立体几何教学

ｚｈｏｎｇ ｇｕｏ ｍｉｎ ｚｕ ｊｉａｏ ｙｕ
中国民族教育 ２００７·９ ３ ５
名师 谈 教 学 ｍｉｎｇｓｈｉｔａｎｊｉａｏｘｕｅ
过自主探索， 认识和掌握空间图形 作为一种直观、形象的数学模型， 它
的性质， 积累数学活动的经验， 发展 在培养学生创新精神方面的价值是
空间观念和推理能力。
独特的和难以替代的。
的目的， 激发学生的理性思维， 引导
层次的学生学习几何的需要。
二、立体几何的教学策略。 学生由直观感知、操作确认到思辨
从 “立 体 几 何 初 步 ”的 教 学 要 求
立体几何与以往相比， 无论从 论证的过渡。
来看， 也是分层次和多角度的。（ １） 内容到要求， 从形式到结构都发生
探究： 着眼于促使学生独立思
从“立体几何初步”的教学内容 的结构特征， 并能运用这些特征描 象出几何图形和几何问题。
来看， 分阶段实施教学内容。（ １） 立 述现实生活中简单物体的结构。培
观察： 着重引导学生看实物模
体几何中的必修课程： 立体几何初 养学生能画出简单空间图形 （ 长方 型， 提高学生的空间想象能力， 加深
步。（ ２） 选修课程： 空间向量与立体 体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组 对所学知识的理解和记忆。借助现
的基本要求。近年来， 立体几何教学 位置关系的定义。由于我们生活在 理的素材。然而就推理来说， 既有合
的内容发生了很大的变化， 教育内 一个三维的世界中， 对于一个物体， 情推理， 又有演绎推理， 而且从数学
涵更加丰富， 随之而来的是立体几 首先感受到的是它的轮廓， 然后才 自身发展的过程来看， 即使演绎推
面平行、垂直的性质定理的证明。 面入手。
好奇心， 加深对数学的理解， 培养学
（ ４） 在选修的空间向量与立体几何
１．遵 循 “直 观 感 知－ 操 作 确 认－ 生乐于钻研、勤于思考的习惯， 激发
的内容部分， 引入“向Fra Baidu bibliotek与坐标”， 用 思 辨 论 证－ 度 量 计 算 ”的 认 识 过 程 ， 出潜在的创造力， 让学生在不断探
所以不能说是降低了几何证明的要 生活中获取知识， 并善于将学到的 生思维的积极性。使学生经过思考、
求。从上面三个阶段来看， 要求是一 知识应用于生活， 培养学生用数学 讨论后， 真正实现由感性认识向理
步一步提高的， 这样的安排更符合 视角观察世界和用数学思维思考世 性认识的过渡， 达到巩固所学知识
学生的实际认知水平， 能满足不同 界的习惯。
进程来进行的。优点是逻辑关系非 得数学结论和形成空间观念的过程 养成言必有据的理性思维习惯。
常严谨， 但没有充分考虑学生的认 中， 应当经历合情推理到演绎推理
作为教师， 要关注几何教学的
知规律、学生的思维方式， 这也是学 的过程， 从而将合情推理引入课程。 这种变化， 意识到几何教育内涵的
生学习立体几何感觉困难和吃力的 在大量的实际背景、直观操作和感 变化： 从单纯强调几何的逻辑推理
ｚｈｏｎｇ ｇｕｏ ｍｉｎ ｚｕ ｊｉａｏ ｙｕ
名师 谈 教 学 ｍｉｎｇｓｈｉｔａｎｊｉａｏｘｕｅ
３．立 体 几 何 的 分 阶 段 、分 层 次 何问题， 这无疑会帮助学生更好地 质， 直线、平面垂直的判定及其性质
和多角度的教学内容和要求。
认识客观世界。总之， 这种以学生为 都是以长方体为直观载体， 按照操
就不难发现： 几何教学的要求不是 何体开始， 利用实物模型、计算机软 个 层 次 的 认 识 过 程 的 展 开 和 实 施 。
一步到位， 而是分阶段、分层次和多 件观察大量的空间图形， 使学生归 以学生的经历从实际背景中抽象出
角度进行的。
纳 出 柱 、锥 、台 、球 及 其 简 单 组 合 体 数学模型， 从现实的生活空间中抽
名师 谈 教 学 ｍｉｎｇｓｈｉｔａｎｊｉａｏｘｕｅ
立体几何教学 内容与教学方式的变革
●北京市十一学校 张 鹤（ 特级教师）
几何学是研究现实世界中物体 能 力 。 如 ， 实 验 教 材 （ 人 教 版－ 数 学 解证明的含义， 使学生经历观察、实
的形状、大小与位置关系的数学学 ２） 先从对空间几何体的整体感受入 验 、猜 想 、证 明 等 数 学 过 程 ， 发 展 合
象能力、推理论证能力、运用图形语 习要求上。如， 借助长方体模型， 在 理 体 系 把 几 何 与 逻 辑 结 合 起 来 ， 几
言进行交流的能力以及几何直观能 直观认识和理解空间点、线、面的位 何 就 与 演 绎 推 理 结 下 了 不 解 之 缘 ，
力， 是高中阶段数学必修系列课程 置关系的基础上， 抽象出空间线、面 很久以来几何学就成为训练逻辑推
４．注 重 动 手 操 作 和 应 用 方 面 的
为了实现上述认识过程， 在教
证明的要求降低了呢？毫无疑问， 这 要求。
学中， 可以设置“观察”、“思考”、“探
种看法是片面的。只要我们从整体
加强立体几何在现实生活的应 究”等教学环节， 以确保“直观感知－
的 教 学 内 容 安 排 来 看 待 这 个 问 题 ， 用和联系。立体几何课程从空间几 操 作 确 认 － 思 辨 论 证 － 度 量 计 算 ”４
征、体积、表面积等等。基本上是按 过 直 观 感 知 、操 作 确 认 、思 辨 论 证 ， 般、从具体到抽象的过程 ， 逐步认识
照从局部到整体的原则， 这种安排 认识和理解空间中线面平行、垂直 直线与平面、平面与平面的位置关
是严格按公理化的体系， 按知识的 的有关性质与判定。要求学生在获 系， 在推理过程中渗透公理化思想，
科。人们通常采用直观感知、操作确 手， 再研究组成空间几何体的点、直 情推理能力和初步的演绎推理的能
认、思辨论证、度量计算等方法认识 线和平面。这种从整体到局部、具体 力。
和探索几何图形及其性质。认识空 到抽象的原则不仅体现在章节内容
合情推理的引入极大地丰富了
间图形， 培养和发展学生的空间想 的安排上， 也体现在具体内容的学 几何教育价值的内涵。欧几里得公
特点。
养学生的空间想象能力、几何直观 理的要求发生了一些变化， 从纯粹
１．立 体 几 何 的 内 容 安 排 遵 循 从 能力， 符合学生的认知规律， 有助于 的 演 绎 推 理 转 向 较 少 的 演 绎 推 理 ，
整体到局部、具体到抽象的原则。 提高学生学习立体几何的兴趣。 更 多 地 强 调 从 具 体 情 境 和 前 提 出
股定理到勾股数， 不可公度问题、欧 画出它们的直观图， 用两种方法（ 平 察模型时， 应引导学生学会有目的
几 里 得 与 《几 何 原 本 》， 演 绎 逻 辑 系 行投影与中心投影） 画出某些建筑 地、有序地、全面地观察模型体现的
统 ， 第 五 公 设 问 题 ， 尺 规 作 图 ， 公 理 的视图与直观图。学生在动手实践 点、直线、平面之间的关系。
原因之一。
受的基础上， 引导学生归纳、概括出 转 变 为 合 情 推 理 与 逻 辑 推 理 并 重 ，
我们更应该通过对整体图形的 定理， 让学生感受公理化思想（ 而不 从而将这种理念和要求更好地贯穿
把握去培养和发展学生的空间想象 是进行严格的公理化的训练） 和了 于教学的全过程中。
３ ４ 中国民族教育 ２００７·９
对几何体的认识， 依赖于学生的直 了较大的变化。核心是理念的变化、 考和自主探索， 让学生在讨论的基
观感受， 不作任何推理的要求。（ ２） 几何教育价值观的改变， 而最突出 础上发现问题和解决问题； 安排适
以长方体为载体 （ 包括其他的实物 的就是由逻辑推理到合情推理与逻 量的、具有一定探索意义和开放性
以往立体几何内容的安排， 都
２．强 调 几 何 直 观 ， 渗 透 公 理 化 发， 进行合情推理； 从单纯强调几何
是从研究构成空间几何体的基本要 思想， 引进合情推理， 进行适当的几 的逻辑推理， 转向更全面地体现几
素： 点、直线和平面开始。先讲述平 何推理。
何的教育价值， 特别是几何在发展
面 及 其 基 本 性 质 ， 点 、直 线 、平 面 之
化 思 想 对 近 代 科 学 的 深 远 影 响 ） 。 的 过 程 中 体 会 、感 受 、经 历 ， 从 而 增
思考： 侧重于从学生的实际生
（ ３） 专 题 ７： 千 古 谜 题— ——伽 罗 瓦 的 加对几何体的认识和对客观世界的 活和生产实际中提出与数学有关的
解 答 （ 几 何 作 图 三 大 难 题 ） 等 内 容 ， 认识， 参与知识的形成过程。善于从 问题， 放手让学生去想去议， 调动学
高中立体几何课程历来以培养 学 生 空 间 观 念 ， 以 及 观 察 、操 作 、试
间位置关系和有关公理、定理， 再研 逻辑思维能力为主要目标 ， 新的教 验、探索、合情推理等“过程性”方面
究由它们组成的几何体（ 包括棱柱、 材通过几何直观来落实空间想象能 的教育价值。因此， 在立体几何的教
棱 锥 、圆 柱 、圆 锥 、台 、球 ） 的 结 构 特 力的培养和空间观念的建立。如通 学中， 就要使学生经历从特殊到一
可 以 展 现 丰 富 多 彩 的 图 形 世 界 ， 增 验 、猜 想 、证 明 等 数 学 活 动 ， 发 展 合
加课堂信息容量、提高学生学习兴 情推理和初步的演绎推理能力， 让
趣， 帮助学生抽象出空间图形、动态 学 生 通 过 合 情 推 理－ 演 绎 推 理 的 过
演示空间几何体的三视图和直观 程获得结论。
模 型 、身 边 的 实 际 例 子 ） 对 图 形 （ 模 辑推理并重的变化。据此， 教师在教 的问题， 给学生比较充分的思考空
型 ） 进 行 观 察 、实 验 和 说 理 ， 引 入 合 学策略上要更新观念去积极适应这 间和时间。在借助图形直观进行合
情推理。（ ３） 严格的推理证明。如线 种变化， 笔者认为应从以下几个方 情推理的过程中 ， 增强学生探究的
与传统立体几何的教学内容相 主体的分阶段、分层次、多角度的教 作加以确认， 用精确语言表达， 再将
比， “立体几何初步”教学部分删掉 学 设 计 有 助 于 学 生 数 学 能 力 的 培 直线、平面平行和垂直的性质定理
了许多定理， 剩下的又有一半不作 养。
进行严密的论证和计算。
证明要求， 那么， 是不是对立体几何
２．运 用 现 代 信 息 技 术 ， 展 示 丰
３．渗 透 公 理 化 思 想 ， 培 养 合 情
富的教学直观图形， 促进空间想象 推理与演绎推理并举的能力。
能力和空间观念的建立。
归纳和类比是合情推理的主要
立 体 几 何 利 用 现 代 信 息 技 术 ， 形 式 。 要 试 图 使 学 生 经 历 观 察 、实
它们处理线与线、线与面、面与面的 充分利用“观察”、“思考”、“探究”等 索与创造的氛围中培养和发展解决
交角以及点到线、点到面的距离， 使 环节开展教学活动。
问题的能力， 体会数学的价值。
几何问题代数化， 处理几何问题方
空间点、直线、平面的位置关
以 上 “观 察 ”、“思 考 ”、“探 究 ”等
法多样化， 从多视角去认识立体几 系， 直线、平面平行的判定及其性 教学环节， 让学生在学习过程中， 通
几 何 （ 理 科 要 求 ） 选 修 课 程 ， 数 学 史 合） 的三视图， 能够识别上述的三视 代信息技术工具， 看表现空间点、直
选讲中的部分专题。如专题 ２： 古希 图所表示的立体模型， 会使用材料 线 与 平 面 位 置 关 系 的 各 种 图 形 ， 获
腊数学（ 毕达哥拉斯多边形数， 从勾 （ 如纸板） 制作模型， 会用斜二侧法 得丰富的感性材料。在引导学生观
何的教学方式必须做出相应的调整 会对它的侧面、边角感兴趣。这种先 理 也 并 非 “几 何 ”所 独 有 ， 它 广 泛 存
和变革， 以适应这种变化。
由 整 体 上 认 识 空 间 几 何 体 的 安 排 ， 在于数学的各个分支中。２０ 世纪 ８０
一、立体几何教学内容的 更有助于发展学生的空间观念， 培 年代以来， 国际数学教育对几何推
图、认识立体图形与平面图形的关
从以往的教学实践来看， 高中
系， 帮助学生建立空间概念、提高空 学生普遍对立体几何的学习感到困
间想象能力和几何直观能力。因此， 难， 究其原因主要有： 学生的实际感
尽可能通过使用现代信息技术制作 知及所具有的数学能力一时难以适