余弦和正切

义务教育教科书人教版九年级下册

28.1《锐角三角函数》教学设计

一、教学目标及重难点

【教学目标】

（1）通过探究当直角三角形的一个锐角固定时，它的对边与斜边的比值情况，体会直角三角形的边角之间具有特殊的关系；

（2）通过学习锐角三角函数的概念，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比分别是这个锐角的正弦、余弦和正切；

（3）会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的三角函数值；

（4）在数学活动中经历探索与发现的过程，培养由特殊到一般的演绎推理能力，学会用数学的思维方式思考，发现，总结，验证.

【教学重难点】

重点：正确理解正弦、余弦和正切函数的概念

难点：锐角三角函数的实际应用。

二、教学过程

【课堂导入】

1.师生一起回忆已学过的有一个锐角为30°或45°的特殊直角三角形，引导学生探究并计

算出该锐角所对直角边与斜边的比值。

∠A=30°∠

A=45°

结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是

直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值是

2.保持两个锐角大小不变，把两个直角三角形放大后，其对边和邻边比值会有什么变化？

斜边c 对边a

b

C B

A

结论：

•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于

，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于

，也是一个固定值． 3. 探究：当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值吗？ （1）引导学生从三角形相似的角度进行思考和分析。

任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°，∠A=∠A ′=a ，那么

有什么关系．你能解释一下吗？

（2）几何画板动态展示，用几何画板画出Rt △ABC ，保持∠A 的大小不变，拖动三角形至任意大小，其对边与斜边的比值

BC

AB

大小不变。 【新知探究】 （一）正弦

1．定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边

记作c ．我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =

． sinA ＝

=∠=∠A BC a A AB c 的对边的斜边 教师给出正弦的定义并强调书写的格式 学生看教材63页，并勾画定义。

提醒：sinA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”； sinA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与斜边的比； sinA 不表示“sin”乘以“A”。 2.概念巩固

（1）引导学生计算：当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=

；

当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ;

1

2

2

2

''

''

BC B C AB A B 与

a

c

斜边c 对边a

b

C B

（2）根据图形写出sinB= = .

（二）余弦、正切

1.引导学生猜想：当∠A 确定时，∠A 的邻边与斜边的比以及对边与邻边的比又会如何？

2.引导学生根据正弦的定义，表示出∠A 的余弦和正切。

余弦：cosA ＝

∠==∠A AC b

A A

B c 的邻边的斜边; 正切：tanA ＝

.∠==∠A BC a

A AC b

的对边的邻边; 3.思考：引导学生在同一个直角三角形中，观察cosA 与sinB 之间的关系，并得出如下

结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。

在Rt △ABC 中，若∠A+∠B=90°，则sinB=cosA 或sinA=cosB.

（三）锐角三角函数

1．三角函数：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数，分别称为∠A 的正弦函

数、余弦函数和正切函数。

2.思考：为什么叫做函数？如何从函数的对应关系去理解？以正弦函数为例进行探讨？

思路1：令y=sinA ，完成下表：

∠A 取定某一个锐角时，sinA 都有唯一确定的值与之对应，满足函数

对应关系。（此种方式，只能粗略判断，不是十分严谨）

思路2：利用几何画板画出y=sinA （0°< ∠A < 90°）的图象，引导同学观察图象特征。

师：当然我们也可以用同样的方法画出余弦函数和正切函数的图象，也可以像研究其他

函数一样去研究三角函数的性质，等到高中后同学们会进一步学习。 3.文化链接：三角函数的发展历史及重要意义。

【三角函数起源于古希腊的三角术，后演变为三角学，一直到今天的三角函数，经过几千年的发展和完善。我国古代并没有三角函数，只是用勾股定理解决一些三角学范围内的问题。到1631年，西方三角学首次进入中国。三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等，今天我们所学习的是常见的三种。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。】

【巩固提升】

例：在Rt △ABC 中，∠C=90，CD 是斜边AB 上的高，BC=5, AC=12

试根据图形以小组为单位利用刚学过的锐角三角函数的知识各自

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