一元二次不等式的解法全面版
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
际上就是二次函数 ya2xb xc(a0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1 )a2x b xc0(a0) (2)a2x b xc0(a0) (3)a2x b xc0(a0) (4)a2x b xc0(a0)
一元二次不等式的解法 （一）
y
o
x
问题：
（1）如何解一元二次方程 a2xb xc0(a0) （2）二次函数ya2xb xc(a0)的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的
解与二次函数ya2xb xc(a0)的图象 有什么联系？
一元二次方程a2xb xc0(a0)的解实
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
△＝0
xxx2或 xx1
xR
x
b 2a
xx1xx2
xxx2或 xx1 R
xx1xx2
x
x
b 2a
小结：
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
同 学 们 再 见 ！
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
y
y
△＜0
R
R
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
x O x＝－b／2a
O
x
填写上表的依据是二次函数的图象，这实际 上是一种数形结合的思想。
由此我们可以得出解一元二次不等式的一般 步骤：
（1）把所给不等式化为四种标准形式之一； （2）判断所对应二次方程的根的情况；若
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
∴∴原∴原不原不等不等式等式的式的解的解集解集为集为R为。xxxR1x或x1316
例2、已知关于x的不等式 a2xb xc0
的解集是{x︱x＜-2或x＞ 1 }
2
求 a2xb xc0 的解集。
分解解小∴即即∴析法法结二的解不不关(不：一二：x 次两得等等由-系等本：：两2x 不个式式)b此 (，式题由种2 2∴等根x 可a xa再主已解2 52x-式，x a a2 1x2 得x解要知法 ,)5 2 12cx<b 与且 x ab 2出强得都0b x x或 二aab,xc解12 x x2 一＜化是x cc次 c =得0 2 元0一先 0 2 (x0 ，函12-的, 二元试0 2 12∴数)1 2 即解2{ 的次二图是 x (图x-为集 (解不次找x5x414象)2 a为a集等方出x 2 2方 (2间2 )-2a x(为式程a122 xb2的、b)2 x5 x 且的、 1122cx 5 程 关b)cb ax解一、0x<系2 0 x 00集元c 2 c,。2的 0 。0 0
解：原不等式可化为 (x3a)x (2a)0
小它结所：对解应含的有二参次数方的程不的等两式根时为，-要2a利，用3a分。类 讨分当论类-2的讨a＞思论3想。a，，即确a定＜分0时类，的标准，对参数进行
原不等式的解集为{x︱3a＜x＜-2a}；
当-2a=3a，即a=0时，原不等式的解集为；
当-2a＜3a，即a＞0时， 原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
例1、求下列不等式的解集：
(1)6x25x10 (2)4x24x15 0
(3)5x2 2x3
(4)9x26x1
(5)3x254x
解解：：（（12345））将将原原不 不等等式式变变形形为为：(52 93 xx xx6 22 2x 2 5 26 ) 4 xxx2 5 ( x x 31 5 1 3 0) 00 00 ∵∴方∵即原程所不对5(x等6 应2x式 的21 x的)二x (3 解次 1 集0 )方所 为程0 对的应x ⊿的52 =⊿0-x4，=423-＜560＜，0
而a2 这x 以往b上往 x不c是等容0式易的对忽解x略∈集的R为恒，R成的一立条定。件要为引起大
联家当∴与立的aax-①高am＞∈+③度mR10b得重不=，20视a符则时＞4。，有，amc应a原。-m舍不0＞去等0。式化③为 –x-1＞0，
例4、解关于x不等式 x2a x6a20
பைடு நூலகம்
以上四个不等式中我们规定了 a0
如果题目中给出的不等式中二次项系 数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。
下面我们就利用二次函数的图象来解 以上4个不等式。
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程 f(x)=0在△＞0时的两个根分别是x1、x2， 且x1＜x2。
∴所求解的不等式为：2x25x20
例3、不等式 (a 1 )x2 a x a m (x2 x 1 ) 对任意x∈R恒成立，求a与m之间的关系。
当a-m+1≠0时， am10
①
注分不解由( 意析等a ：②： ：式将得m 二不的原： 次等解不1 ( 项) a 式集等x 系对为2 式m 数 任R变 )( 。 为3 a 意形(( a [ 对 a 0 x为的m ∈m 于)2 m 情) R 二x 4 恒况(a 次1 成) 一m ( 不 a 立定1 1等 )]，a 要( m 式m 就0 考) ) 是虑00 ②，
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1 )a2x b xc0(a0) (2)a2x b xc0(a0) (3)a2x b xc0(a0) (4)a2x b xc0(a0)
一元二次不等式的解法 （一）
y
o
x
问题：
（1）如何解一元二次方程 a2xb xc0(a0) （2）二次函数ya2xb xc(a0)的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的
解与二次函数ya2xb xc(a0)的图象 有什么联系？
一元二次方程a2xb xc0(a0)的解实
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
△＝0
xxx2或 xx1
xR
x
b 2a
xx1xx2
xxx2或 xx1 R
xx1xx2
x
x
b 2a
小结：
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
同 学 们 再 见 ！
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
y
y
△＜0
R
R
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
x O x＝－b／2a
O
x
填写上表的依据是二次函数的图象，这实际 上是一种数形结合的思想。
由此我们可以得出解一元二次不等式的一般 步骤：
（1）把所给不等式化为四种标准形式之一； （2）判断所对应二次方程的根的情况；若
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
∴∴原∴原不原不等不等式等式的式的解的解集解集为集为R为。xxxR1x或x1316
例2、已知关于x的不等式 a2xb xc0
的解集是{x︱x＜-2或x＞ 1 }
2
求 a2xb xc0 的解集。
分解解小∴即即∴析法法结二的解不不关(不：一二：x 次两得等等由-系等本：：两2x 不个式式)b此 (，式题由种2 2∴等根x 可a xa再主已解2 52x-式，x a a2 1x2 得x解要知法 ,)5 2 12cx<b 与且 x ab 2出强得都0b x x或 二aab,xc解12 x x2 一＜化是x cc次 c =得0 2 元0一先 0 2 (x0 ，函12-的, 二元试0 2 12∴数)1 2 即解2{ 的次二图是 x (图x-为集 (解不次找x5x414象)2 a为a集等方出x 2 2方 (2间2 )-2a x(为式程a122 xb2的、b)2 x5 x 且的、 1122cx 5 程 关b)cb ax解一、0x<系2 0 x 00集元c 2 c,。2的 0 。0 0
解：原不等式可化为 (x3a)x (2a)0
小它结所：对解应含的有二参次数方的程不的等两式根时为，-要2a利，用3a分。类 讨分当论类-2的讨a＞思论3想。a，，即确a定＜分0时类，的标准，对参数进行
原不等式的解集为{x︱3a＜x＜-2a}；
当-2a=3a，即a=0时，原不等式的解集为；
当-2a＜3a，即a＞0时， 原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
例1、求下列不等式的解集：
(1)6x25x10 (2)4x24x15 0
(3)5x2 2x3
(4)9x26x1
(5)3x254x
解解：：（（12345））将将原原不 不等等式式变变形形为为：(52 93 xx xx6 22 2x 2 5 26 ) 4 xxx2 5 ( x x 31 5 1 3 0) 00 00 ∵∴方∵即原程所不对5(x等6 应2x式 的21 x的)二x (3 解次 1 集0 )方所 为程0 对的应x ⊿的52 =⊿0-x4，=423-＜560＜，0
而a2 这x 以往b上往 x不c是等容0式易的对忽解x略∈集的R为恒，R成的一立条定。件要为引起大
联家当∴与立的aax-①高am＞∈+③度mR10b得重不=，20视a符则时＞4。，有，amc应a原。-m舍不0＞去等0。式化③为 –x-1＞0，
例4、解关于x不等式 x2a x6a20
பைடு நூலகம்
以上四个不等式中我们规定了 a0
如果题目中给出的不等式中二次项系 数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。
下面我们就利用二次函数的图象来解 以上4个不等式。
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程 f(x)=0在△＞0时的两个根分别是x1、x2， 且x1＜x2。
∴所求解的不等式为：2x25x20
例3、不等式 (a 1 )x2 a x a m (x2 x 1 ) 对任意x∈R恒成立，求a与m之间的关系。
当a-m+1≠0时， am10
①
注分不解由( 意析等a ：②： ：式将得m 二不的原： 次等解不1 ( 项) a 式集等x 系对为2 式m 数 任R变 )( 。 为3 a 意形(( a [ 对 a 0 x为的m ∈m 于)2 m 情) R 二x 4 恒况(a 次1 成) 一m ( 不 a 立定1 1等 )]，a 要( m 式m 就0 考) ) 是虑00 ②，