高中数学第二章数列等比数列的前n项和学案人教复习

2.3.2 等比数列的前n 项和(二)

[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关问题．

[知识链接]

上一节我们学习了等比数列的前n 项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n 项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？ [预习导引]

1．等比数列的前n 项和的变式

(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1q n －1q －1＝

a 1－a n q 1－q ＝a 1q n q －1－a 1

q －1

； 当q ＝1时，S n ＝na 1.

(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n

1－q ，它可以变形为S n ＝－

a 1

1－q

·q n

＋

a 1

1－q

，设A ＝

a 1

1－q

，上式可写成S n ＝－Aq n

＋A .由此可见，非常数列的等比数列的

前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1的相应函数是正比例函数(常数项为0的一次函数)．

2．等比数列前n 项和的性质

(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列(注意：q ≠－1或m 为奇数)． (2)S m ＋n ＝S m ＋q m

S n (q 为数列{a n }的公比)． (3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则

S 偶

S 奇

＝ q .

要点一 等比数列前n 项和S n 的函数特征 例1 设f (n )＝2＋24

＋27

＋…＋23n ＋1

(n ∈N ＋)，则f (n )等于( ) A.27

(8n

－1) B.27

(8n ＋1

－1)

C.27(8n ＋2

－1) D.27

(8n ＋3

－1) 答案 B

解析 f (n )＝2＋24

＋27

＋…＋23n ＋1

＝

21－8n ＋1

1－8

＝27

(8n ＋1

－1)． 规律方法 数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n 项和公式都是关于n 的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法． 跟踪演练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1

＋t ，则t ＝________.

答案 －1

3

解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n

＋t ，∴t ＝－13.

要点二 等比数列前n 项和性质的应用

例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2

n ＋S 2

2n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．

证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1， ∴S 2

n ＋S 2

2n ＝n 2a 2

1＋4n 2a 2

1＝5n 2a 2

1，

S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，

∴S 2

n ＋S 2

2n ＝S n (S 2n ＋S 3n )． 当q ≠1时，S n ＝a 1

1－q

(1－q n

)，

S 2n ＝a 11－q (1－q 2n

)， S 3n ＝

a 1

1－q

(1－q 3n

)，

∴S 2

n ＋S 2

2n ＝(a 1

1－q )2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2

]

＝(a 1

1－q

)2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n

)． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝(a 1

1－q )2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n

)，

∴S 2

n ＋S 2

2n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．

方法二 根据等比数列性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n

S n ， ∴S 2

n ＋S 2

2n ＝S 2

n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n

)，

S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n

)．

∴S 2n ＋S 2

2n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．

规律方法 运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．

跟踪演练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，

由已知得?

????

a 11－q n

1－q

＝48， ①

a

1

1－q 2n

1－q

＝60， ②

②÷①得1＋q n ＝54，即q n

＝14，

③

将③代入①得a 1

1－q

＝64， 所以S 3n ＝a 11－q 3n 1－q ＝64×(1－1

4

3)＝63.

要点三 等差、等比数列前n 项和的综合问题

例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，在数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，

b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .

解 (1)由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －

1

(n ≥2)，

又a 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，

∴{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＝2n

. ∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列，∵b 1＝1，∴b n ＝2n －1. (2)∵T n ＝1×2＋3×22

＋5×23

＋…＋(2n －3)2

n －1

＋(2n －1)2n

， ①

∴2T n ＝1×22

＋3×23

＋5×24

＋…＋(2n －3)2n

＋(2n －1)·2n ＋1

， ②

①－②得：

－T n ＝1×2＋2(22

＋23

＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1

＝2＋2·22

－2n

·21－2－(2n －1)2n ＋1

＝2＋4·2n

－8－(2n －1)2n ＋1

＝(3－2n )·2

n ＋1－6，

∴T n ＝(2n －3)·2

n ＋1

＋6.

规律方法 等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．

跟踪演练3 在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的一个等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n

n 最大时，求n 的值．

解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 2

3＋2a 3a 5＋a 2

5＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.又a 3与a 5的一个等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n

.

(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1，

∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴b n ＝－n ＋5. ∴S n ＝

n 9－n

2，∴S n n ＝9－n

2，

∴当n ≤8时，S n

n

>0；

当n ＝9时，S n

n ＝0；当n >9时，S n n

<0. ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n

n

最大．

1．在等比数列中，已知a 1＋a 2＋a 3＝6，a 2＋a 3＋a 4＝－3，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7等于( ) A.118 B.1916 C.98 D.34 答案 A

解析 由a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝a 21＋q ＋q 2a 11＋q ＋q 2

＝a 2a 1＝q ＝－12

， 又由a 1＋a 2＋a 3＝6，且q ＝－1

2，

∴a 1＝8，可得a 2＝a 1q ＝8×(－1

2

)＝－4，

∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝S 7－a 1－a 2＝a 11－q 71－q －8－(－4)＝11

8

.

2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n

－1(a 是不为零且a ≠1的常数)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列

C ．或者是等差数列，或者是等比数列

D ．既非等差数列，也非等比数列 答案 B

解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1

；

当n ＝1时，a 1＝a －1，∴a n ＝(a －1)·a n －1

，n ∈N ＋.

∴

a n ＋1

a n

＝a . 3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A ．180 B ．108 C ．75 D ．63

答案 D

解析 由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48,12,3，即S 21－S 14＝3，∴S 21＝63. 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n

＋k ，则实数k ＝________. 答案 －1

解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n

＋k )－(3n －1

＋k )

＝3n

－3

n －1

＝2·3

n －1

.

由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1.

1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列. 2．等比数列中用到的数学思想

(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论； ②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0

q >1或a 1>0，0

(2)函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1

＝a 1

q

·q n

(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等

比数列的S n ＝

a 1

q －1·(q n

－1) (q ≠1)．设A ＝a 1

q －1

，则S n ＝A (q n

－1) 也与指数函数相联系．

(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把q n，

a1

1－q

当成整体求解．