机械基础 第三章 拉压杆件的承载能力
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a) F
b) F c) F d) F F F
e)
第二节
轴向拉伸与压缩的概念
一、轴向拉伸与压缩的特点 轴向拉伸与压缩的外力特点： 外力的合力作用线与杆的轴线重合。
P P P P
轴向拉伸与压缩的变形特点： 轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：轴向缩短，横向伸长。
二、轴向拉伸与压缩的力学模型
PHale Waihona Puke BaiduP
N与外法线同向，为正轴力（拉力） N与外法线反向，为负轴力（压力）
N N
N N
N 0 N 0
三、轴力图
轴力图——内力N(x)的图象表示。
P
N A
P
P
杆的轴力图：
+
x
意 义
① ②
较直观的反映出轴力随截面位置变化情况；
确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位 置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
第三章
拉压杆件的承载能力
第一节 构件承载能力概述 第二节 轴向拉伸与压缩的概念 第三节 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力 第四节 轴向拉伸（或压缩）的强度计算 第五节 轴向拉伸（或压缩）的变形
第六节 材料拉伸和压缩时的力学性能
第七节 压杆稳定
第一节 构件承载能力概述
一、材料力学的任务 解决构件在外力（其它物体对构件的作用力） 作用下产生变形和破坏的问题（安全问题）。在实 验的基础上，提供一种理论依据和计算方法，保证
K点的应力：
p lim
P dP A0 A dA
n K
σ
p
正应力 σ p 的法向分量 切应力 p 的切向分量
应力的单位：帕斯卡(Pa） 1Pa=1N/m2 1GPa= 109Pa 1MPa= 106Pa
τ
n
b)
二、横截面上的应力
研究方法：
实验观察 作出假设 理论分析 实验验证
σCD = 50MPa
同理可求得：σBC = 100MPa
三、许用应力和强度条件 1.许用应力
（1）极限应力 材料的极限应力是指保证正常工作条件（不变形， 不破坏）下，该材料所能承受的最大应力值。
（2）工作应力 （3）许用应力 杆件轴向拉压时截面的应力是构件的实际应力。
(3) 作轴力图。
第四节 轴向拉伸（或压缩）的强度计算 一、应力的概念 A杆
10KN 10KN
NA=10KN
10KN
问：哪个杆先破坏?
10KN
B杆 内力不能衡量构件强度的大小。
NB=10KN
应力 内力在横截面上的分布密集程度 是衡量构件强度的 依据。
一、应力的概念
应力为矢量，通常可以分解为垂直于截面的分 量和切于截面的分量
N1 2 P
O
A
B
C
D
同理， 求得AB、BC、CD段 内力分别为： N2 = -3P N3 = 5P N4 = P
PA
PD N1 A
PB
B
PC
C D PD D PD D PC N4 5P
PA PB PC B C N2 PB N3 PD
N
PC C
D
PD P
x
轴力图如右图
2P
+
3P
+
轴力图的特点：突变值 = 集中力大小
F
F
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 即所有纵向纤维变形情况相同。
二、横截面上的应力
由平面假设可知，内力在横截面上是均匀分布的。 设杆轴力为N，横截面积为A，则应力为：
N A
F
N
应力σ的符号与轴力N相一致，
即：拉应力（背离截面）为正；
压应力（指向截面）为负。
例 求图示杆件各段横截面上的应力。 已知AAB = ACD = 200mm2， ABC =100mm2，F = 10kN
F A B F F 图 a) C D F
解: (1)画轴力图。
A B 10kN 10kN + C 图 b) D
a) F
A
B
F F 10kN +
C
D
F
b)
A
B
10kN
C
D
(2)计算AB段横截面上的应力 N 由公式 求得： A
AB
N AB 10103 6 Pa 50 10 Pa 50MPa 6 AAB 20010
例1、图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、
8P、4P、P的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O A B C D
PA
PD N1 A PA
PB
B PB
PC
C PC D PD
x
解：求OA段内力N1：OA段所取截面如图 ∑ Fx =0
N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4 P P 0
轴力图的简便画法： 轴力图，从左画； 无力段，水平线； 5kN 遇外力，要跳跃； 力向左，往上跳； 5kN 力向右，往下跳； 幅度等于力大小； 无载轴段水平线； 外力之处有突变。
8kN
3kN
+
8kN 3kN
例2 图示一等截面直杆，其受力情况如图所示。试作其轴力图。
解：(1)作杆的受力图， 求约束反力FA； 根据
F
x
0
-FA-F1 F2 -F3 F4 0
FA 10KN
(2)求各横截面上的轴力 AB段： BC段： CD段 DE段： FN1=FA=10 kN （考虑左侧） FN2=10 kN＋40 kN=50 kN （考虑左侧） FN3=20 kN－25 kN = -5k N (考虑右侧) FN4=20 kN（考虑右侧）
注意：内力是分析构件强度、刚度、稳定性等问题 的基础，但不能衡量构件强度的大小。
二、截面法求轴力 1 .用截面法求杆上内力
例如：截面法求A所在截面内力N
P
A
P P N x
（1）截开：
（2）代替：
P P
A
（3）平衡： ∑Fx=0
N P 0
N P
二、截面法求轴力 2.轴力符号规定
F
N
+
N
F
同一位置处左、右侧截面上内 力分量必须具有相同的正负号
构件满足安全承载要求（强度、刚度和稳定性）的
前提下，选择合理的材料、确定合理的截面形状和 几何尺寸，费用低廉。
一、材料力学的任务 构件承载能力：
1.强度：是指构件抵抗破坏的能力。
2.刚度：是指构件抵抗变形的能力。
3.稳定性：是指构件保持原有平衡 状态的能力。
二、杆件变形的基本形式
四种：拉伸（或压缩）、剪切、扭转、弯曲
轴向拉伸，对应的外力称为拉力。
P P
轴向压缩，对应的外力称为压力。
三、轴向拉伸与压缩的工程实例
C C B A B
G
第三节 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力 一、内力的概念 1.外力
以杆件为研究对象时，作用于杆件 上的载荷和约束反力均称为外力。
2.内力
由于外力的作用，而在杆件内部 产生的相互作用力，称为内力。
b) F c) F d) F F F
e)
第二节
轴向拉伸与压缩的概念
一、轴向拉伸与压缩的特点 轴向拉伸与压缩的外力特点： 外力的合力作用线与杆的轴线重合。
P P P P
轴向拉伸与压缩的变形特点： 轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：轴向缩短，横向伸长。
二、轴向拉伸与压缩的力学模型
PHale Waihona Puke BaiduP
N与外法线同向，为正轴力（拉力） N与外法线反向，为负轴力（压力）
N N
N N
N 0 N 0
三、轴力图
轴力图——内力N(x)的图象表示。
P
N A
P
P
杆的轴力图：
+
x
意 义
① ②
较直观的反映出轴力随截面位置变化情况；
确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位 置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
第三章
拉压杆件的承载能力
第一节 构件承载能力概述 第二节 轴向拉伸与压缩的概念 第三节 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力 第四节 轴向拉伸（或压缩）的强度计算 第五节 轴向拉伸（或压缩）的变形
第六节 材料拉伸和压缩时的力学性能
第七节 压杆稳定
第一节 构件承载能力概述
一、材料力学的任务 解决构件在外力（其它物体对构件的作用力） 作用下产生变形和破坏的问题（安全问题）。在实 验的基础上，提供一种理论依据和计算方法，保证
K点的应力：
p lim
P dP A0 A dA
n K
σ
p
正应力 σ p 的法向分量 切应力 p 的切向分量
应力的单位：帕斯卡(Pa） 1Pa=1N/m2 1GPa= 109Pa 1MPa= 106Pa
τ
n
b)
二、横截面上的应力
研究方法：
实验观察 作出假设 理论分析 实验验证
σCD = 50MPa
同理可求得：σBC = 100MPa
三、许用应力和强度条件 1.许用应力
（1）极限应力 材料的极限应力是指保证正常工作条件（不变形， 不破坏）下，该材料所能承受的最大应力值。
（2）工作应力 （3）许用应力 杆件轴向拉压时截面的应力是构件的实际应力。
(3) 作轴力图。
第四节 轴向拉伸（或压缩）的强度计算 一、应力的概念 A杆
10KN 10KN
NA=10KN
10KN
问：哪个杆先破坏?
10KN
B杆 内力不能衡量构件强度的大小。
NB=10KN
应力 内力在横截面上的分布密集程度 是衡量构件强度的 依据。
一、应力的概念
应力为矢量，通常可以分解为垂直于截面的分 量和切于截面的分量
N1 2 P
O
A
B
C
D
同理， 求得AB、BC、CD段 内力分别为： N2 = -3P N3 = 5P N4 = P
PA
PD N1 A
PB
B
PC
C D PD D PD D PC N4 5P
PA PB PC B C N2 PB N3 PD
N
PC C
D
PD P
x
轴力图如右图
2P
+
3P
+
轴力图的特点：突变值 = 集中力大小
F
F
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 即所有纵向纤维变形情况相同。
二、横截面上的应力
由平面假设可知，内力在横截面上是均匀分布的。 设杆轴力为N，横截面积为A，则应力为：
N A
F
N
应力σ的符号与轴力N相一致，
即：拉应力（背离截面）为正；
压应力（指向截面）为负。
例 求图示杆件各段横截面上的应力。 已知AAB = ACD = 200mm2， ABC =100mm2，F = 10kN
F A B F F 图 a) C D F
解: (1)画轴力图。
A B 10kN 10kN + C 图 b) D
a) F
A
B
F F 10kN +
C
D
F
b)
A
B
10kN
C
D
(2)计算AB段横截面上的应力 N 由公式 求得： A
AB
N AB 10103 6 Pa 50 10 Pa 50MPa 6 AAB 20010
例1、图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、
8P、4P、P的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O A B C D
PA
PD N1 A PA
PB
B PB
PC
C PC D PD
x
解：求OA段内力N1：OA段所取截面如图 ∑ Fx =0
N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4 P P 0
轴力图的简便画法： 轴力图，从左画； 无力段，水平线； 5kN 遇外力，要跳跃； 力向左，往上跳； 5kN 力向右，往下跳； 幅度等于力大小； 无载轴段水平线； 外力之处有突变。
8kN
3kN
+
8kN 3kN
例2 图示一等截面直杆，其受力情况如图所示。试作其轴力图。
解：(1)作杆的受力图， 求约束反力FA； 根据
F
x
0
-FA-F1 F2 -F3 F4 0
FA 10KN
(2)求各横截面上的轴力 AB段： BC段： CD段 DE段： FN1=FA=10 kN （考虑左侧） FN2=10 kN＋40 kN=50 kN （考虑左侧） FN3=20 kN－25 kN = -5k N (考虑右侧) FN4=20 kN（考虑右侧）
注意：内力是分析构件强度、刚度、稳定性等问题 的基础，但不能衡量构件强度的大小。
二、截面法求轴力 1 .用截面法求杆上内力
例如：截面法求A所在截面内力N
P
A
P P N x
（1）截开：
（2）代替：
P P
A
（3）平衡： ∑Fx=0
N P 0
N P
二、截面法求轴力 2.轴力符号规定
F
N
+
N
F
同一位置处左、右侧截面上内 力分量必须具有相同的正负号
构件满足安全承载要求（强度、刚度和稳定性）的
前提下，选择合理的材料、确定合理的截面形状和 几何尺寸，费用低廉。
一、材料力学的任务 构件承载能力：
1.强度：是指构件抵抗破坏的能力。
2.刚度：是指构件抵抗变形的能力。
3.稳定性：是指构件保持原有平衡 状态的能力。
二、杆件变形的基本形式
四种：拉伸（或压缩）、剪切、扭转、弯曲
轴向拉伸，对应的外力称为拉力。
P P
轴向压缩，对应的外力称为压力。
三、轴向拉伸与压缩的工程实例
C C B A B
G
第三节 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力 一、内力的概念 1.外力
以杆件为研究对象时，作用于杆件 上的载荷和约束反力均称为外力。
2.内力
由于外力的作用，而在杆件内部 产生的相互作用力，称为内力。