高中数学选修1-1课时作业2：1.4.3 含有一个量词的命题的否定
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1．4.3 含有一个量词的命题的否定
一、基础达标
1．下列命题中，正确的全称命题是()
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x，x2＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
[答案] D
[解析]A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b －1)2≥0，是假命题；B、D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，所以选D.
2．下列命题既是特称命题，又是真命题的是()
A．两个无理数的和必是无理数
B．存在一个实数x，使1
x＝0
C．至少有一个实数x，使x2<0 D．有个实数的倒数等于它本身[答案] D
[解析]A项为全称命题；B项1
x
是不能为零的，故B假；C项，x2≥0，故不
存在实数x使x2<0；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D正确．3．下列特称命题是假命题的是()
A．存在实数a，b，使ab＝0；
B．有些实数x，使得|x＋1|<1；
C．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
D ．有些实数x ，使得(12)x <0.
[答案] D
[解析] A 真命题；B 真命题；C 真命题；D 假命题．
4．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )
A ．一次函数都不是单调函数
B ．非一次函数都不是单调函数
C ．有些一次函数是单调函数
D ．有些一次函数不是单调函数
[答案] D
[解析] 命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．
5．(2013·重庆，理)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为________．
(1)对任意x ∈R ，都有x 2＜0
(2)不存在x ∈R ，都有x 2＜0
(3)存在x 0∈R ，使得x 20≥0
(4)存在x 0∈R ，使得x 20＜0
[答案] (4)
[解析] 全称命题的否定是特称命题．
6．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x ≥2”的充要条件，命题q ：∀x ∈R ，
x 2＋x ＋1>0.则下列结论中正确的是________．
(1)命题“p ∧q ”是真命题
(2)命题“p ∧綈q ”是真命题
(3)命题“綈p ∧q ”是真命题
(4)命题“綈p ∨綈q ”是假命题
[答案] (3)
[解析] a ＝1⇒x ＋a x ＝x ＋1x ≥2
x ×1x ＝2，
显然a＝2时也能推出“∀x>0，x＋a
x≥2”成立，
所以“a＝1”是“∀x>0，x＋a
x≥2”的充分不必要条件，
故p是假命题，而q是真命题，故(3)正确．
7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
解(1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．
二、能力提升
8．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．[答案]存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
[解析]由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．9．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定________．
[答案]有些函数没有奇偶性
[解析]命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．故应填：有些函数没有奇偶性．
10．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案] [3,8)
[解析] 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.
又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，
故实数m 的取值范围是[3,8)．
11．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．
(1)写出命题p 的否定；
(2)当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？
解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b >0.
(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≤0，x －b >0