十)数学分析1考试试题

（十）《数学分析1》考试试题

一、叙述题

1叙述闭区间套定理；

2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶；

3叙述Rolle 微分中值定理；

二、计算题

1 求极限x x x x )1

1(lim -+∞→ ； 2 求摆线⎩⎨⎧-=-=t

y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分⎰dx x x f )

( ；

4 求不定积分⎰-+dx e e

x x 1arctan 2 ；

三、讨论题 1讨论函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤0 ,

00 , 1sin x x x x φ 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x

n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞πππA e 2 1 ）、、（Λ=n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点；

四、证明题

1用定义证明21121lim

=-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根；

3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{}

k n x 也收敛于a 。

（十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题：

1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( )

2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ο

∈∀,当 0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( )

3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→∆x 时,

),()()(00x x A x f x x f ∆=∆--∆+ο则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( )

4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )

5 设 ⎰⎰+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时,

有)()(x g x f ≠. ( )

二（ 满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题: 1 =+=∞

→+=∑n n n k n a k n a lim .911

612 . 2 函数 |

3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是 . 3. )1ln()(2x x f +=, 已知 56)2()(lim

000=--→h h x f x f h , =0x . 4. 函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 .

5. ⎰⎰='+=dx x f x c x dx x f )( ,sin

)(2 . 二 （ 满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题: 1 111

1lim 30-+-+→x x x .

2 求函数54

)15(4)(+-=x x x f 的极值 . 3 ⎰+12x x dx . 4 ⎰++dx x x )1ln(2

. 5

⎰+-+dx x x x 5232.

6 在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为x 的四边形(如右上图),然后 折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 .

三 （ 满分 7 分）验证题: 用“δε-”定义验证函数 2

54)(2-+=x x x f 在点20=x 连续 . 四 （ 满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题:

1 设函数f 在区间]

2 , 0 [a 上连续 , 且 ) 2 () 0 (a f f =. 试证明 :

] , 0 [ a c ∈∃, 使 )() (a c f c f +=.

2 设函数)(x f 在区间 I 上可导, 且导函数 )(x f '在该区间上有界 .试证明

函数 )(x f 在区间 I 上一致连续 .

3 设函数)(x f 在区间] , 0 [a 上二阶可导,且 0) (=a f . )()(2

x f x x F =.

试证明: ) , 0 ( a ∈∃ξ, 使 0) (=''ξF .

4 试证明: 对 R ∈∀n x x x ,,, 21Λ, 有不等式 n x x x n x x x n n 2222121 +++≤+++ΛΛ.

（十二） 一年级《数学分析》考试题

一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：

1. 设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于任何数

)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。（ ）

2. 设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且

)()(x g x f >，则)(')('x g x f >。 （ ）

3. 设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n

y x +的极限未必不存在。 （ ）

4. 如0x x =是函数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f 。 （ ）

二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10分）

三 证明：n R 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10分）

四 计算下列极限：（9分）

1 x xy y x )

sin(lim

)0,0(),(→ ； 2 42)(lim 22)0,0(),(y x y x y x +→；