高考数学《圆锥曲线的方程与性质》专题

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高考数学复习专题：圆锥曲线的方程与性质【一】基础知识

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称椭圆双曲线抛物线

定义|PＦ1|＋|PF2|=2a

(2a＞|F1F2｜)

|｜PＦ1｜-｜PF2|｜

＝2a(2ａ<｜Ｆ1F2｜)

|ＰＦ|＝|PM|,点F不

在直线l上，PM⊥l

于M

标准方程错误!＋

y2

b２

＝1(a＞b>0)

x2

a2－

y2

b2＝1(a＞０,b>0) ｙ2=２px(p>０）

图形

几何性质

范围|x|≤a,|y|≤b |x|≥ａx≥0

顶点（±a,0）(0，±b)（±ａ,０）（０，０)

对称性关于ｘ轴,ｙ轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,０）（错误!,0)轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a，虚轴长２b

离心率

e＝错误!＝

错误!

(0＜e＜1)

e=错误!＝

错误!（ｅ＞1) e=1

准线x=－错误!渐近线y＝±＼f(b，a)x

【二】高考真题

１．(2０13·课标全国Ⅱ）设抛物线C：y2=２ｐx(p>０）的焦点为F,点M在Ｃ上,|ＭF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为ﻩﻩﻩﻩﻩ( c)

A.y2=4ｘ或ｙ2=8x

B.y2=2ｘ或y2＝8ｘ

C．y2＝４x或y2=1６xﻩﻩＤ．ｙ2＝2ｘ或ｙ２＝16x

2．(２013·课标全国Ⅰ）已知双曲线Ｃ：＼ｆ（x2,a2）-ｙ2

b2=1(

ａ＞0,ｂ>０)的离心率为

错误!，则C的渐近线方程为ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（c ) A.y＝±错误!ｘﻩﻩﻩﻩB．y=±错误!x

C．y＝±＼f(1,2)ｘﻩﻩﻩD．y＝±x

３． （2013·山东)抛物线C 1:y =

错误!x 2

(p >0)的焦点与双曲线Ｃ2

:错误!－y 2

＝1的

右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若Ｃ１在点M 处的切线平行于Ｃ２的一条渐近线，则ｐ等于（ｄ ) A.

错误!

ﻩＢ．

错误! ﻩ C.错误! ﻩ D.错误!

4． (2013·福建)椭圆Г:x

2

a

２

＋错误!=1(a >ｂ>０)的左,右焦点分别为F 1，F 2

,焦

距为2c .若直线y ＝

错误!(x +c ）与椭圆Г的一个交点Ｍ满足∠MF 1F 2＝２∠MF

2

Ｆ１

,则该椭圆的离心率等于错误!-１

5． (2013·浙江)设F 为抛物线Ｃ：y ２

=4x 的焦点，过点P (-１,0)的直线l 交抛物线C

于A 、B 两点,点Ｑ为线段AB 的中点，若|ＦＱ｜＝2，则直线ｌ的斜率等于 ±1.

【三】题型和方法

题型一 圆锥曲线的定义与标准方程

例1 (1）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆Ｃ的中心为原点，焦点Ｆ1,F ２在x 轴上，离心率为

2

２

.过Ｆ1的直线l 交C 于A ,B 两点，且△ABF 2的周长为１6，那么椭圆C 的方程为 ＿_＿＿______. （2）已知P 为椭圆

错误!＋ｙ2

＝1和双曲线x 2

－错误!＝1的一个交点,F １

，Ｆ

２

为椭圆的两个焦点,那么∠F １PF ２的余弦值为＿＿_＿__＿＿．

变式训练1 （1)已知双曲线

错误!-错误!=1 (ａ>0，b ＞0）的两个焦点F １

,F 2

,Ｍ为双

曲线上一点，且满足∠F 1MF 2=9０°，点M 到x 轴的距离为＼f(７,2).若△F １MF ２的面积为14,则双曲线的渐近线方程为__＿＿＿＿____. 答案 y ＝±＼ｒ(7)ｘ

(２)设斜率为２的直线ｌ过抛物线y ２

=ax （ａ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ,若△O

ＡF （O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为＿＿_＿____．

答案 y ２

=±8x

题型二 圆锥曲线的性质

例2 (1)等轴双曲线Ｃ的中心在原点，焦点在x 轴上，Ｃ与抛物线y ２

＝16x 的准线交于A ，

B 两点,|AB |＝4错误!,则

C 的实轴长为 ﻩ ﻩﻩ

ﻩ( ）

A.

错误! ﻩ

ﻩB ．2错误! C.４ ﻩﻩﻩＤ.８

(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F２,若曲线C上存在点Ｐ满足|PF１|∶｜Ｆ１Ｆ２

|∶｜PＦ２|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于ﻩﻩﻩ()

A.错误!或错误!ﻩﻩﻩﻩﻩﻩＢ.错误!或2

Ｃ.＼ｆ（1，2）或2ﻩﻩﻩﻩD.错误!或错误!

变式训练2 （1)已知O为坐标原点，双曲线错误!-错误!＝1(a>０，ｂ＞0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A,B，若(错误!＋

错误!）·错误!=0,则双曲线的离心率ｅ为ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ( )

A．2 ﻩﻩB．3 C.＼r(2) ﻩﻩD.错误!

答案Ｃ

(2)已知双曲线错误!－错误!＝１(a>0,b＞0)的左顶点与抛物线ｙ2＝２px

(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2,－1),则双曲线的焦距为

( ) A．2错误!ﻩB．２错误!ﻩC.4错误!Ｄ.4错误!

答案B

题型三直线与圆锥曲线的位置关系

例3已知过抛物线ｙ2=2px（p＞0）的焦点,斜率为2＼r(2)的直线交抛物线于Ａ(ｘ1,y1)，Ｂ(ｘ２，y2)(x1＜x２)两点,且|AB|=9．

（1)求该抛物线的方程.

(2）O为坐标原点,Ｃ为抛物线上一点，若错误!＝错误!+λ错误!,求λ的值.

变式训练３已知平面内一动点P到点F(1，０)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(２)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l１,l2，设l1与轨迹C相交于点Ａ，B，l2与轨迹C相交于点Ｄ，Ｅ，求错误!·错误!的最小值．

【例4（14分)在平面直角坐标系xＯy中,已知椭圆C 1:错误!＋错误!=1(a>ｂ＞0）的左焦点为Ｆ1(－１,０),且点P(0,1)在C1上.

(1)求椭圆Ｃ１的方程；

(2）设直线l同时与椭圆Ｃ１和抛物线C2:ｙ2=4ｘ相切,求直线l的方程．