3.1.2两条直线平行与垂直的判定
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3.1.2两条直线平行与垂直的判定
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上 方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
k=tan α
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式:
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
一、复习题
1.若直线过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线的斜
率为
,倾斜角为
.
2.斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，
则a、b的值分别为
.
二、导入新课 问题一：平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？
问题二：两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？ 反过来是否成立？
问题三：“α=β”时“tanα=tanβ”是否成立？ 反过来是否成立？
问题四：根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定 两条直线平行或垂直呢?
三、新知探究：
探究问题一：假设 l1与 l2 的斜率都存在 直线 l1 // l2 时， k1 与 k2 满足什么关系？
两直线平行 l1 // l2
同位角相等1 2
解 : kAB
63 3 (6)
2 3
kPQ
6 3 60
3 2
kAB • kPQ -1 BA PQ
例题讲解
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解
:
k AB
1 (1) 15
1 2
y
C
kBC
3 1 2 1
3、当k1不存在时，另一条斜率为K2=0， l1 l2
4、当k 、k 都存在时， k1 • k2 1 l1 l2
课后思考练习
1、已知直线l 的倾斜角是α，且450≤α≤1350,
求直线的斜率k的取值范围。
2、已知直线l 的斜率是k，且0≤k≤1,求直线l
的倾斜角α的取值范围。
y
l2
l1
O
α1
α2 x 2 1 90o
tan2 tan 1 90o
1
tan 1
k1k2 1
三、新知探究：
探究问题二：假设 l1与 l2 的斜率都存在
l1 l2 k1 • k2 1
l
yl
2
1
y l1
o
O
x
思考：如果 l1 与 l2 的斜率不存在呢？
小结: 利用倾斜角和斜率(都存在)的定义推导了 两条直线平行与垂直的判定方法：
l1 // l2 k1 k2
l1 l2 k1 • k2 1
强调:1、两直线有可能重合时 k1 k2
l1 // l2 或l1与l2重合
2、当两条直线的斜率都不存在时，则两条直线也是 平行或重合的。
0.5
QA P
因为 kBA kPQ.所以直线BA∥PQ. B
0
x
例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0， 0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试 判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
解:
k AB
1 0 20
1 2
kBC
2 (1) 42
3 2
kCD
1 2
3 kDA 2
kAB kCD , kBC kDA
ຫໍສະໝຸດ Baidu
AB∥CD, BC∥ DA
y
D C
A
O
B
因此四边形ABCD是平行四边形.
三、新知探究：
探究问题二：假设 l1与 l2 的斜率都存在 直线 l1 l2 时， k1 与 k2 满足什么关系？
y l1
o
l2 x
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 (α1、α2≠90°)
2
B
kAB • kBC 1
O
x
AB BC 即ABC 900
A
因此ABC是直角三角形.
练习 下列哪些说法是正确的（C）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2； B、若直线l1 ∥ l2，则两直线的斜率相等； C、若两直线l1和l2中，一条斜率存在，另一条斜 率不存在，则l1和l2相交； D、若直线l1和l2斜率都不存在，则l1 ∥ l2； E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置关系， 分析： 判断直线BA与PＱ的位置关系
BA与PＱ的斜率有什么关系
分别求出BA与PＱ的斜率 直线过两点求其斜率的公式：K y2 y1
x2 x1
解:直线BA的斜率
kBA
30 2 (4)
0.5
y
直线PQ的斜率
kPQ
2 1 1 (3)
l1 // l2 k1 k2
(2)直线l1, l2可能重合时,如果斜率存在,则:
k1
k2
l1 // l2 , 或l1与l2重合.
(3)直线l1, l2斜率均不存在时,则:
k1
k2
l1 // l2 , 或l1与l2重合.
类型一：两条直线平行
例1 已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），
正切值相等 tan1 tan2
斜率相等 k1 k2
反之成立吗？
k1 k2
l1//l2 或 l1与l2重合
因此两条直线不重合,斜率都存在时
l1 // l2 k1 k2
l l 如果 与 的斜率都不存在呢？ 12
综上所述：两条直线平行的判定:
(1)两条不重合的直线l1, l2,如果斜率存在,则:
l2 x
综上所述：两条直线垂直的判定:
(1)两条直线l1, l2,如果斜率存在,则:
l1 l2 k1 • k2 1
(2)直线l1, l2中有一个斜率不存在、 一个斜率为0时，则:
l1 l2
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上 方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
k=tan α
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式:
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
一、复习题
1.若直线过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线的斜
率为
,倾斜角为
.
2.斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，
则a、b的值分别为
.
二、导入新课 问题一：平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？
问题二：两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？ 反过来是否成立？
问题三：“α=β”时“tanα=tanβ”是否成立？ 反过来是否成立？
问题四：根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定 两条直线平行或垂直呢?
三、新知探究：
探究问题一：假设 l1与 l2 的斜率都存在 直线 l1 // l2 时， k1 与 k2 满足什么关系？
两直线平行 l1 // l2
同位角相等1 2
解 : kAB
63 3 (6)
2 3
kPQ
6 3 60
3 2
kAB • kPQ -1 BA PQ
例题讲解
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解
:
k AB
1 (1) 15
1 2
y
C
kBC
3 1 2 1
3、当k1不存在时，另一条斜率为K2=0， l1 l2
4、当k 、k 都存在时， k1 • k2 1 l1 l2
课后思考练习
1、已知直线l 的倾斜角是α，且450≤α≤1350,
求直线的斜率k的取值范围。
2、已知直线l 的斜率是k，且0≤k≤1,求直线l
的倾斜角α的取值范围。
y
l2
l1
O
α1
α2 x 2 1 90o
tan2 tan 1 90o
1
tan 1
k1k2 1
三、新知探究：
探究问题二：假设 l1与 l2 的斜率都存在
l1 l2 k1 • k2 1
l
yl
2
1
y l1
o
O
x
思考：如果 l1 与 l2 的斜率不存在呢？
小结: 利用倾斜角和斜率(都存在)的定义推导了 两条直线平行与垂直的判定方法：
l1 // l2 k1 k2
l1 l2 k1 • k2 1
强调:1、两直线有可能重合时 k1 k2
l1 // l2 或l1与l2重合
2、当两条直线的斜率都不存在时，则两条直线也是 平行或重合的。
0.5
QA P
因为 kBA kPQ.所以直线BA∥PQ. B
0
x
例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0， 0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试 判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
解:
k AB
1 0 20
1 2
kBC
2 (1) 42
3 2
kCD
1 2
3 kDA 2
kAB kCD , kBC kDA
ຫໍສະໝຸດ Baidu
AB∥CD, BC∥ DA
y
D C
A
O
B
因此四边形ABCD是平行四边形.
三、新知探究：
探究问题二：假设 l1与 l2 的斜率都存在 直线 l1 l2 时， k1 与 k2 满足什么关系？
y l1
o
l2 x
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 (α1、α2≠90°)
2
B
kAB • kBC 1
O
x
AB BC 即ABC 900
A
因此ABC是直角三角形.
练习 下列哪些说法是正确的（C）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2； B、若直线l1 ∥ l2，则两直线的斜率相等； C、若两直线l1和l2中，一条斜率存在，另一条斜 率不存在，则l1和l2相交； D、若直线l1和l2斜率都不存在，则l1 ∥ l2； E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置关系， 分析： 判断直线BA与PＱ的位置关系
BA与PＱ的斜率有什么关系
分别求出BA与PＱ的斜率 直线过两点求其斜率的公式：K y2 y1
x2 x1
解:直线BA的斜率
kBA
30 2 (4)
0.5
y
直线PQ的斜率
kPQ
2 1 1 (3)
l1 // l2 k1 k2
(2)直线l1, l2可能重合时,如果斜率存在,则:
k1
k2
l1 // l2 , 或l1与l2重合.
(3)直线l1, l2斜率均不存在时,则:
k1
k2
l1 // l2 , 或l1与l2重合.
类型一：两条直线平行
例1 已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），
正切值相等 tan1 tan2
斜率相等 k1 k2
反之成立吗？
k1 k2
l1//l2 或 l1与l2重合
因此两条直线不重合,斜率都存在时
l1 // l2 k1 k2
l l 如果 与 的斜率都不存在呢？ 12
综上所述：两条直线平行的判定:
(1)两条不重合的直线l1, l2,如果斜率存在,则:
l2 x
综上所述：两条直线垂直的判定:
(1)两条直线l1, l2,如果斜率存在,则:
l1 l2 k1 • k2 1
(2)直线l1, l2中有一个斜率不存在、 一个斜率为0时，则:
l1 l2
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。