直线的方向向量和平面的法向量.ppt

(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行
练习二
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
rr a∥b
rr a kb；
r r rr
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
rr r r
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
三、用方向向量和法向量判定位置关系
rr 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
uuur DA
(1,
0,
uuur 0)，DE
(1,1,
,
1
)
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量
A1
B1
为nr=r(x，uuuyr，z) r uuur 则由n DA 0，n DE 0得
D Ax
E
C
F
y
B
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2
1 2
uuuur DA1
0
uuur BD
uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur uuur
即MN可用 DA1与 DB 线性表示,故MN与DA1, DB
是共面向量,∴MN∥平面A1BD
二、平面的法向量
r (1)定义 如果表示向量 n的有向线段所在直线垂
直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记
uuuur C1 M
1 2
uuuur C1B1
1 2
uuuur C1C
1 uuuur uuuur 1 uuuur
uuu2ur(D1Auu1uurD1Du)uuur2 DA1, ∴MN ∥ DA1,∴MN ∥平面A 1B D
D! A!
C! N B! M
法2:
uuuur ∵ MN
uuuur C1 N
uuuur C1 M
r 给定一点A和一个向量 n ,那
r 么过点A以向量 n 为法向量的平面
是完全确定的.
r n
A
二、平面的法向量
(4)求法 在空间坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,
0,
2)
,试求平面
r
ABC
的一个法向量.
步骤：⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量
又 x因 为y uD12u1uFzur0(0所, 12以, nr1=) (0，1，所- 2以) uDu1uFur//nr
所以 D1F 平面ADE
三、用方向向量和法向量判定位置关系
rr 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m
直线的方向向量和 平面的法向量
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作
为置基就点可，以那用么向空量间OuuPur中来任表意示一，点我P们的把位
向量
uuur OP
称为点
P
的位置向量.
P
O
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
r
b
O
r a
P
对于平面 上的任 一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
uuur r r
OP xa yb
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
法1:
uuuur ∵ MN
uuuur C1 N
法3:建立如图所示的空间直角坐标系.
z D!
设正方体的棱长为1,则可求得
A!
M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),
C! N B! M
A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
uuuur MN
r
(
1 2
,
0,
1 )
2
D
设则平nr面 uDAuAuu1r1BD0且的nr法 uD向uBur量 0是, 得nr( xxx,
r
r
r
作 n⊥ ，如果n ⊥ ，那么向量 n 叫做平面
的法向量.
n
二、平面的法向量
n
(2)理解
1.平面的法向量是非零向量;
2.一个平面的法向量不是唯一的，其所 有法向量都互相平行;
r
3.向量 n是平面 的法向量，
ur
若 m∥ ，则有
r ur nm 0
二、平面的法向量
(3)法向量确定平面的位置
1 2
uuuur D1 A1
1 2
uuuur D1 D
D
C
1 2
uuur ( DB
uuur BA)
1 2
uuuur ( D1 A1
uuuur A1 D)
A
B
1 2
uuur DB
1 2
uuuur DA1
1 2
uuur (BA
uuur DA)
1 2
uuur DB
1 2
uuuur DA1
1 2
uuur BD
一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
⑵直线 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
任一点 uPuu,r存在u实uur数 t
r a
使得 AP t AB
或AP ta
A
P B
一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
⑶平面 空间中平面 的位置可以由 内两
y, z)
z
y
A
x0
0
取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n (1, 1, 1)
uuuur 又 MN
r n
(
1
,
0,
1
)
(1,
1,
1)
0,∴
uuuur MN
⊥
r n
uuuur
22
∴ MN ∥ 平面A1BD
C
y B
Leabharlann Baidu
练习一
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
r
r
的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的
rr
方程组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
例2.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F u平uur面AuuDurE uuuur 证明：设正方体棱长为1，以DA，DC,DD1为单位正交
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m
r r rr a⊥b ab 0；
rr r r
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD