace定理 Laplace定理 行列式乘法法则
一、k 级子式
余子式
代数余子式
二、拉普拉斯(Laplace)定理 拉普拉斯(Laplace)定理 三、行列式乘法法则