几何概型的经典题型及答案

几何概型的常见题型及典例分析

一．几何概型的定义

1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域

的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几

何概率模型，简称几何概型.

2．特点：

（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基

本事件）有无限多个；

（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等.

3

．计算公式：.)(积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随

机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.

4．古典概型和几何概型的区别和联系：

（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.

（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型

的基本事件是无限的；

②两种概型的概率计算公式的含义不同.

二．常见题型

（一）、与长度有关的几何概型

例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.

所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多

个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件

的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，

符合几何概型的条件.

解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos

2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322

x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3

2， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2

1之间的概率为 31232

===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.

例2、 如图两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，

想在其间再随意安装两盏路灯,问A 与与D 之间的距离都

不小于10米的概率是多少？

思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基

本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是

几何概型．

解 记 E ：“A 与与D 之间的距离都不小于10米”，

把三等分，由于中间长度为30×3

1=10米， ∴313010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几

何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都

一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域

内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何

概型来求解．

例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于

弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画

的弦的长度不小于R 的概率。

思考方法：由平面几何知识可知，垂

直于弦的直径平分这条弦，所以，题

中的等可能参数是平行弦的中点，它

等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G

是一维空间（即直线）上的线段，而有利场合所对应的区

域是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。

图1-2图1-1

[解法1].设与E 1F 1是长度等于R 的两条弦，直径垂直于和

E 1

F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。依题设条件，样

本空间所对应的区域是直径，有L(G)2R ，注意到弦的长度

与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是1，

有

1()2K L G KK OK ====

以几何概率公式得()()22

A L G P L G R ===。 [解法2].如图1-1所示，设园O 的半径为R, 为诸平行弦

中的任意一条，直径⊥弦，它们的交点为K ，则点K 就是

弦的中点。设，则 x ∈[], 所以 L(G)=2R

设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利

场合是 R ≥,

解不等式，得

x 2R ≤ 所以 ()22

A L G R ==

于是 ()P A =

=[评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参

数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直

接看出。两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知

识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几

何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，

但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问

题。

例4、 在长为12的线段上任取一点M ，并以线段为边作

正方形，求这个正方形的面积介于362 与812之间的概率．

分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化

为在12长的线段上任取一点M ，求使得的长度介于6与9

之间的概率．

解：记“面积介于362 与812之间”为事件A ，事件A 的

概率等价于“长度介于6与9之间”的概率，所以，P(A)= 9612 =14

小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。

练习：

2、已知地铁列车每10 一班，在车站停1 ，则乘客到达

站台立即乘上车的概率是( )

解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有

结果构成的区域长度为10 ，而构成事件A 的区域长度为

1 ，故P (A )＝.答案：A

3、已知集合A {－10}，在集合A 中任取一个

元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是．

解析：由题意得A ＝{－1

概型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率

为P ＝.答案：

4、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车