第9章平面图和图的着色.

q=fn/2
f=2q/n
p-q+2q/n=2 q=n(p-2)/(n-2)
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集合与图论
最大(极大)可平面图
一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再加 入一条边，新图必然是不可平面的。






图1

再加一条边就是k5，可证k5是不可平面图。
图1是最大可平面图。
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集合与图论 最大(极大)平面图的性质
由欧拉定理，2q≥6p，即q≥3p。
不满足推论9.1.4，q≤3p-6。
因此，每个平面图G中顶点度的最小值不超过
5，即(G)≤5。
考虑到每条边在两个面上， 2q≥3f，即
20≥21。矛盾。
其实直接利用推论9.1.4，任意(p,q)平面图都满足
q≤3p-6，这里p≥3。 q=10≤3p-6=9，这是不成立的。
所以K5不是可平面图。
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集合与图论
如果K3,3是平面图，则p-q+f=2，
即6-9+f=2，亦即f=5。

v3
...
v4 证 若G的一个面不是三角形, 1、假如有两点不相邻，则在此面中把不相邻的两 顶点连接起来，不影响平面性。
矛盾，因此不可能有两点不相邻。 13/55
集合与图论
v2 v1
v3
...
v4 2、假如圈上每两点都相邻; 若v1,v2和v2,v4在G中都邻接,我们可以看到这两个 边不可能不相交; 综合以上情况，最大平面图的每个面都是三角形。
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集合与图论
f≥2，G至少有一个内部面，从而G中有一个圈。
这个内部面是由这个圈围成的，从这个圈上去掉一 条边x，则打通了两个面。
G-x有p个顶点， q-1条边，f-1个面。
由归纳假设
p-(q-1)+(f-1)=2
p-q+f=2
f3

f1
u
f4
f2 v
f3

f1
u
f4
f2 v
集合与图论 第九章 平面图和图的着色
主要内容： 平面图及其欧拉公式 非哈密顿平面图(*) 库拉托斯基定理、对偶图 图的顶点着色(*) 图的边着色(*)
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集合与图论 9.1 平面图及欧拉公式



v


v

u

u

定义9.1.1 图G称为被嵌入平面S内，如果G的图解 已画在平面S上，而且任何两条边均不相交(除顶点外)。 已嵌入平面的图称为平面图。
通区域。





图1
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。 5/55
集合与图论
几点补充
(1)若平面图G有k个面，可用R1, R2, …, Rk表示.
(2) 面 Ri 的边界——包围Ri的闭通道组 (3) 面 Ri 的次数——Ri边界的长度 (4) 闭通道组是指：边界可能是 圈，也可能是闭通 道. 特别地，还可能是非连通的闭通道之并.
定理 平面图各面次数之和等于边数的两倍.
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集合与图论
如果用V表示多面体的顶点，用E表示棱，用F表示 面数，则V-E+F=2。
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个 顶点、q条边、f个面，则p-q+f=2。
证 对面数用归纳法 当f=1时，G没有内部面，所以G中无圈，G是树。
p-q+f=1+1=2 假如对一切不超过f-1个面的平面连通图欧拉公式 成立，现证f个面时的情况。
在偶图K3,3中每个圈的长至少为
4，所以2q≥4f=20，q≥10，但q=9，
矛盾。

所以K3,3不是平面图。
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集合与图论
推论9.1.6 每个平面图G中顶点度的最小值不超 过5， 即(G)≤5。
仍然用推论9.1.4，q≤3p-6。
如果G的每个顶点的度大于5，也就是≥6， 那么所有顶点的度数和大于或等于6p。
如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。
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集合与图论 几点说明及一些简单结论
一般所谈平面图不一定是指平面嵌入。但讨论 某些性质时，是指平面嵌入.
结论： (1) K5, K3,3都不是平面图(待证). (2) 设GG，若G为平面图，则G也是平面图. 由此可知，Kn(n≤4)，K2,n(n1) 都是平面图. (3) 设GG，若G为非平面图，则G也是非平面图. 由此可知，Kn(n5)，Km,n(m,n3) 都是非平面图. (4) 平行边与环不影响平面性.
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集合与图论
推论9.1.3 设G是一个(p,q)可平面连通图，而且G 的每个面都是一个长为4的圈围成的，则q=2p-4。
推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3，则q≤3p-6。
若G是2-连通的且没有三角形，则q≤2p-4。
1、因为当平面图中每个面都是三角形时其边数最 多，由推论9.1.2，则q≤3p-6。
因此面数是f时也成立。
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集合与图论 定理9.1.2 （欧拉公式的推广）设G是具有
k(k2)个连通分支的平面图，则nm+r=k+1.
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集合与图论
推论9.1.1 若平面连通图G有p个顶点q条边且每个 面都是由长为n的圈围成的，则q=n(p-2)/(n-2)。
证 因为G的每个面都是长为n的圈围成的，所 以G的每条边都在G的两个面上。
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集合与图论 平面图的内部面与外部面
f3

f2 v
f1
u

f4
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这 些区域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那 个连通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为 G的内部面。
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集合与图论
f3

f2ห้องสมุดไป่ตู้ v
f1
u

f4
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连
2、若G是2-连通的且没有三角形,则G中任意两个 顶点都在同一个圈上。
已知没有三角形，所以圈的长都是4时边数最多。
所以q≤2p-4。
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集合与图论
推论9.1.5 K5与K3,3都不是可平面图


证 如果K5是平


面图，则5-10+f=2，
即f=7。


每个面至少三条边， 7个面至少需要21条边。





v




u

最大(极大)平面图的主要性质： 定理 最大(极大)平面图是连通的.
定理 n(n3)阶最大(极大)平面图中不可能有割点 和桥.
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集合与图论
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平 面图，则G的每个面都是三角形，q=3p-6，p≥3。
v2 v1