7.7用弹性中心法计算对称无铰拱

曲杆段 直杆段
q qR 2 2 M P = − ( R sin θ ) − (1 − cos θ ) 2 = −qR 2 (1 − cos θ ) 2 2
qR 2 qy 2 MP = − − 2 2
π
2 0
据此， 据此，可求得系数和自由项为
M 12 2 ds = δ 11 = ∫ EI EI
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δ 11 FN22 ( y − yS )2 M 22 cos 2 ϕ ds + ∫ ds = ∫ ds + ∫ ds δ 22 = ∫ EI EA EI EA 2 M 32 x δ 33 = ∫ ds = ∫ ds EI EI M 1M P ∆1 P = ∫ ds EI M 2M P ∆2 P = ∫ ds EI M 3M P ∆3 P = ∫ ds EI M 12 1 =∫ ds = ∫ ds EI EI
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令δ 12= δ 21=0，便可得到刚臂长度 S为 ，便可得到刚臂长度y
1 EI
O ds 弹性中心 y ys
x
yS =
∫ ∫
y ds EI 1 ds EI
y
(7-14)
为了形象地理解上式的几何意义， 为了形象地理解上式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等 的图形， 代表此图中的微面积， 于1/EI的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而式（7-14）就 的图形 代表此图中的微面积 而式（ ） 是计算这个图形面积的形心计算公式。 是计算这个图形面积的形心计算公式。由于此图形的面积与结 构的弹性性质EI有关 故称它为弹性面积图， 有关， 构的弹性性质 有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为 弹性中心。 弹性中心。 如果先按式（ 如果先按式（7-14）求出 S，即确定弹性中心的位置，并 ）求出y 即确定弹性中心的位置， 将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图7-37d所示带刚臂的 将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图 所示带刚臂的 基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。 基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法 就称为弹性中心法 弹性中心法。 就称为弹性中心法。
式中， 式中，MP、FQP和FNP分别为基本结构在荷载作用下该截面的 弯矩、剪力和轴力。 弯矩、剪力和轴力。
弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次 超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。 超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。
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三、温度变化时的计算
+t1℃ +t2℃ y l/2 l/2 f +t2℃ x +t1℃
X2 X1 X1 X3 X3 X2
x ys
y 基本体系
无铰拱在温度变化时，将会产生明显的内力。设图7-41a所示 无铰拱在温度变化时，将会产生明显的内力。设图 所示 对称无铰拱的外侧温度升高t1℃ 内侧温度升高t2℃ 对称无铰拱的外侧温度升高 ℃，内侧温度升高 ℃。力法计 算时仍采用弹性中心法，其基本体系如图7-41b所示。由于温 算时仍采用弹性中心法，其基本体系如图 所示。 所示 度变化对称于y轴 因此有X3=0，力法方程简化为 度变化对称于 轴，因此有 ，
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x X1=1 X1=1 K X2=1 X2=1
ys K
y
x
y
y x ϕ X3=1 y X3=1 K x
M 1 = 1, FN1 = 0, FQ1 = 0
M 2 = y − y S , FN2 = − cos ϕ , FQ2 = sin ϕ M 3 = x, FN3 = sin ϕ , FQ3 = cos ϕ
δ 22 X 2 + ∆2 P = 0 δ 33 X 3 + ∆3 P = 0 下面， 下面，说明如何利用刚臂来达到上 述简化目的 。
第一步， 第一步，把原来的无铰拱换成带刚 臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与 臂的无铰拱 这个带刚臂的无铰拱与 原来的无铰拱是等效的， 原来的无铰拱是等效的，可以相互 代替。 代替。
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δ 11 X 1 + ∆1 P = 0
FP
C O
A
EI=∞
B
第二步，选取基本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端 处 第二步，选取基本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端O处 切开。 切开。
FP C O A FP X2 EI=∞ B A C O X1 X1 X3 X3 y X2 ys K B y x
= 0
A
FP X2
X1
X2 B
δ 33 X 3 + ∆3 P = 0
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X3
第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数δ 12 也等于零， 和δ 21也等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一 元一次方程： 元一次方程：
M A = X 1 + X 2 ( y − yS ) + M P qR 2 q (2 R) 2 = 0.87qR + 1.14qR(2 R − 0.81R) + [− − ] 2 2
2
= −0.27 qR 2 （外侧受拉）
M C = X 1 − X 2 yS = 0.87 qR 2 − 1.14qR × 0.81R = −0.05qR 2 （外侧受拉）
π
(3)求多余未知力 1和X2 求多余未知力X 求多余未知力
X1 = −
X2 = −
∆1P
δ 11
∆2 P
4.47qR 3 EI = × = 0.87qR 2 EI 5.14 R
2.43qR 4 EI = × = 1.14qR 3 EI 2.04 R
δ 22
(4)根据叠加公式，求得 根据叠加公式， 根据叠加公式
∫
2 1 × Rdθ + EI
∫
2R R
5.14 R 1 × dy = EI
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2 M2 2 δ 22 = ∫ ds = EI EI
2 2 R 2 (0.19-cosθ ) 2 Rdθ + ∫0 EI
π
∫
2R R
2.04 R 3 ( y − 0.81R ) 2 dy = EI
π M 1M P 2 2 ds = - 1 × qR 2 (1 - cosθ ) Rdθ ∆1P = ∫ EI EI ∫0 2 2R qR 2 qy 2 4.47 qR 3 + ∫ R - 1 × ( 2 + 2 )dy = EI EI
7.7
一、弹性中心
用弹性中心法计算对称无铰拱
为了简化计算，采用以下两项简化措施： 为了简化计算，采用以下两项简化措施： 第一选取对称的基本结构 力法方程简化为两组独立的方 程，即
A FP 对 称 轴
B
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1 P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆2 P
M 2M P 2 2 ∆2 P = ∫ ds = - R(0.19 - cosθ ) × qR 2 (1 - cosθ ) Rdθ EI EI ∫ 0 2 2R qR 2 qy 2 + ∫ R - ( y − 0.81R) × ( 2 + 2 )dy EI 2.43qR 4 =− EI
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二、荷载作用下的计算
力法方程简化为式
δ 11 X 1 + ∆1 P = 0 δ 22 X 2 + ∆2 P = 0 δ 33 X 3 + ∆3 P = 0
当计算系数和自由项时， 当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的 影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时， 影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时， 或拱高f<l/5时，或拱高 >l/5且拱顶截面高度 c>l/10时，还需 且拱顶截面高度h 或拱高 时 或拱高f 且拱顶截面高度 时 的影响。 考虑轴力对δ 22的影响。即
ys
y 基本体系
解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因 此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。 为 (qds ) cosθ = qdx
(qds) sin θ = qdy
由于荷载对称，故反对称力 由于荷载对称，故反对称力X3=0
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(2)计算系数和自由项 计算系数和自由项 由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为
qds y ys X2 =1 q dy dx x ds
X2 X1 X1 X3 X3 X2
ys
M2
y
1）在X1=1作用下 ） 作用下 直、曲杆段 2）在X2=1作用下 ） 作用下 曲杆段 直杆段
第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点 的位置 的位置。 第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。 的算式如下： 副系数δ 12的算式如下：
δ 12 µFQ1 FQ 2 FN1 FN 2 M 1M 2 =∑∫ ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA GA
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由力法方程算出多余未知力X 由力法方程算出多余未知力 1、X2和X3后，即可用隔离 体的平衡条件或内力叠加公式[参见单位未知力引起的内力表 体的平衡条件或内力叠加公式 参见单位未知力引起的内力表 达式（ ） 求得 达式（d）]求得
M = X 1 + X 2 ( y − yS ) + X 3 x + M P FQ = X 2 sin ϕ + X 3 cos ϕ + FQP FN = − X 2 cos ϕ + X 3 sin ϕ + FNP
(f)
F 分别把 M 1 = 1 、M 2 = y − y S 和 FN1 = 0 、 N2 = − cos ϕ 代入式 ），得 （f），得 ），
式中， 为刚臂长度； 式中，yS为刚臂长度；ϕ为 截面处拱轴切线与水平线之 间的夹角，在右半拱取正， 间的夹角，在右半拱取正， 左半拱取负。 左半拱取负。
得
δ 12 = δ 21
y 1 (1) × ( y − y S ) =∫ ds − y S ∫ ds =∫ ds + 0 + 0 EI EI EI
δ 11 X 1 + ∆1t = 0
δ 22 X 2 + ∆2t = 0
（7-16） ）
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主系数计算同式（ ），自由项为 主系数计算同式（7-15），自由项为 ），
Mi ∆it = ∑ α∆t ∫ ds + ∑ αt 0 ∫ FNi ds h
【例7-14】试用弹性中心法计算图 】试用弹性中心法计算图7-40a所示圆拱直墙刚架的弯 所示圆拱直墙刚架的弯 常数。 矩MA和MC。设EI=常数。 常数
θ qds qdscosθ θ qdssinθ θ ds C θ R R A B q q dy qds dx x ds
X2 X1 X1 X3 X3 X2
(1)求弹性中心位置 求弹性中心位置
θ qds qdscosθ θ qdssinθ θ ds C θ R R A B qds q dy dx x ds
X2 X1 X1 X3 X3 X2
q
ys
y 基本体系
yS =
∫ ∫
y 2 ds EI = EI 1 ds EI
∫
π
2 0
2 2R R (1 − cos θ ) Rdθ + ∫ R ydy EI = 0.81R π 2 2 2 2R ∫0 Rdθ + EI ∫ R dy EI
基本体系
M1 = 1
M 2 = y − y s = R (1 − cos θ ) − 0.81R = R (0.19 − cos θ )
M 2 = y − y S = y − 0.81R
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3）在荷载作用下 ）
q
q
q
ys θ MP (曲杆段 曲杆段) 曲杆段 MP (直杆段 直杆段) 直杆段 q R y