第一章 机械振动学基础

2.周期振动
任何周期函数，只要满足条件
（1）函数在一个周期内连续或只有有限个间 断点，且间断点上函数左右极限存在； （2）在一个周期内，只有有限个极大小值； 则可展开为Fourier级数的形式。
此时：
x (t )
a0 2
a 1 cos t a 2 cos 2 t ...
b1 sin t b 2 sin 2 t ...
1.1 机械振动的运动学基本概念
1.简谐振动 位移和时间可以用时间表示：
x A cos( 2 T t ) A sin( 2 T t )
1-1
角速度 称为简谐运动的角频率或圆频率，单位 为rad/s，可表示为 2
T
它与频率f有关系式：
2 f
简谐振动的速度和加速度是位移表达式关于 时间t的一阶和二阶导数：
2 2
两个不同频率振动的全成
有两个不同频率的简谐振动
x 1 A1 sin 1 t x 2 A 2 sin 2 t
若 1 2 则合成运动为：
x x 1 x 2 A1 sin 1 t A 2 sin 2 t
对于 A 2 A1 ，这时有
x 1 A1 sin 1 t x 2 A 2 sin( 1 ) t
第一章 机械振动学基础
1.1 机械振动的运动学概念
机械振动是一种特殊形式的运动。在这种 运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡 位置作往复运动。从运动学的观点看，机 械振动是研究机械系统的某些物理量在某 一数值附近随时间t变化的规律。可用函数 表示为x=x(t); 对于周期运动，表示为x(t)=x(t+nT) 其中T为振动的周期，其倒数即为f=1/T
式中：
An a
2 n
b n tan
2
n

an bn
于是，方程（1-7）又可表示为：
x (t ) a0 2

n 1

A n sin( n t n )
(1-8)
3.简谐振动的合成
两个同频率振动的合成 有两个同频率的简谐振动
x 1 A1 sin( t 1 ) x 2 A 2 sin( t 2 )
从能量角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性 是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质 量来表示。根据牛顿第二定律，有：
F m
d x dt
2
2
质量的单位是KG。物体的质量是反映其惯性的基 本元件，质量的大小是反映物体惯性的基本物理 参数。
典型的恢复性元件是弹簧，该恢复性元件所产 生的恢复力Fs是该元件位移x的函数，即： Fs＝ Fs(x) 其作用方向与位移x的方向相反。当Fs(x)为 线性函数时，即 Fs＝－kx
（1-7)
其中：
a0 b0 bn 2 T 2 T 2 T

T
x ( t )dt
T
0
x ( t ) cos n t dt x ( t ) sin n tdt
0 T

0
对于特定的n，我们可得 a n cos n t b n sin n t A n sin( n t n )
] Im[ A e
j ( t
2
)
] ]
a Im[ Ae x
j ( t )
] Im[ A e
j ( t )
（1-5）
式（1－3）还可改为：
z Ae
j
e
j t
Ae
j t
（1－6）
式中：
A Ae
j
是一复数，称为复振幅。它包含振动的振幅两 个信息。
v x A cos( t ) A sin( t
2 2
)
2
（1-2）
a A sin( t ) A sin( t ) x
在振动分析中。有时我们用旋转矢量来表示简谐 振动，旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频 率 。若用复数来表示，则有：
1.3 自由度和广义坐标
为了建立振动系统的数学模型，列出描述其运 动的微分方程，必须确定系统的自由度数和描 述系统运动的坐标。 物体运动时，受到各种条件的限制。这些限制 条件称为约束条件。物体在这些约束条件下支 边动时，用于确定其位置所需的独立坐标数就 是该系统的自由度数。
一个质点在空间作自由运动，决定其位置 需要三个独立的坐标，自由度数为3。而由 n个相对位置可变的质点组成的质点系，其 自由度数为3n。刚体运动可以分解为随质 心的平动和绕质心的转动，需要确定其沿 直角坐标x,y,z的三个平动位移和绕x, y, z的 三个转角，所以其自由度数为6。弹性体、 塑性体和流体等变形连续体，由于由无限 个质点所组成，其自由度数有无限多个。
比例常数K称为弹簧常数或刚度系数，单位为 N/m。
阻尼力Fd反应阻尼的强弱，通常是速度的函数。 当阻尼力Fd与速度成正比时，有： Fd c x 这种阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼，比例常 数c称为粘性阻尼系数，单位为N.s/m
质量，弹簧和阻尼器是构成机械振 动系统物理模型的三个基本元件。 质量大小、弹簧常数和阻尼系数是 表示振动系统动特性的基本物理参 数。
它们的合成运动为：
x A sin( t )
式中：
A ( A1 cos 1 A 2wenku.baidu.comcos 2 ) ( A1 sin 1 A 2 sin 2 )
2 2
tan
A1 sin 1 A 2 sin A1 cos 1 A 2 cos
合成运动可表示为：
x A sin 1 t
式中：A
A1 A 2 2 A1 A 2 cos t
2 2
A1 1 (
A2 A1
)
2
2 A2 A1
cos t
1.2 构成机械振动系统的基本元素
构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢 复性和阻尼。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的 性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状 态的性质。 阻尼就是阴碍物体运动的性质。
z Ae
j ( t )
A cos( t ) jA sin( t )
（1-3）
这时，简谐振动的位移x可表示为：
x Im[ Ae
j ( t )
]
（1-4）
简谐运动的速度和加速度表示为：
v x Im[ j Ae
2 j ( t )
为了确定各质点的位置，可选取N＝3n-r个独立 的坐标： q j q j ( x 1 , y 1 , z 1 ,..., x n , y n , z n )
j 1, 2 , 3 ,..., N
来代替3n个直角坐标。这种坐标叫做广义坐标。 在广义坐标之间不存在约束条件，它们是独立的 坐标。广义坐标必须能完整地描述系统的运动， 其因次不一是长度。因为选取了个数为自由度数 N的广义坐标，运动方程就能写成不包含约束条 件的形式。
当系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时 的自由度数与约束数之差。对于n个质点组成的质 点系，各质点的位移可用3n个直角坐标 来描述。当有r个约束条件，约束方程为：
( x 1 , y 1 , z 1 ,..., x n , y n , z n )
f k ( x 1 , y 1 , z 1 ,..., x n , y n , z n ) 0 k 1, 2 ,..., r