中考复习数学分类检测试卷(3)函数及其图像(含答案)

中考复习数学分类检测三 函数及其图象
(时间：90分钟 总分：120分)
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．在平面直角坐标系中，点P (3，－x 2－1)所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．若反比例函数y ＝k
x 的图象经过点(－1,2)，则这个函数的图象一定经过点( )
A ．(2，－1)
B ．⎝⎛⎭⎫－12，2
C ．(－2，－1)
D ．⎝⎛⎭
⎫1
2，2 3．如果一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么( ) A ．k ＞0，b ＞0 B ．k ＞0，b ＜0 C ．k ＜0，b ＞0 D ．k ＜0，b ＜0
4．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程s (米)与所用时间t (秒)之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD .下列说法正确的是( )
A ．小莹的速度随时间的增大而增大
B ．小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C ．在起跑后180秒时，两人相遇
D ．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
5．把抛物线y ＝－x 2向左平移1个单位长度，然后向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为( )
A ．y ＝－(x －1)2－3
B ．y ＝－(x ＋1)2－3
C ．y ＝－(x －1)2＋3
D ．y ＝－(x ＋1)2＋3
6．矩形面积为4，长为y ，宽为x ，y 是x 的函数，其函数图象大致是( )
7．如图，A 是反比例函数y ＝k
x 图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 的面
积为2，则k 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽为4 m ．如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( )
A ．y ＝－2x 2
B ．y ＝2x 2
C ．y ＝－12x 2
D ．y ＝1
2
x 2
9．函数y ＝x ＋m 与y ＝m
x
(m ≠0)在同一坐标系内的图象如图，可以是( )
10．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －3＝0的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个异号的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．没有实数根 二、填空题(每小题4分，共24分)
11．在平面直角坐标系中，点A (1,2)关于y 轴对称的点为B (a ,2)，则a ＝__________. 12．函数y ＝－x
x －1
中自变量x 的取值范围是__________．
13．如图，l 1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l 2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，
当该公司赢利(收入大于成本)时，销售量必须__________．
14．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n 的图象如图所示，则|n －m |－m 2可化简为__________．
15．函数y 1＝x (x ≥0)，y 2＝4
x
(x ＞0)的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点A 的坐标为(2,2)； ②当x ＞2时，y 2＞y 1； ③当x ＝1时，BC ＝3；
④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是__________．
16．抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：__________，__________.(对称轴方程，图象与x 轴正半轴、y 轴交点坐标例外)
三、解答题(共56分)
17．(6分)在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝k x 的图象与y ＝3
x 的图象关于x 轴对称，又与直线
y ＝ax ＋2交于点A (m ,3)，试确定a 的值．
18．(9分)为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
(1)求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元；
(2)售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x (x ＞0)支钢笔需要花y 元，请你求出y 与x 的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱． 19．(9分)如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k
x 的图象相交于A ，B 两点，与y 轴交于
点C ，与x 轴交于点D ，点D 的坐标为(－2,0)，点A 的横坐标是2，tan ∠CDO ＝1
2
.
(1)求点A 的坐标；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式； (3)求△AOB 的面积．
20．(10分)某单位准备印制一批证书．现有两个印刷厂可供选择．甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y (千元)与证书数量x (千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示．
(1)请你直接写出甲厂的制版费及y 甲与x 的函数解析式，并求出其证书印刷单价． (2)当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用？节省费用多少元？
(3)如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？
21．(10分)近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO 的浓度达到4 mg/L ，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO 浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题．
(1)求爆炸前后空气中CO 浓度y 与时间x 的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围．
(2)当空气中的CO 浓度达到34 mg/L 时，井下3 km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多快的速度撤离才能在爆炸前逃生？
(3)矿工只有在空气中的CO 浓度降到4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井．
22．(12分)如图，对称轴为直线x ＝7
2
的抛物线经过点A (6,0)和B (0,4)．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标．
(2)设点E (x ，y )是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求
OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． ①
OEAF 的面积为24时，请判断
OEAF 是否为菱形？
②是否存在点E ，使OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、1．D
2．A 将(－1,2)代入y ＝k x ，得k ＝－2，则y ＝－2x ，然后将A 项的横坐标代入，得y ＝－2
2＝－1，可
知A 项符合，其他选项不符合．
3．B ∵当k ＜0，b ＜0时，一次函数y ＝kx ＋b 的图象只能过第二、三、四象限，而不过第一象限，又∵函数图象与y 轴负半轴相交，∴b ＜0，k ＞0.
4．D
5．D 将抛物线向左平移1个单位长度得到y ＝－(x ＋1)2，再向上平移3个单位长度得到y ＝－(x ＋1)2
＋3.
6．B 7．D
8．C 根据题意设抛物线解析式为y ＝ax 2，点(2，－2)在函数图象上，所以代入y ＝ax 2，得a ＝－1
2，
故解析式为y ＝－1
2
x 2.
9．B ∵对于y ＝x ＋m 中，k ＝1＞0， ∴y 随x 的增大而增大；
又∵当m ＞0时，y ＝m
x (m ≠0)的图象在第一、三象限内，且y ＝x ＋m 的图象与y 轴交于正半轴，故知
选B.
10．C 由图象可知，4ac －b 2
4a ＝3，可得b 2－4ac ＝－12a .而一元二次方程ax 2＋bx ＋c －3＝0判别式为
b 2－4a (
c －3)＝b 2－4ac ＋12a ＝－12a ＋12a ＝0，所以方程有两相等的实数根．
二、11．－1 12．x ≥0，且x ≠1
13．大于4 从图象上看，销量等于4时，销售收入和成本相等；销量大于4时，收入大于成本． 14．n 由图象可知m ＜0，n ＞0， ∴|n －m |－m 2＝n －m ＋m ＝n .
15．①③④ 令y 1＝y 2，即x ＝4
x ，得x ＝±2，
∵x ＞0， ∴x ＝2，
∴交点A 的坐标为(2,2)，结论①正确；
由两个函数图象可知，当x ＞2时，函数y 2在函数y 1的下方，即当x ＞2时，y 2＜y 1，所以结论②错误； 当x ＝1时，y 1＝1，y 2＝4，所以BC ＝y 2－y 1＝3，结论③正确； 由正比例函数、反比例函数的性质可知，结论④正确．
16．答案不唯一．如①c ＝3；②b ＋c ＝1；③c －3b ＝9；④b ＝－2；⑤当x ＞－1时，y 随x 的增大而
减小；⑥当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大，等等．
三、17．解：由题意，得k ＝－3，即y ＝－3
x ，把A (m,3)代入得m ＝－1，即A (－1,3)．
将A (－1,3)代入y ＝ax ＋2，得－a ＋2＝3，故a ＝－1.
18．解：(1)设每个笔记本x 元，每支钢笔y 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋2y ＝86，3x ＋y ＝57，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝14，
y ＝15，
故每个笔记本14元，
每支钢笔15元．
(2)y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
15x ，0<x ≤10，
12x ＋30，x >10.
(3)当14x ＜12x ＋30时，x ＜15；当14x ＝12x ＋30时，x ＝15；当14x ＞12x ＋30时，x ＞15.综上，当买超过10件但少于15件商品时，买笔记本省钱；当买15件奖品时，买笔记本和钢笔一样；当买奖品超过15件时，买钢笔省钱．
19．解：(1)过点A 作AE 垂直x 轴于E ，因为D (－2,0)，E (2,0)，所以OD ＝OE ＝2.因为在R t △ADE 中，∠AED ＝90°，tan ∠ADE ＝AE DE ，因为tan ∠CDO ＝tan ∠ADE ＝1
2，OD ＝2，OE ＝2，所以AE ＝tan ∠ADE ·DE
＝1
2
×4＝2，所以A (2,2)．
(2)因为反比例函数y ＝k x 过点A (2,2)，所以k ＝4，所以y ＝4
x
.因为一次函数y ＝ax ＋b 过A (2,2)，D (－2,0)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＝2，
－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪
⎨⎪⎧
a ＝1
2
，b ＝1，
所以y ＝1
2
x ＋1.
(3)因为4x ＝1
2x ＋1，所以x 2＋2x －8＝0，即(x ＋4)(x －2)＝0，所以x 1＝－4，x 2＝2，所以B (－4，－1)，
所以S △AOB ＝S △AOD ＋S △BOD ＝12×2×2＋1
2
×2×1＝3.
20．解：(1)制版费1千元，y 甲＝1
2x ＋1，证书单价0.5元．
(2)把x ＝6代入y 甲＝1
2
x ＋1中得y 甲＝4.
当x ≥2时，由图象可设y 乙与x 的函数关系式为y 乙＝kx ＋b ，由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
2k ＋b ＝3，
6k ＋b ＝4，解得
⎩⎨⎧
b ＝52
，k ＝14，
得y 乙＝14x ＋5
2
.
当x ＝8时，y 甲＝12×8＋1＝5，y 乙＝14×8＋52＝92，5－9
2＝0.5(千元)．
即当印制8千张证书时，选择乙厂，节省费用500元． (3)设甲厂每个证书的印刷费用应降低a 元， 8 000a ＝500， 解得a ＝0.062 5.
答：甲厂每个证书印刷费最少降低0.062 5元．
21．解：(1)∵爆炸前浓度呈直线型增加，∴可设y 与x 的函数关系式为y ＝k 1x ＋b . 由图象知y ＝k 1x ＋b 过点(0,4)与(7,46)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，7k 1＋b ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧
k 1＝6，
b ＝4.
∴y ＝6x ＋4，此时自变量x 的取值范围是0≤x ≤7. ∵爆炸后浓度成反比例下降， ∴可设y 与x 的函数关系式为y ＝k 2x
.
由图象知y ＝k 2x 过点(7,46)，∴k 2
7＝46，∴k 2＝322，
∴y ＝
322
x
，此时自变量x 的取值范围是x ＞7. (2)当y ＝34时，由y ＝6x ＋4得6x ＋4＝34，x ＝5. ∴撤离的最长时间为7－5＝2(h)． ∴撤离的最小速度为3÷2＝1.5(km/h)．
(3)当y ＝4时，由y ＝322
x 得x ＝80.5,80.5－7＝73.5(h)．
∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．
22．解：(1)由抛物线的对称轴是x ＝7
2
，可设解析式为y ＝a ⎝⎛⎭⎫x －722＋k ， 把A ，B 两点坐标代入上式，得⎩⎨
⎧
a ⎝⎛⎭⎫
6－7
22＋k ＝0，
a ⎝⎛⎭
⎫0－722
＋k ＝4，
解得a ＝23，k ＝－25
6，故抛物线解析式为
y ＝23⎝⎛⎭⎫x －722－25
6
，顶点为⎝⎛⎭⎫72，－256.
(2)∵点E (x ，y )在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y ＝23⎝⎛⎭⎫x －722－256， ∴y ＜0，即－y ＞0，－y 表示点E 到OA 的距离． ∵OA 是
OEAF 的对角线，
∴S ＝2S △OAE ＝2×1
2×OA ·|y |＝－6y ＝－4⎝⎛⎭⎫x －722＋25. ∵抛物线与x 轴的两个交点是(1,0)和(6,0)， ∴自变量x 的取值范围是1＜x ＜6.
①根据题意，当S ＝24时，即－4⎝⎛⎭⎫x －7
22＋25＝24， 化简，得⎝⎛⎭⎫x －722＝1
4
，解得x 1＝3，x 2＝4， 故所求的点E 有两个，分别为E 1(3，－4)，E 2(4，－4)， 点E 1(3，－4)满足OE ＝AE ，此时OEAF 是菱形； 点E 2(4，－4)不满足OE ＝AE ，此时OEAF 不是菱形．
②当OE ⊥EA ，且OE ＝EA 时，
OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是(3，－3)，而坐标为(3，
－3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使OEAF 为正方形．。