拉压杆的变形与叠加原理

( p )
——胡克定律
EA——拉压刚度（抗拉刚度）
5
二、拉压杆的横向变形
横向正应变 b
F
b b +b
b
F
试验表明
E
l
l + l
b b FNb
E
EA
( p )
为泊松(Poisson)比
三个弹性
常数之间
的关系：
G
2
E
1
6
三、分段均匀和非均匀拉压杆的变形
l FNl ——
§6.8 拉压杆的变形与叠加原理
当杆件承受轴向载荷时， 其轴向和横向尺寸均发生变 化。杆件沿轴线方向的变形 称为轴向变形；垂直于轴线 方向的变形称为横向变形。
F
F
1
集装箱运载桥 A
B
D
C
P
下面我们 将所圈区
域放大
轴向 拉杆
2
刚度问题
拉压静不定问题
C
①
30
A
B②
FR1
F
FR2
P
目的：刚度问题；拉压静不定问题 方法：几何法，叠加法，能量法
[ 例 2] 如 图 所 示 圆 截 面 杆 ， 已 知 F=4kN ， l1=l2=100mm，E=200GPa，为保证杆件正常工作， 要 求 其 轴 向 总 伸 长 量 不 超 过 0.10mm ， 即 许 用 变 形
[l]=0.10mm。试求截面直径d。
l1
l2
F
A
B
F C
解：分析。这是一个刚度设计问题，需要通过计 算变形来确定杆的直径。因此首先需要计算杆的 变形与其直径之间的关系。
2、叶片的内力与应力（截面法Fx=0）
FN ( x) 2 A
R0 d 2 A
x
2
R02 x 2
( x) FN ( x) 2
A
2
R02 x 2
dx
nn
R0 x
FN(x)
14
( x) FN ( x) 2
A
2
R02 x 2
3、叶片的变形
微段dx的变形
dl x dx x dx FN x dx
=
F2
C
A
F1 B
B
C
F2 C
lAC
F1l1 EA
lAC
F2
l1 l2 EA
l AC
l
AC
l
AC
F2
l1 l2 EA
F1l1 EA
F2 F1 EA
l1 F2l2 EA
由此可见，几个载荷同时作用时产生的总 效果，等于各个载荷单独作用时产生的效果的 总和。此原理称为叠加原理。（线性范围）
d
12Fl1
E l
8.7 103m
取d=8.7mm
13
[例3] 如图所示涡轮叶片，当涡轮等 速旋转时承受离心力作用。叶片横
d
dF
截面面积为A，弹性模量为E，单位
体积的质量为，涡轮的角速度为，
R0
试计算叶片上的正应力与轴向变形。
R1
nn
x
解：1、叶片的外力
dF a dm 2 Ad 2 Ad
12
F=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa， [l]=0.10mm。
1、计算轴力
FN1 2F FN2 F
2、计算轴向变形
l1
l2
F
A
B
F C
l1
FN1l1 EA
8Fl1
E d 2
l2
FN2l2 EA
4Fl2
E d 2
总伸长：
l
l1
l2
12Fl1
E d 2
3、刚度设计要求： l [l]
l 80
E 210109 0.000375 78.8106 Pa 78.8MPa
F A 78.8106 (10.1103 )2 / 4 6310N 6.31kN
0.3 0.000375 0.0001125
d d 0.000112510.1mm 0.00114mm 11
只适用于计算在长度l内FN 及EA均为常值的情况，即
EA
在l长度内变形是均匀。
l1
l2
l1
l2
F1
A
B
AB : N 1 F2 F1
F2
C
A
F1 B
l1
FN1l1 EA
F2 F1 EA
l1
BC : N 2 F2
l 2
FN 2 l 2 EA
F2 l 2 EA
F2 C
7
杆变形的计算方法1
l1
E
EA
dx
nn
R0 x
FN(x)
叶片的总变形
l R0 dl R0 x dx R0 x dx R0 FN x dx
R1
R1
E R1
R1 EA
R0 2
R1 2E
R02 x 2
2
dx 6E
2R03 3R02 R1 R13
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另法：叠加原理
d
dF
nn
解：1、叶片的外力
l n FNi li
i 1 Ei Ai
8
杆变形的计算方法2
l
A
B
A
l F
B
如果变形是非均匀的，例如考虑 自重的竖杆、变截面杆等，轴力 N(x)或截面积A(x)是x的函数。
则总变形按右式积分求和：
l dl xdx
l
l
FN ( x)dx
l EA( x)
9
四、叠加原理
l1
l2
F1
A
B
A
x
2
R02 x 2
l
d R0
R1
l
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R0 2
R1
2 R1
E
d 2
6E
2R03 3R02 R1 R13 16
五、桁架的节点位移
桁架是由二力杆铰接，外力作用在 节点的结构模型。其变形通常用节点的 位移来表示。
R0
x
dF a dm 2 Ad 2 Ad
R1
2、dF单独作用效果
n-n截面上的正应力：d
dFN A
dF A
2d
叶片的变形：d l dF R1 2 2 R1 d
EA
E
3、所有离心力作用效果的总和
n-n的正应力：
叶片的总变形：
R0 d
x
R0 2 d 2
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[例1] 如图螺栓内径为d=10.1mm, 拧紧后在计算长度l=80mm内产生的
总 伸 长 量 为 l=0.03mm 。 螺 栓 材 料
的 弹 性 模 量 E=210GPa ， 泊 松 比
=0.3 。试计算螺栓内的应力、螺
栓的预紧力和螺栓的横向变形。
解：拧紧后螺栓内的轴向正应变为
l 0.03 0.000375
3
一、拉压杆的轴向变形
工程上使用的大多
数材料，其应力应变关
F
F
系的初始阶段都是线弹 性的，亦即当应力低于
材料的比例极限时，应
b
力与应变成正比，这就
a
是胡克定律，可以写成
e p Ｅ 1
o
E ( p )
4
胡克定律
由 F FN
AA
l
l
E
F
b b +b
F
l
l + l
得
l FNl EA
l2
F1
F2
A
B
C
l1 A
l2
F1 B
l AC
l1 l2
FN 1 l1 EA
FN 2l2 EA
F2 F1 EA
l1 F2l2 EA
F2 C
lAC
l1 l2
FN1l1 EA1
FN 2l2 EA2
F2 F1 l1 F2l2
EA1
EA2
如果变形是分段均匀的， 则总变形按右式分段求和：