高等代数§6.5 线性子空间

则子空间
W { k 1 1 k 2 2 k r r k i P , i 1, 2 , , r }
称为V的由 1 , 2 , , r 生成的子空间， 记作 L ( 1 , 2 , , r ) ． 称 1 , 2 , , r 为 L ( 1 , 2 , , r ) 的一组 生成元.
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是 n维向量空间Pn 的一个子 空间，称W为方程组(＊)的解空间．
注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A
( a ij ) s n
；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
例5
判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
k1 ( 1 , 2 , , r ) k r 0,
即
k1 从而 ( 1 , 2 , , n ) A1 0 k r
1 , 2 , , n 是V的一组基，
k1 A1 k r 0
n 1 (1, 0 , , 0 , 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x 1 , x 2 , , x n ), ( y 1 , y 2 , , y n )
则 ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n y n )
1 2 r
无关组，则
L ( 1 , 2 , , s ) L ( i , i , , i )
1 2 r
3、设 1 , 2 , , n 为P上n维线性空间V的一组基， A为P上一个 n s 矩阵，若
( 1 , 2 , , s ) ( 1 , 2 , , n ) A
是W的一组基，则有 W L ( 1 , 2 , , r )
2、（定理3）
1） 1 , 2 , , r ； 1 , 2 , , s 为线性空间V中的 两组向量，则 L ( 1 , 2 , , r ) L ( 1 , 2 , , s )
则 L ( 1 , 2 , , s ) 的维数＝秩(A).
证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线 性无关，并将这r 列构成的矩阵记为A1，其余s-r列 构成的矩阵记为A2， 则A＝(A1, A2)，且 秩(A1)＝秩(A)＝r， ( 1 , 2 , , r ) ( 1 , 2 , , n ) A1 下证 1 , 2 , , r 线性无关. 设 k1 1 k 2 2 k r r 0,
则对 i , i 1, 2 , , r , 有 i L ( 1 , 2 , , s )， 从而 i 可被 1 , 2 , , s 线性表出；
同理每一个 i 也可被 1 , 2 , , r 线性表出.
所以， 1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , s 等价． 反之， 1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , s 等价．
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间. 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
x1 x 2 x n 0
1 (1, 1, 0 , , 0 ),
2 (1, 0 , 1, 0 , , 0 ), ,
1 , 2 , , t ( t r ) 为它的一个极大无关组．
因为 1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , t 等价， 所以,
L ( 1 , 2 , , r ) L ( 1 , 2 , , t ).
由§3定理1，
令 W { k 1 1 k 2 2 k r r k i P , i 1, 2 , , r }
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
即 1 , 2 , Байду номын сангаас r 的一切线性 组合所成集合.
二、一类重要的子空间 ——生成子空间
定义：V为数域P上的线性空间， 1 , 2 , , r V ，
但是 ( x 1 y1 ) ( x 2 y 2 ) ( x n y n )
( x1 x 2 x n ) ( y1 y 2 y n ) 1 1 2

W 2 , 故W 不是Pn的子空间. 2
下证W3是Pn的子空间.
W是V的子空间 , W , a , b P , a b W .
证明：要证明W也为数域P上的线性空间， 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则． 由于 W V ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立． 由数乘运算 ∵ W ，∴ W . 且对 W， 封闭，有 ( 1) W，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素，4）成立． 由加法封闭，有 0 ( ) W ,即W中的零元 就是V中的零元， 3）成立．
1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , s 等价．
2）生成子空间 L ( 1 , 2 , , r ) 的维数 ＝向量组 1 , 2 , , r 的秩．
证：1）若 L ( 1 , 2 , , r ) L ( 1 , 2 , , s )
首先 0 ( 0 , 0 , , 0 ) W 3 , W 3
其次， , W 3 , k P ,
设 ( x 1 , x 2 , , x n 1 , 0 ), ( y 1 , y 2 , , y n 1 , 0 ) 则有 ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n 1 y n 1 , 0 ) W 3
例7
在Pn 中，
i ( 0 , , 0 , 1, 0 , 0 ), i 1, 2 , , n
i
n 为Pn的一组基， ( a 1 , a 2 , , a n ) P
有 a 1 1 a 2 2 a n n
故有 P
n
L ( 1 , 2 , , n )
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W
(W ) ，若W对于V中两种运算封闭，即
V
, W , 有 W ; W ,k P , 有 k W
则W是V的一个子空间．
推论：V为数域P上的线性空间,W
V (W ),
则
W 1 {( x 1 , x 2 , , x n ) x 1 x 2 x n 0 , x i P } W 2 {( x 1 , x 2 , , x n ) x 1 x 2 x n 1, x i P } W 3 {( x 1 , x 2 , , x n 1 , 0 ) x i P , i 1, 2 , , n 1}
1 , 2 , , t 就是 L ( 1 , 2 , , r ) 的一组基，
所以，L ( 1 , 2 , , r ) 的维数＝t．
推论：设 1 , 2 , , s 是线性空间V中不全为零
的一组向量， i , i , , i ( r s ) 是它的一个极大
例1
设V为数域P上的线性空间，只含零向量的
子集合 W {0} 是V的一个线性子空间，称之为V的 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． 例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,
则R[x]为V的一个子空间． 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间．
§6.5 线性子空间
一、线性子空间 二、生成子空间
一、线性子空间
1、线性子空间的定义
设V是数域P上的线性空间，集合 W V (W ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数.
L ( 1 , 2 , , r ) ，
可被 1 , 2 , , r 线性表出，
L ( 1 , 2 , , s ),
从而可被 1 , 2 , , s线性表出，即
L ( 1 , 2 , , r ) L ( 1 , 2 , , s )
例4
n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a s 1 x 1 a s 2 x 2 a sn x n 0
(＊)
k ( k x 1 , k x 2 , , k x n 1 , 0 ) W 3
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
i ( 0 , , 0 , 1, 0 , 0 ), i 1, 2 , , n 1
i
就是W3的一组基.
例6
设V为数域P上的线性空间， 1 , 2 , , r V
即 Pn 由它的一组基生成. 类似地，还有
P [ x ] n L (1, x , x , , x
2 n1
事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成.
)
n1
a 0 a1 x a n1 x

a 0 , a 1 , , a n 1 P

有关结论
1、设W为n维线性空间V的任一子空间， 1 , 2 , , r
②
又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即
k1 k 2 k r 0,

1 , 2 , , r
线性无关.
任取 j ( j 1, 2 , , s ), 将A的第j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj ，则
( 1 , 2 , r , j ) ( 1 , 2 , , n ) B j
同理可得， L ( 1 , 2 , , s ) L ( 1 , 2 , , r ) 故， L ( 1 , 2 , , r ) L ( 1 , 2 , , s ) 2）设向量组 1 , 2 , , r 的秩＝t，不妨设
设 l1 1 l 2 2 l r r l r 1 j 0 , 即
l1 ( 1 , 2 , , r , j ) 0, lr l r 1
l1 则有 ( 1 , 2 , , n ) B j l 0 r l r 1