工程塑性力学

Ep E / E 0.1时，F1 / FY 1.041 F1 1 1 p FY 1 2 E 考虑材料强化与理想塑性极限载荷差别不大
F1—并不是桁架承载能力的极限，由强化材料制成的结构不会发生塑性流动，也不存在塑性极限载荷。 强化材料制成的桁架也有三个变形阶段：弹性阶段、约束塑性阶段、自由塑性变形阶段
2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
剪应力强度=等效剪应力(由纯剪切 1 , 2 0, 3 得出 ):
J2 '
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6 1 ○定义:在 - 平面上以（ i ,0）三点中任意两点为直径端点，可做三个莫尔圆
3 后继屈服 ○ 曲线
1、材料的后继屈服曲线与先前的变形历史有关； 2、塑性变形后的屈服曲线在受载方向变尖 ，屈服载荷提高， 与此相反，在加载方向相反的一侧变钝，且屈服载荷降低； 特点 包辛格效应来源类似：晶粒的不同方向上产生不同的滑移； 3、初始、后继屈服极限均不能超出极限曲线之外（极限曲线是所 有后继屈服曲线的外包络线）； 4、三种屈服曲线都是外凸的曲线。
ij = m ij eij 应变球张量+应变偏张量=体积改变+形状改变
应变张量不变量： I1、I 2、I3 （类似应力张量不变量） 应变偏张量不变量： I1 '、I 2 '、I3（类似应力偏张量不变量） '
e11 I1 ' 0 e12 e13 e12 e22 e23 e13 e11 e23 0 0 e33 0 e11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e23 0 应变偏张量eij只与材料 e23 单元体的剪切变形有关 0
2 主剪应力:三个圆的三个半径,最大者为最大剪应力; ○ 3 移轴后的三向莫尔圆正是描述应力偏张量的三向 Mohr 圆. ○
5、三 向莫 尔圆 和洛 德参 数
莫 尔 圆
洛 德 参 数
圆心到 2之间的距离MP2 =（2 2 -1 - 3）/2
由MP2与MP 1之比确定 2在 1与 3之间的相对位置：
L 直线:主应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线（静水压力状态——不产生塑性变形） ； π平面：主应力空间中过原点而与直线 L 相垂直的平面（只有应力偏张量、不引起体积改变） 。
1）主应力空间中任一点 P 向量可表示为: OP OP 1 OP 2 平面分量+L直线分量
大小：与 J 2 '成正比 2） 平面投影OP 1 : 方向：与 有关
3、 偏张量 进一步分 解
1、 等斜面
正应变： 8 =（1 + 2 + 3）/3 2 2 2 剪应变： 8 2 8 2 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) / 3 8 I 2 '/ 3
Ni li ( —主应力)
2、主 应力 和应 力不 变量
J1 kk = 1 + 2 + 3 1 方程： ij ij 0 3 J1 2 J 2 J 3 0其中 J 2 ( ii kk ik ki )=-( 1 2 + 2 3 3 1 ) 2 J 3 ij 1 2 3
2 2 2 2 F8 8 2 J 2 '/ 3 = （1 - 2） +（ 2 - 3） +（ 3 - 1） /3 2
八面体上的剪应力: 8
金属材料的屈服条件主要取决于应力偏张量的第二不变量 J 2 ' (应力平方的量纲)
4、等 效应 力
应力强度=等效应力: J 2 ' = 2 / 3 3J 2 ' 1
第一章:金属材料的塑性性质
1 弹性与塑性的本质区别不在于应力—应变关系是否线性，而在于卸载后变形是否可恢复 ○ 2 低碳钢屈服阶段很长，铝、铜、某些高强度合金钢没有明显的屈服阶段（此时取 0.2%塑性 ○ 应变对应的应力为条件屈服应力 0.2 ） ；
1、简单 3 塑性变形量 p / E ( E 弹性模量；Et 切线模量) 一、金 拉 伸 试 ○ 4 简单拉伸件塑性时 d E d 属材 验 ○ (拉伸 d 0); d Ed (压缩 d 0) t 5 料的 ○塑性变形后反向加载（单晶体：反向也对称强化；多晶体：反向弱化—包辛格效应） 6 高温蠕变：应力不变时应变仍随时间增长的现象 ○ 塑性 塑性变形不引起体积变化 性质 1 静水压力与材料体积改变之间近似服从线弹性规律 金属材料发生大塑性变形时可忽略弹性 2 静水压 ○ 体积变化 力试验
sij sij / 2 2 2 应力偏张量： s j j m不变量J 2 ' ( s1s2 s2 s3 s3 s1 ) ( s12 s2 s3 )/2 [( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ] / 6 2 2 3 3 1 1
3
第三章-2:应变分析
1、Cauchy 关系（张量式） ： ij ( i, j j,i ) / 2
2、 xy、 yz、 zx与工程剪应变 xy、 yz、 zx相差一半 关系式能统一用张量表示
一、 格林（green）应变张量： 位移 ij (i, j j ,i +k ,i k , j ) / 2 与应 Lagrange 法：在物体变形前的初始坐标 3、描述变 变的 在小变形情况下用 Cauchy 关系式代替格林应 形的两种 中描述 关系 变张量 方法 Euler 法：在物体变形后的瞬时坐标中描述 二、 应变 张量 的分 解和 应变 张量 的不 变量 1、分解 2、 不变量
= Y +H
n
(0 n 1)
1）n=0：刚塑性材料； 2）0<n≤1：刚线性强化材料 1）弹性范围内用 Hooke 定律表达； 2）塑性范围内用幂函数表达。 1）该曲线在 =0 处的斜率为 E； 2）应力随应变的增加而趋于 Y 。
修正的鲁得维克式：
(当 Y / E ) E n Y ( E / Y ) (当 Y / E )
6、塑性变形是在体积不变的情况下产生的，静水压力不产生塑性变形； E （切线模量） 0 7、应力单调变化时有： E (弹性模量) E（割线模量） s t
简化模型 四、材 料塑 性行 2、应力、 为的 应变曲线 理想 的理想化 经验公式 化 模型
○ 1 理想弹性○ 2 理想刚塑性○ 3 刚线性强化○ 4 理想弹塑性○ 5 弹—线性强化 鲁得维克表达式：
几何大变形对结构承载能力可能产生重大影响，一旦结构进入塑性流动阶段（对理想塑性材 料）或自由塑性塑性变形阶段（对强化材料制成的结构） ，几何大变形对于结构的弹塑性性态 来说，一般是一个不可忽略的因素，甚至是一个起决定性作用的因素。
1、极限载荷值不因加载路径的不同而改变； 非比例加载 应力相同 2、达到塑性极限载荷时，所得杆件中 比例加载 应变、位移不同 3、塑性变形的加载历史很重要
d / d (此时d / d 0)
1、材料的塑性行为与时间、温度无关——研究常温静载下的材料； 2、材料具有无限的韧性； 1、 材料塑 3、变形前材料是初始各向同性的，且拉伸、压缩的真应力—自然应变曲线一致 性行为基 4、重新加载后的屈服应力（后继屈服应力）=卸载前的应力 本假设 5、应变可分解为弹性和塑性两部分： = e p
等斜面(八面体面):此平面的法线与三个应力主轴夹角相等,任一点共有 8 个此面;
Hale Waihona Puke Baidu
一、 应 力 分 析
3、等 斜面 上的 应力
2 2 八面体面受力： F8 1l1 2l2 3l3 12 2 3 2 2 2 2
法线 N 方向受力: 8
2
2 2 1l12 2l2 3l3 （1 2 3）/3= m =J1
载荷空间
以结构上作用的各独立外载作为坐标轴形成的空间称作载荷空间。
1 屈服曲线 初始弹性极限曲线，由 1 Y； 2 Y； 3 Y 确定 ○
5、 载荷平 面内的 屈服曲 线和极 限曲线
2 极限曲线 发生无限制的塑性流动：形成塑性极限曲线—极限曲线 ○
后继弹性极限曲线：塑性变形后重新加载得到的屈服曲线，残余应力与新载荷 的叠加；
2
第三章-1:应力分析
1、应 力张 量及 其分 解
柯西定理：法线为 N 的斜面上受力—— S N 1 = ij l j (张量) 应力分解： ij m ij sij 应力球张量+应力偏张量 塑性状态后：体积变形是弹性的，只与应力球张量有关，形状改变只与应力偏张量有关 主平面： S N （力）与N（法线）重合 S
○ 2 材料的塑性变形与静水压力无关
1、滑移面：晶体各层原子间发生的相对滑移总是平行于这种原子密排的平面，这种大密度平面称为滑移面。
二、塑 性变 形的 物理 基础 三、轴 向拉 伸时 的塑 性失 稳
2、滑移方向：滑移面内，原子排列最密的方向是最容易发生滑移的，称为滑移方向； 3、滑移系：每个滑移面和滑移方向构成一滑移系。 （体心立方—12；面心立方—48；密排六方—3） 1、为使晶体发生塑性变形，外加应力至少在一个滑移方向上的剪应力分量达到剪切屈服应力 Y ； 位错 刃形位错：位错运动方向与 F 平行； 螺形位错：位错运动方向与 F 垂直。 位错在晶体内的运动是塑性变形的根源； 塑性变形时位错型聚集、 杂质原则阻碍滑移造成强化。
普拉格表达式：
Y tanh( E / Y )
○ 1 等向强化：不考虑包辛格效应；
3、 强化模 ○ 2 随动强化：考虑包辛格效应且总的弹性范围大小不变（卸载时正负弹性与正常正负弹性） ； 型
○ 3 组合强化模型：介于上述两者之间
1
第二章:结构塑性性态的基本特征
1 弹性阶段 ○ 1、理想 ○ 2 约束塑性阶段 弹塑性 3 塑性流动阶段 材料的 ○ 三杆桁 4 卸载 ○ 架 5 重复加载 ○
名义应力： =F / A0 应力 真应力： =F / A 工程应变： =（l -l0）/l0 应变 自然应变/对数应变： =ln(1+ )=ln(l /l0 )
采用应变的对数定义的优点： 1、可以对应变使用加法： 2、体积不可压缩条件： 1 2 3 0 拉伸失稳条件：
方程：平衡方程、物理方程、变形协调方程 Fe 弹性极限载荷 部分结构的塑性变形要受到其余部分的限制 结构将产生无限制的塑性变形 FY 塑性极限荷载（表征了结构的极限承载能力） 服从弹性规律，静不定系统残余应变中可以含有弹性应变 挖掘出来的是结构承载潜力，而不是材料承载潜力
2、线性 强化弹 塑性材 料的三 杆桁架 3、几何 大变形 对桁架 承载能 力的影 响 4、加载 路径对 桁架内 的应力 和应变 的影响
=-1：单向拉伸 =0：纯剪切 2 2 - 1 - 3 2 s2 s1 s3 Lode参数： = = （与球张量无关） =1：单向压缩 1 - 3 s1 s3
6、应 力空 间和 主应 力空 间
1 应力空间:一点的应力状态可以用 9 维或 6 维应力空间中的一点来表示; ○ 2 主应力空间: 塑性理论 各项同性 只考虑应力大小（忽略方向） ○ 主应力空间