函数的连续性和间断点ppt课件

左连续 右连续
x
o x0 x x
0, 0, 当 x x0 x 时, 有
f (x) f (x0) y
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4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间 (a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
函数 f ( x) 当 x x 时的极限存在,且等于它在 0
点 x 0 处的函数值 f ( x0 ) ,即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x) 在点x 0 连续.
" "定义 :
0, 0, 使当 x x 时, 0
恒有 f ( x) f ( x0 ) .
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点 x 0处不连续.
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对自变量的增量
有函数的增量
函数 在点 连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)

f
(x0 )
y y f (x)
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
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a bx2, x 0
补充.
设
f (x)

sin bx x
,
Hale Waihona Puke Baidu
x0
在x=0处连续，求常数a与b应满足的关系。
解： lim (a bx2 ) a x0
lim sin bx b x0 x
a b.
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2sin x cos( x x)
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2sin x .
2
2
对任意的, 当 0时, 有sin ,
故 y 2sin x x , 当x 0时, y 0. 2
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二、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
由定义2知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
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3.单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
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2.可去间断点如果
定理
函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续 .
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例2
讨论函数
f
(x)
x 2,

x

2,
x 0, 在 x 0处的 x 0,
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
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可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
(2) 极限
存在 ;
存在 ;
(3)
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例1
试证函数
f
(
x)


x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结 思考题
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一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量. y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
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在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如,
( 有理整函数 )
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
,)0),,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(
x x0
Px)(
x0R) (
x0c)ontinue
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例3 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
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1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x 0) f ( x 0), 则称点 x 为函数
0
0
0
f ( x)的跳跃间断点 .
例4
讨论函数
f
(
x)

x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f ( x)在点x 连续,x 称为 f ( x) 的连续点.
0
0
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
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定义 2 设函数 f ( x) 在U ( x0 ) 内有定义,如果
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
2
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x) 在U ( x0 ) 内有定义,如
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
数的增量y 也趋向于零,即lim y 0 或 x 0
lim [
x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )] 0,那末就称函数