第六章 近独立粒子的最概然分布

Vp sin dpdd h3
2
25
体积
动量大小
V
p p dp
2
内自由粒子可能的状态数：
在体积 V 内，在 到 由粒子可能的状态数为：
4V 2 Vp dp 2 d sin d 3 p dp 3 0 0 h h p2 p m d dp dp d 2m m 2m
9
对于转子：
r 不变，自由度 2
1 2 2 2 2 2 m(r r sin ) 2 广义坐标： , 构成四维 2 p mr
广义动量： （角动量）

p mr sin
2 2

空间
1 1 2 2 ( p 2 p ) 2I sin
一个能级的量子状态一般不止一个。
2 1 1 2 mL
2 2
n n n 1
2 x 2 y 2 z
简并度: 6
2 2 2 2 mL
2 2
n n n 2 简并度: 12
2 x 2 y 2 z
20
在宏观大小的容器内运动,动量值和能量值近似 连续。
在 V L3 在
如果全同粒子可以辨认（经典理论）：
确定系统微观运动状态归结为确定每一个粒子的 个体量子态。或者说每个量子态上有多少粒子，并且是 那些粒子。
如果全同粒子不可辨认（量子理论）：
确定系统微观运动状态归结为每一个个体量子态上 的粒子数。
30
系统微观运动状态与粒子微观运动状态的关系， 以及粒子是否可以分辩的影响 两个可分辨粒子分两组
I mr
2
10
无外力作用，角动量守恒
选择
z 轴和

2 2 p
M 平行
p 0
2
M rp
z

r
x
A
y
M 2I 2I
经典力学：能量可取任何正值。 双原子分子绕质心旋转， 用约化质量代替即可。
m1m2 m1 m2
11
§6.2 粒子运动状态的量子描叙
Vdpx dp y dp内的量子态数： z
dnx dn y dnz
Vdpx dp y dp z h
3
自由度r的粒子在2r维的空间的相格大小：
q1 qr p1 pr h r
r维自由粒子的量子态数：
L dp1dp2 ...dpr dn1dn2 ...dnr r h
24
r
球极坐标：
21
在体积
V L
3
的空间范围内
在
px px dpx p y p y dp y pz pz dpz
的动量范围内
自由粒子的量子态数为：
V L dnx dn y dnz dp x dp y dp z 3 dp x dp y dp z h 2
22
一个个体量子态最多能容纳 一个费米子。
玻色系统：由玻色子组成的系统，不受泡利不相容原理
约束。处在同一个个体量子态的玻色子的数 目不受限制。
32
玻耳兹曼系统(半经典系统）：可分辨的全同近独立粒子组
成，处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。
玻耳兹曼系统
玻色系统
费米系统
怎样求统计平均？ 取决于系统处在每个微观状态的概率。


6
二、线性谐振子
粒子质量为
m， 受弹性力 f Ax 作用

2
在原点附近作简谐振动:
线形谐振子的能量是：
A m
p A 2 p 1 2 2 x m x 2m 2 2m 2
p x 1 2 2m 2 / m
7
2
2
2
线形谐振子在 空间描 画出一条椭圆轨道：

p
介子 等
15
二、线形谐振子
线形谐振子 圆频率：

n2
n3
1 能量为： n n 2 描叙线型谐振子状 n 0,1,2,
态只要一个量子数： 分裂的能级结构，相 邻两能级的能量差：
n 1 n0
q
p
q

零点能
1 n 0 0 2
16
33
1
2
3
1
2
2
3
3
当 硬 币 不 可 分 别 时
1
1
1 1 1 1
2
2 2 2 2
3
3 3 3 3
当 硬 币 可 分 别 时
34
§6.4
等概率原理
在确定的宏观状态下，系统可能的微观状态是大量的， 并且还在不断发生变化。 只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法 求微观量的统计平均值。 确定各个可能的微观状态出现的概率是统计物理的根本 问题。
经典物理中，全同粒子可以分辨。将两个粒子的运 动状态加以交换，系统的力学运动状态是不同的。
29
2 Nr
个变量。
二，量子描述－微观粒子的全同性原理
微观粒子的全同性原理
全同粒子是不可分辨的，将任何两个全同粒子对换，不 改变整个系统的微观运动状态。 经典粒子的运动是轨道运动，可跟踪加以辨认。 量子粒子的运动具有玻粒二象性，不可跟踪辨认。
17
描述转子的运动状态需要两个量子数： l、m
四、自由粒子
一维自由粒子，采用周期性边界条件，德布罗 意波波长的整数倍等于容器的长度 ：
L nx ,
2 kx nx , L
nx 0,1,2,
nx 0,1,2,
2 nx , 一维自由粒子： p x L
nx 0,1,2, nx 0,1,2,
2 px nx , L
L dnx dp x 2
的空间范围内
p x p x dp x 的动量范围内
粒子 p x 的取值可能的数目为：
p y p y dp y
同理：
pz pz dpz
L dnx dp x 2 L dn y dp y 2 L dnz dp z 2
28
i
一，经典力学描述系统的微观运动状态
设粒子的自由度为 r，系统由N个全同粒子组成： 广义坐标： qi1 , qi 2 , qir 确定第 i 个粒子的力 广义动量： pi1 , pi 2 , pir 学运动状态。 确定系统的微观运动状态需要
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
能量的可能值：
1 2 2 2 2 2 2 2 px p y pz nx n y nz 2 2m mL 粒子的运动状态由三个量子数表征： n x , n y , n z


2 2


19
在微观大小范围内运动，动量值和能量值 分立显著:
能级由
n n n 决定。
2 x 2 y 2 z
d
的能量范围内，自
D
2V 32 12 D d 3 2m d h
态密度：单位能量间隔内的可能状态数 26
考虑自旋的自由粒子的量子态数
如果考虑自由粒子的自旋，假设自旋量子数为1/2,在 动量方向上的投影为 2，上述结果应该再乘2。
4V 32 12 D d 3 2m d h
M 三，转子 2I 2 2 l 0,1,2, M l (l 1)
2
能量量子化
对于给定的 l ，角动量在某一轴上的投影：
M z m
m 0,1,2, l 空间量子化
l (l 1) 能级 l 2I 的量子态数： 2l 1
简并度：
z
2
2l 1
3
从量子力学出发——相格
考虑一个处于 维 空间的粒子的量子态，根据不确定关 系，它不应该是一个点，而是一个范围——相格：
2
qp h
在空间体积Ldp内粒 子可能的量子态数：
p
dp
o
h
L q
Ldp h
量子态数等于μ空间体积除以相格大小 相格：一个量子态的所占相体积大小
23
三维自由粒子在μ空间体积
第六章 近独立粒子的最概然分布
近独立粒子：粒子之间相互作用微弱 最概然：最可几，或者说最为可能 粒子分布：粒子按照各种可能的力学运动状态的分布 统计物理学： 物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现 宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。
1
§6.1 粒子运动状态的经典描述
粒子的运动状态（力学运动状态）的描述:
e S m
μz
自旋角动量在外磁场的投影有两个可能值：S z 因此描叙粒子的自旋状态只要一个量子数
2
ms
S z ms
e ms B m
自旋角动量量子数
ms 取两个分立的值 1 2
14
基本粒子中，自旋量子数为半整数的有：
电子 、 质子 、中子 等。
自旋量子数为整数的有： 光子、
为直角坐标
二维的 经典力学：

空间
o
x
px
L x
粒子坐标 粒子动量
5
px
（二）三维自由粒子：
粒子的自由度为3 广义坐标：
x, y, z
px mx, p y my, pz mz
构成 6 维的
相应的动量：
空间
能量（动能）为：
1 2 2 2 px p y pz 2m
微观粒子波粒二象性：
自由粒子
德布罗意波： 能量 动量 德布罗意关系： 其中：

p

平面波
圆频率 波矢

k

h 2
p k
h 6.626 10 J s 1.055 10 J s
12
2 k n
34

34
海森伯不确定性原理 理论上： 一般取：
共
3
r
粒子在某一时刻的力学运动状态可用该空间的一点表示
(q1 ,..., qr ; p1 ,..., pr )
当粒子的运动状态随时间发生改变时相应地在 空间描画出一条轨道。

z
pz
y
x
坐标空间
px
动量空间
py
4
一、自由粒子
自由粒子：不受外力作用，作自由运动的粒子。
（一）一维自由粒子：
p
px
x px
（两个粒子微观运动状态）
两个不可分辨粒子分两组
（两个粒子微观运动状态）
31
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三，玻色子和费米子
费米子： 自旋量子数为半整数，如电子； 玻色子： 自旋量子数为整数，如光子。
复合粒子：由玻色子组成的复合粒子是玻色子；
由偶数个费米子组成的复合粒子是玻色子； 由奇数个费米子组成的复合粒子是费米子。
四，量子系统 费米系统：由费米子组成的系统，遵从泡利不相容原理，
qp h
qp 2
量子态：量子力学中，微观粒子的状态称为量子态。 由一组量子数表征。这组量子数的数目等 于粒子的自由度数。
微观粒子的量子态根据不确定关系在酉空间中不可能是一 个点，而是一个范围。
13
一、自旋
电子质量
Ｂ
m，电荷 e
z
Sz
自旋磁矩与自旋角动量之比为：
Sz μ z

q
两个半轴为:
2m ,
2 m
2
p
q
经典力学：振子能量可取任何正值，轨道连续分布
8
三，转子
质点
z
o x
r
m
在直角坐标系中：
A

1 2 2 2 m( x y z ) 2
采用球极坐标表示：
y
x r sin cos z r cos y r sin sin 1 2 2 2 2 2 2 m(r r r sin ) 2
L x
p 2 n nx , 2m m L
2 x 2 2 2 x 2
18
三维自由粒子（在边长为L的立方体内）：
2 px nx , L 2 py ny , L
nx 0,1,2,
n y 0,1,2,
2 pz nz , L
nz 0,1,2,
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos
pz


dp
p
pd
动量空间体积元：
p sin dpdd
2
py
p sin d
px
体积 动量大小 动量方向
V
p p dp d d
内自由粒子可能的状态数：
27
§6.3
系统微观运动状态的描述
系统微观运动状态就是系统的力学运动状态。
全同粒子：具有完全相同属性的粒子。 近独立粒子：是指系统中粒子之间的相互作用很弱， 相互作用的能量远小于单个粒子的平均能量。 全同和近独立粒子组成的系统，整个系统的能量为单个粒 子能量的和： N
E i
i 1
i
只是第 个粒子的坐标和动量以及场外参量的函数， 和其它粒子无关。 理想气体是由近独立粒子组成的系统。
经典描述：粒子运动遵从经典力学 量子描述：粒子运动遵从量子力学
经典理论在一定的极限条件下适用
2
空间
设粒子的自由度为
r 个广义坐标 q1, q2 , qr 描述 其力学运动状态由 r 个广义动量 p1, p2 , pr
2r 个变量建立正交坐标系 构成一个 2 r 维空间，称为 空间 粒子的能量 q , , q ；p , , p 1 r 1 r