线性规划问题解的性质_5264

x(1) 32 x(2) 24
无穷最优解: x3 2(1)2 4(01)
6
点
3、极点 （P31）
若凸集S中的点 x ，不能成为S中任何线段的内点， 则称 x 为 S 的极点。
即：若对 S 中任意两点x(1), x(2)不存在(01)
LP问题的最优解可从有限的几个极点中去找。
——单纯形方法：从一个极点迭代到另一个极点， 判断并找出最优解。
线性规划问题解 的性质
§2.3 线性规划问题解的性质
一、几个基本概念（名词）
1、可行解、基础可行解；最优解、基础最优解。
min S C X
设：LP问题：

AX X
0
b
① 满足约束条件的向量

x
0 1

x0


x
0 2



x
0 n

AX 0 b X 0 0
2） A xAx(1)(1)A(2)x
b (1 )b b ∴ x∈ S
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性质2、LP问题的可行解集 S 中点 x 为极点
的充分必要条件是 x 为基础可行解。 证明：1） 若 x = 0 ，由定义可知必是基础可行解。
2） 若 x ≠ 0 设 x 的非零分量为 xj1 xj2 … xjk （k≤n）
结论可推至 n 维
01
（等号为端点）
5
min S S x1 2 x 2
x1 x3 4

x
2

x4

3

x
1

2 x2

x5

8
x j 0 ( j 1 ~ 5 )
最优解在 BC 线段上
X2
AB
3
2
C
S=0 1
D
o0
1
2
3
4 X1
B(2,3) C(4,2)
用性质2的证法，由 x0 构造 x（1）， x（2） 使其中一个的非零分量比 x0 少一个，且仍是最优解 重复数次总能找到一个最优解，使其非零分量（为最少）
它们对应的列向量线性无关，即为极点。 （略）
11
性质1：LP问题的可行解集一定是凸集
性质2：可行解集中点X是极点 X是基础可行解
性质3：LP若有最优解 必定可以在其可行解集的 某个极点得到。
x1
8
二、线性规划问题的解的性质
性质1、若(LP)问题有可行解，则可行解集必是凸集
证明：设解集： S xA X b ,x0 有任意两个解
x(1) x(2)
应证明当：xx (1 ) (1 )x (2 )(0 1 )也是属于S的解 1） x(1 )0 ,x(2 )0 ,01 x0
使： xx(1)(1)x(2)
例如：矩形、三角形、四面体的顶点， 园周上的点都是极点
7
2
例 2 集合： ( x 1 ,x 2 )x 1 x 2 5 ,x 1 0 ,x 2 0
判断此集合的图形是否为凸集？找出极点。
x2 A
5
O
可见：此集合是凸集 极点有：O（0，0） A（0，5）
1 2 0 0 1
① 凸多边形OABCD上任一点都是可行解
X2
AB
3
F（3，5/2）
●
2
● E（1，2）
C
1
2
如
E（1，2）点对应解x (1 )

3

是可行解1
o 0
O（0，0）点对应解x ( 2 )

0 4

1

3

是基础可行解
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基础可行解即极点个数有限
当约束条件为m个，n个变量时
Aaijmn
基础可行解与矩阵 A中的一组线性无关的列向量相对应
在A中的任取 m 列共有 Cnmm!(nn!m)!(mn)
A中m 个列向量中的线性无关组的个数更少，是有限的
所以极点的个数（基础可行解个数）是有限的
由定理3可知
（不超过上数）
在 A中对应的列向量为 pj1 pj2 … pjk 要证明它们为线性无关，则 x 就是基础可行解。
用反证法证明。 书上 P32 （略）
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性质3、LP问题的最优值可在极点上达到
证明：设最优解为 x0 ，最优值 S（ x0 ）= C x0
1） 若 x0 = 0 ，由定义可知必是极点。 2） 若 x0 ≠ 0


3 2


1 2


0

是基础最优解

x
2

x4

3

x
1

2 x2

x5

8
x j 0 ( j 1 ~ 5 )
0

0

3
2、凸集（ P31）
若连接 n 维点集S中任意两点 x(1), x(2)的线段仍在S内
则称 S为凸集。 即：
x x x ( 1 ) ( 1 ) x ( 2 ) , 0 1 , x ( 1 ) S , x ( 2 ) S S
x

x1 x2 1
令


y

y1 y2 1
A x (1)
x


x y

： 1 1( 0 01)
11111
写成向量形式 ：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
则
：
xx1 (1)x2 y y1 (1)y2
xx(1) (1)x(2)
0
1
2
3
D
4 X1
3

8

∵ p3 p4 p5 无关
② 最优解在 BC 线段上（无穷最优解）
3


5 2

min S S x1 2 x 2 x1 x3 4
如
F（3，5/2）点对应解x (3 )

1

是最优解
2

B（2，3）点对应解 x (4)
称为可行解
② 若可行解 x0=o 或 x0 中非零分量 xs xt …所对应A中的
列向量 ps pt … 是线性无关时，称为 基础可行解 ③ 满足 minS=CX0 的可行解 x0 称为 最优解
④ 满足 minS=CX0 的基础可行解 x0 称为 基础最优
解
2
由上节得解
1 0 1 0 0 A 0 1 0 1 0
例如：在二维集合中：矩形、三角形、园是凸集 园环不是凸集
在三维集合中：立方体、棱柱、四面体是凸集 空心球不是凸集
4
说明：二维点 A,Bx(1) xy11 x(2) xy22
连线上点 C 可视为定比内分点
Cx
×
Bx (2)
若： 则：
AC (0)
CB