微分方程及其定解条件,等效积分
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v1A1 ud 0, v2 A2 ud 0, , vn An ud 0
v1, v2 , , vn 都是任意的函数，把这些积分加起来
v1A1 u v2 A2 u vn An ud 0
对于边界条件也一样，只是积分是沿边界积分
v1B1 u v2B2 u vk Bk u d 0
n
T n
hT
x,
y,
z
现在我们来回顾一下刚才介绍的几个微分方程
2u t 2
a2
2u x2
f
c
T t
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
2T x2
2T y 2
2T z 2
g
2T x2
2T y 2
2T z 2
0
第一个微分方程，方程两边微分的最高阶数都是2，如 果做移项整理
上面分析中对等效积分中使用的任意函数以及微分 方程的解的性质没有做出任何限定，事实上，对它 们是有一定限制的，那就是它们应该使得等效积分 式中的被积函数具有可积性或者说使积分能够进行 计算
vT Aud v TB ud 0
T
u x
0, t
k0u
0, t
t
T
u x
l,t
k1u
l,t
t
这个边界条件的物理意义是，弦的端点固定在两个 弹性支撑上，两个弹性支撑的弹性系数为：k0，k1
以上是弦振动的数学模型，是由微分方程与相应的定 解条件（初值条件，边值条件）共同组成的，这一样 问题又称为混合初边问题。定解条件中只有初值条件 的问题称为初值问题。定解条件中只有边值条件的， 称为边值问题。
上面这两个积分，我们可以写成矢量形式
v1A1 u v2 A2 u vn An ud vT Aud 0
v1B1 u v2B2 u
vk Bk u d
v TB ud 0
v v1, v2, , vn T v v1, v2, , vnT
这两个积分加起来，就得到想要得到的结果了
A 0
这个表达式代表任意一个微分方程，就像我们用f(x) 表示任意函数的道理一样,同样，边界条件我们也可以用 符号表达
B 0
例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程
2
x2
2
y 2
0
并且有边界条件 0
A
2
x2
2
y 2
0
B 0
这是一个微分方程和一个边界条件，单个待求函数的情 况，这种表示方法也可以拓展到微分方程组，多个待求 函数和多个边界条件的情况。
t
另外一种定解条件是边界条件，对于弦振动问题来说
给定弦的两个端点的运动规律，一般来说边界条件有
三种：
第一种给定弦端点的位移
u 0,t g1 t
u
l,
t
g2
t
第二种给定位移梯度的端点值 位移的梯度表示弦线的挠度
u x
0,
t
t
u x
l,
t
t
第三种边界条件是端点的位移和速度的线性组合是 一个已知函数，对于弦振动
2
x2
2
y2
Si
2
x2
2
y2
xiyi
0
[xi yi ]
现在我们把它对所有小区域求和
现在我们把它对所有小区域求和
i
2
x2
2
y2
xiyi
0
再进一步，如果我们取的小区域趋向无穷小，也就是
xi 0; yi 0
回忆一下，高等数学中定积分的概念，立刻就可以得到
lim
这里所说的弦的振动是弦的微小横振动，一定长度 的、柔软、均匀的弦，两端拉紧，在垂直于弦线的外力下 做微小横振动，弦的运动发生在同一平面内，弦的各点位 移与平衡位置垂直
弦的长度l，线密度为 ，弦的张力为T
O
u x, t
x
弦振动的微分方程为：
2u t 2
a2
2u x2
f
a2 T / f是垂直于平衡位置的外力
现在，我们来看一般的微分方程组的情况，之前曾 介绍过，微分方程组及其边界条件可以表示为：
Au A1 u, A2 u, , Am uT [0]Tm
B u B1 u, B2 u, , Bk uT [0]Tk
像上面拉普拉斯方程等效积分形式分析的过程一样，对 微分方程组中每一个微分方程，以下的积分都是成立的
可以用向量符号来表示待求解函数、微分方程组和边界 条件
带求解函数向量
u u1,u2, ,un T
微分方程组向量 Au A1 u, A2 u, , Am uT [0]Tm
边界条件向量 B u B1 u, B2 u, , Bk uT [0]Tk
例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程
2
x2
x
k
T x
y
k
T y
Baidu Nhomakorabea
z
k
T z
f0
0
假定物体是均匀的，那么这个方程可以进一步简化
2T 2T 2T g x2 y2 z2
这个方程又称为泊松（Poisson）方程
再进一步，如果均匀物体中没有热源，稳态热传导方程
为
2T x2
2T y 2
2T z 2
0
这就是我们熟悉的拉普拉斯方程（Laplace）
vT Aud v TB ud 0
这就是微分方程组等效积分形式的一般式，它与原微分 方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程为例进行讨论 的情况一样。微分方程（组）的等效积分形式，是有限 元方法的理论基础之一，推导有限元求解方程的方法之 一就是从微分方程（组）的等效积分出发，由于与原微 分方程的等效性，从而保证了有限元求解的正确性。
现在，我们把1换成其他的，任意的函数，同样成立
v
2
x2
2
y2
v
0
0
对于边界条件也可以这样 v 0
v
k
n
q
0
按照刚才的思路，同样可以得到一个积分等式
v
2
x2
2
y2
dxdy
v
dl
q
v
k
n
q
dl
0
这个方程与拉普拉斯方程及其边界条件是等效的，也就 是说，只要拉普拉斯方程成立这个积分式就成立，反过 来只要这个积分式成立，拉普拉斯方程及其边界条件就 成立。这就是拉普拉斯方程及其边界条件的等效积分形 式。我们可以把它推广到一般情况。
虽然是要推导一个普遍规律，但为了便于说明，我们还 是从一个简单的特例出发，这个特列就是刚才提到的二 维拉普拉斯方程及其边界条件
A
2
x2
2
y 2
0
0
B
k
n
q
0
q
这个二维拉普拉斯方程的求解域是一个平面区域
在求解域内的一个小区域内
拉普拉斯方程也是成立的， 也就是
2
x2
2
y2
有限元方法特别适合求解椭圆微分方程或方程组。
现在来总结一下边界条件，我们看到，在以上的三个 典型问题的微分方程中，给定的边界条件都有三种：
第一种是给定待求函数在边界处的数值，这种边界条件 称为第一边界条件、Direchlet边界条件、强制边界条件
第二种是给定待求函数在边界处梯度或方向导数，这种 边界条件称为第二边界条件、Neumann边界条件
Tt0 x, y, z
边值条件也有三种
第一种：给定边界的温度 T x, y, z
第二种：给定边界的热流量 T x, y, z,t
n
第三种：给定边界的热流量和温度线性组合
T n
hT
x,
y,
z
T n
T
n
T x
nx
T y
ny
T z
nz
下面来看第三个典型问题：位势方程
在三维热传导问题中，如果温度不随时间变化，即 定常热传导，三维热传导方程可以写为
从上面的算子表达式，再回忆我们学过的高等数学的 知识，哈密顿算子运算的结果，是一个标量场的梯度 是一个向量场，而反过来说，如果一个向量场是一个 标量场的梯度，这个向量场称为有势场，这个标量场 称为有势场的位势场或位势函数
在定常热传导问题中，温度场的梯度为
T T i T j T k x y z
2u t 2
a2
2u x2
f
这个方程的形式和双曲线方程的形式很类似
x2 y2 a2 b2 c
这类的方程又称为双曲型微分方程
再看第二个方程，现在加上物体均匀，为了几何上更 直观这个方程可以，我们写出一维的情况
c
T t
k
2T x2
f0
这个方程形式和抛物线方程形式类似
y ax2 c
这类方程又称为抛物型微分方程
以上给出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系 下的形式，下面给出它们的算子形式，它们在其它坐标 也成立系
泊松方程
T 2T g
拉普拉斯方程 T 2T 0
其中，在笛卡尔坐标系下：
i j k 称为哈密顿（Hamilton）算子 x y z
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算子
2
y 2
0
现在边界条件有两个，在一部分边界上给定函数值，另一 部分的边界上给定函数方向导数，这样
A
2
x2
2
y 2
0
0
B
k
n
q
0
q
了解微分方程的抽象数学表达对理论研究是很有帮助的， 因为在研究微分方程的一般性质或推导一些微分方程的 一般规律时，我们不可能对每个微分方程都推导一遍，这 时抽象表达是 就发挥重要作用了。下面我们就将见到一种 微分方程的普遍规律或者说普遍的变换形式——等效积分 形式
思考题：
这小节中，三维热传导问题的微分方程和位势方程、以 及哈密顿算子 给出的都是笛卡尔坐标下的形式，试查阅 资料，并推导这些微分方程和算子在柱坐标和球坐标系 下的表达式。
拓展
前面我们看到了三个典型问题的微分方程，实际中遇到 的、使用的、包括我们自己在分析问题时建立的微分方 程是非常多的，为了便于研究，我们采用一种符号表示 法来表示微分方程，例如：
xi 0 yi 0
i
2 2
x2
y2
xiyi
2 2
x2
y 2
dxdy
0
对于边界条件我们同样可以做类似的分析
2
x2
2
y2
dxdy
dl
q
k
n
q
dl
0
上面的积分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其边界 条件成立，拉普拉斯方程从以下这个角度看待
1
2
x2
2
y2
1
0
这一部分里，我们将看到以下内容
几个典型物理问题及其数学描述（微分方程和定解条 件）
微分方程的类型 微分方程的边界条件 微分方程及其边界条件的等效积分原理
几个典型的问题
弦振动问题的微分方程及定解条件 传热问题的微分方程及定解条件 位势方程及定解条件
弦是一种抽象模型，工程实际中，可以模拟绳锁、 电缆等结构，如远距离输电线路、一些桥梁的悬索、拉 锁等；几何上可以用一条线段（不一定是直线段）来表 示弦。
也就是说，这个向量场是温度场的梯度，是一个有势场 而温度场是这个有势场的位势场或位势函数，这就是泊 松方程和拉普拉斯方程称为位势方程的原因
现在我们来看位势方程的定解条件。由于待求变量与 时间无关，不需要初值条件因此位势方程的定解条件 类似三维热传导方程的三种边界条件，
T x, y, z
T x, y, z,t
这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态， 但单纯依靠这个微分方程，我们还不能唯一确定弦的 振动，必须给出定解条件，定解条件主要有两种，一 种是初始时刻弦的运动状态，称为初始条件：
初始时刻各点的位移 u x,0 x 0 x l 初始时刻各点的速度 u x,0 x 0 x l
最后再看位势方程，为了几何直观，我们写成二维的
情况
2T x2
2T y 2
g
这个方程形式和椭圆方程形式类似
x2 a2
y2 b2
1
这类方程又称为椭圆型微分方程
微分方程主要就分为这三个类型：抛物型；双曲型；椭 圆型
请大家注意，我们并不是要讨论三种类型的微分方程的 准确定义。准确的定义，大家可以参考数学物理方程的 有关书籍和资料
第三种是给定边界上待求函数及其方向导数的线性组合， 这种边界条件称为第三边界条件
我们总结一下这一小节的内容
描述物理过程的微分方程主要分为三个类型：椭圆型、 双曲型、抛物型
有限元法特别适合求解椭圆型微分方程 边界条件主要有三种：第一边界条件（Direchlet条件、
强制边界条件）、第二边界条件（Neumann条件）和 第三边界条件
0
[x y]
y
x
如果方程两边同时乘以这个小区域的面积，结果会是
这样
2 2 2 2
x2
y2
S
x2
y2
xy
0
[x y]
设想把求解域划分成若干个小区域，也就是说求解域的 面积等于这些小区域面积和
S S1 S2 Sn
Si xiyi
i
i
对于每一个小区域来说，刚才的推导也是成立的
下面来看第二个典型问题：热传导问题
三维非定常热传导问题的微分方程为：
c
T t
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
c 物体的比热容
物体的密度
k 物体的热传导系数
f0 物体内部热源强度
与弦振动问题类似，要想确定物体内部的温度场，除 了上面那个微分方程以外，还需要定解条件，定解条 件也包括两种：初值条件和边值条件 初值条件，是初始时刻物体的温度场
v1, v2 , , vn 都是任意的函数，把这些积分加起来
v1A1 u v2 A2 u vn An ud 0
对于边界条件也一样，只是积分是沿边界积分
v1B1 u v2B2 u vk Bk u d 0
n
T n
hT
x,
y,
z
现在我们来回顾一下刚才介绍的几个微分方程
2u t 2
a2
2u x2
f
c
T t
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
2T x2
2T y 2
2T z 2
g
2T x2
2T y 2
2T z 2
0
第一个微分方程，方程两边微分的最高阶数都是2，如 果做移项整理
上面分析中对等效积分中使用的任意函数以及微分 方程的解的性质没有做出任何限定，事实上，对它 们是有一定限制的，那就是它们应该使得等效积分 式中的被积函数具有可积性或者说使积分能够进行 计算
vT Aud v TB ud 0
T
u x
0, t
k0u
0, t
t
T
u x
l,t
k1u
l,t
t
这个边界条件的物理意义是，弦的端点固定在两个 弹性支撑上，两个弹性支撑的弹性系数为：k0，k1
以上是弦振动的数学模型，是由微分方程与相应的定 解条件（初值条件，边值条件）共同组成的，这一样 问题又称为混合初边问题。定解条件中只有初值条件 的问题称为初值问题。定解条件中只有边值条件的， 称为边值问题。
上面这两个积分，我们可以写成矢量形式
v1A1 u v2 A2 u vn An ud vT Aud 0
v1B1 u v2B2 u
vk Bk u d
v TB ud 0
v v1, v2, , vn T v v1, v2, , vnT
这两个积分加起来，就得到想要得到的结果了
A 0
这个表达式代表任意一个微分方程，就像我们用f(x) 表示任意函数的道理一样,同样，边界条件我们也可以用 符号表达
B 0
例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程
2
x2
2
y 2
0
并且有边界条件 0
A
2
x2
2
y 2
0
B 0
这是一个微分方程和一个边界条件，单个待求函数的情 况，这种表示方法也可以拓展到微分方程组，多个待求 函数和多个边界条件的情况。
t
另外一种定解条件是边界条件，对于弦振动问题来说
给定弦的两个端点的运动规律，一般来说边界条件有
三种：
第一种给定弦端点的位移
u 0,t g1 t
u
l,
t
g2
t
第二种给定位移梯度的端点值 位移的梯度表示弦线的挠度
u x
0,
t
t
u x
l,
t
t
第三种边界条件是端点的位移和速度的线性组合是 一个已知函数，对于弦振动
2
x2
2
y2
Si
2
x2
2
y2
xiyi
0
[xi yi ]
现在我们把它对所有小区域求和
现在我们把它对所有小区域求和
i
2
x2
2
y2
xiyi
0
再进一步，如果我们取的小区域趋向无穷小，也就是
xi 0; yi 0
回忆一下，高等数学中定积分的概念，立刻就可以得到
lim
这里所说的弦的振动是弦的微小横振动，一定长度 的、柔软、均匀的弦，两端拉紧，在垂直于弦线的外力下 做微小横振动，弦的运动发生在同一平面内，弦的各点位 移与平衡位置垂直
弦的长度l，线密度为 ，弦的张力为T
O
u x, t
x
弦振动的微分方程为：
2u t 2
a2
2u x2
f
a2 T / f是垂直于平衡位置的外力
现在，我们来看一般的微分方程组的情况，之前曾 介绍过，微分方程组及其边界条件可以表示为：
Au A1 u, A2 u, , Am uT [0]Tm
B u B1 u, B2 u, , Bk uT [0]Tk
像上面拉普拉斯方程等效积分形式分析的过程一样，对 微分方程组中每一个微分方程，以下的积分都是成立的
可以用向量符号来表示待求解函数、微分方程组和边界 条件
带求解函数向量
u u1,u2, ,un T
微分方程组向量 Au A1 u, A2 u, , Am uT [0]Tm
边界条件向量 B u B1 u, B2 u, , Bk uT [0]Tk
例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程
2
x2
x
k
T x
y
k
T y
Baidu Nhomakorabea
z
k
T z
f0
0
假定物体是均匀的，那么这个方程可以进一步简化
2T 2T 2T g x2 y2 z2
这个方程又称为泊松（Poisson）方程
再进一步，如果均匀物体中没有热源，稳态热传导方程
为
2T x2
2T y 2
2T z 2
0
这就是我们熟悉的拉普拉斯方程（Laplace）
vT Aud v TB ud 0
这就是微分方程组等效积分形式的一般式，它与原微分 方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程为例进行讨论 的情况一样。微分方程（组）的等效积分形式，是有限 元方法的理论基础之一，推导有限元求解方程的方法之 一就是从微分方程（组）的等效积分出发，由于与原微 分方程的等效性，从而保证了有限元求解的正确性。
现在，我们把1换成其他的，任意的函数，同样成立
v
2
x2
2
y2
v
0
0
对于边界条件也可以这样 v 0
v
k
n
q
0
按照刚才的思路，同样可以得到一个积分等式
v
2
x2
2
y2
dxdy
v
dl
q
v
k
n
q
dl
0
这个方程与拉普拉斯方程及其边界条件是等效的，也就 是说，只要拉普拉斯方程成立这个积分式就成立，反过 来只要这个积分式成立，拉普拉斯方程及其边界条件就 成立。这就是拉普拉斯方程及其边界条件的等效积分形 式。我们可以把它推广到一般情况。
虽然是要推导一个普遍规律，但为了便于说明，我们还 是从一个简单的特例出发，这个特列就是刚才提到的二 维拉普拉斯方程及其边界条件
A
2
x2
2
y 2
0
0
B
k
n
q
0
q
这个二维拉普拉斯方程的求解域是一个平面区域
在求解域内的一个小区域内
拉普拉斯方程也是成立的， 也就是
2
x2
2
y2
有限元方法特别适合求解椭圆微分方程或方程组。
现在来总结一下边界条件，我们看到，在以上的三个 典型问题的微分方程中，给定的边界条件都有三种：
第一种是给定待求函数在边界处的数值，这种边界条件 称为第一边界条件、Direchlet边界条件、强制边界条件
第二种是给定待求函数在边界处梯度或方向导数，这种 边界条件称为第二边界条件、Neumann边界条件
Tt0 x, y, z
边值条件也有三种
第一种：给定边界的温度 T x, y, z
第二种：给定边界的热流量 T x, y, z,t
n
第三种：给定边界的热流量和温度线性组合
T n
hT
x,
y,
z
T n
T
n
T x
nx
T y
ny
T z
nz
下面来看第三个典型问题：位势方程
在三维热传导问题中，如果温度不随时间变化，即 定常热传导，三维热传导方程可以写为
从上面的算子表达式，再回忆我们学过的高等数学的 知识，哈密顿算子运算的结果，是一个标量场的梯度 是一个向量场，而反过来说，如果一个向量场是一个 标量场的梯度，这个向量场称为有势场，这个标量场 称为有势场的位势场或位势函数
在定常热传导问题中，温度场的梯度为
T T i T j T k x y z
2u t 2
a2
2u x2
f
这个方程的形式和双曲线方程的形式很类似
x2 y2 a2 b2 c
这类的方程又称为双曲型微分方程
再看第二个方程，现在加上物体均匀，为了几何上更 直观这个方程可以，我们写出一维的情况
c
T t
k
2T x2
f0
这个方程形式和抛物线方程形式类似
y ax2 c
这类方程又称为抛物型微分方程
以上给出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系 下的形式，下面给出它们的算子形式，它们在其它坐标 也成立系
泊松方程
T 2T g
拉普拉斯方程 T 2T 0
其中，在笛卡尔坐标系下：
i j k 称为哈密顿（Hamilton）算子 x y z
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算子
2
y 2
0
现在边界条件有两个，在一部分边界上给定函数值，另一 部分的边界上给定函数方向导数，这样
A
2
x2
2
y 2
0
0
B
k
n
q
0
q
了解微分方程的抽象数学表达对理论研究是很有帮助的， 因为在研究微分方程的一般性质或推导一些微分方程的 一般规律时，我们不可能对每个微分方程都推导一遍，这 时抽象表达是 就发挥重要作用了。下面我们就将见到一种 微分方程的普遍规律或者说普遍的变换形式——等效积分 形式
思考题：
这小节中，三维热传导问题的微分方程和位势方程、以 及哈密顿算子 给出的都是笛卡尔坐标下的形式，试查阅 资料，并推导这些微分方程和算子在柱坐标和球坐标系 下的表达式。
拓展
前面我们看到了三个典型问题的微分方程，实际中遇到 的、使用的、包括我们自己在分析问题时建立的微分方 程是非常多的，为了便于研究，我们采用一种符号表示 法来表示微分方程，例如：
xi 0 yi 0
i
2 2
x2
y2
xiyi
2 2
x2
y 2
dxdy
0
对于边界条件我们同样可以做类似的分析
2
x2
2
y2
dxdy
dl
q
k
n
q
dl
0
上面的积分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其边界 条件成立，拉普拉斯方程从以下这个角度看待
1
2
x2
2
y2
1
0
这一部分里，我们将看到以下内容
几个典型物理问题及其数学描述（微分方程和定解条 件）
微分方程的类型 微分方程的边界条件 微分方程及其边界条件的等效积分原理
几个典型的问题
弦振动问题的微分方程及定解条件 传热问题的微分方程及定解条件 位势方程及定解条件
弦是一种抽象模型，工程实际中，可以模拟绳锁、 电缆等结构，如远距离输电线路、一些桥梁的悬索、拉 锁等；几何上可以用一条线段（不一定是直线段）来表 示弦。
也就是说，这个向量场是温度场的梯度，是一个有势场 而温度场是这个有势场的位势场或位势函数，这就是泊 松方程和拉普拉斯方程称为位势方程的原因
现在我们来看位势方程的定解条件。由于待求变量与 时间无关，不需要初值条件因此位势方程的定解条件 类似三维热传导方程的三种边界条件，
T x, y, z
T x, y, z,t
这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态， 但单纯依靠这个微分方程，我们还不能唯一确定弦的 振动，必须给出定解条件，定解条件主要有两种，一 种是初始时刻弦的运动状态，称为初始条件：
初始时刻各点的位移 u x,0 x 0 x l 初始时刻各点的速度 u x,0 x 0 x l
最后再看位势方程，为了几何直观，我们写成二维的
情况
2T x2
2T y 2
g
这个方程形式和椭圆方程形式类似
x2 a2
y2 b2
1
这类方程又称为椭圆型微分方程
微分方程主要就分为这三个类型：抛物型；双曲型；椭 圆型
请大家注意，我们并不是要讨论三种类型的微分方程的 准确定义。准确的定义，大家可以参考数学物理方程的 有关书籍和资料
第三种是给定边界上待求函数及其方向导数的线性组合， 这种边界条件称为第三边界条件
我们总结一下这一小节的内容
描述物理过程的微分方程主要分为三个类型：椭圆型、 双曲型、抛物型
有限元法特别适合求解椭圆型微分方程 边界条件主要有三种：第一边界条件（Direchlet条件、
强制边界条件）、第二边界条件（Neumann条件）和 第三边界条件
0
[x y]
y
x
如果方程两边同时乘以这个小区域的面积，结果会是
这样
2 2 2 2
x2
y2
S
x2
y2
xy
0
[x y]
设想把求解域划分成若干个小区域，也就是说求解域的 面积等于这些小区域面积和
S S1 S2 Sn
Si xiyi
i
i
对于每一个小区域来说，刚才的推导也是成立的
下面来看第二个典型问题：热传导问题
三维非定常热传导问题的微分方程为：
c
T t
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
c 物体的比热容
物体的密度
k 物体的热传导系数
f0 物体内部热源强度
与弦振动问题类似，要想确定物体内部的温度场，除 了上面那个微分方程以外，还需要定解条件，定解条 件也包括两种：初值条件和边值条件 初值条件，是初始时刻物体的温度场