高斯与正十七边形尺规作图法

高斯与正十七边形尺规作图法

【作图原理】

首先要给出一条定理。

定理1：

若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，

其中c是方程的实根。

上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为的线段。

而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是的线段。设

则有

即是方程的根，由定理1可知，长为和的线段可以做出。

令

则有

同样由定理1可知，长度是的线段都可以做出来的。

再由

这样，是方程较大的实根。显然也可以做出来。证毕

1、OD=1/4，

2、OA=1，

3、DA=170.5/4，

4、OA1=(170.5-1)/16，

5、A1A=(17-170.5)/16，

6、DA1=(34-2*170.5)0.5

7、O O1=(170.5+1)*((34-2*170.5)0.5-4)/64，8、O1A1= OA1-O O1，9、DO1=（1/16+ O O12）0.5，10、OJ=(1-4* O O1)/4( 1+4* O O1)，11、DJ=(16+OJ2)，12、AK=JK=KL=（1+OJ）/2，13、OK=1-AK，14、O1K=OK-OO1，15、OL=（KL2-OK2）0.5，

16、O1L= O1 M =（OL2+ O O12）0.5，

17、OM=OM1+ O O1=（O O12+OJ）0.5+ O O1=COS3a，OJ=OL2，

18、LA=(1+OL2)0.5，

设正17边形中心角为α,则17α=360度,即16α=2π-α故sin16α=-sinα,又

sin16α =2sin8αcos8α=22sin4αcos4αcos8α=2 4

sinαcosαcos2αcos4αcos8α

因sinα不等于0,两边同除有:

16cosαcos2αcos4αcos8α=-1

又由2cosαcos2α=cosα+cos3α等,有

2(cosα+cos2α+…+cos8α)=-1

注意到cos15α=cos2α,cos12α=cos5α,

令

x=cosα+cos2α+cos4α+cos8α

y=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α

有:

x+y=-1/2

又xy=(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)

=1/2(cos2α+cos4α+cos4α+cos6α+…+cosα+cos15α)

经计算知xy=-1

又有

x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4

其次再设:x1=cosα+cos4α,

x2=cos2α+cos8α

y1=cos3α+cos5α,

y2=cos6α+cos7α=cos6α+cos10α

故有x1+x2=(-1+√17)/4

y1+y2=(-1-√17)/4

注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4

注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4=x1+2x12-2y1-2，同理：

y1+y2=(-1-√17)/4=y1+2y12-2x2-2=(-1-√17)/4,联立可求出x1,y1

y1=2×O O1=（根号17+1）×根号（34-2×根号17-4）/32

又c osα+cos4α=x1,cosαcos4α=(y1)/2

可求cosα之表达式,它是值的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出。

文洁的正十七边形尺规作图单步详细教程

高斯的正十七边形尺规作图法~

~

不过像如何做垂直，如何做平分，我就不详细介绍了z转帖请注明出处哦~

~

下面开始（总共只需要实质性的八大步）：

首先画圆OA……如下图

接着做垂直的另一条直径OB，如图

过B点以以OB为半径画弧如下图连接两交点，做出OB中点C 如下图

同样的做出OC中点D 如下图（第一大步：作出1/4长的线段）连接DA,如下图（DA=根号17/4）（第二大步：）

过D点，以差不多的长度画弧（画长点）交E点

作角ADE的平分线DF（第三大步：），交AO于A1（O A1=（-1+根号17）

/16,=0.25x=0.25(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)；D A1=（根号（34-2×根号17））/16），下图：

同样的方法，做角FDE的平分线DG（第四大步：）

，交AO于O1（0.5y1=O O1=（根号17+1）×根号（34-2×根号17-4）/64，并反向延长一些到刚才那个画长些的弧…………

过D点作垂线交刚才那个长弧于H点

做角GDH的平分线 DJ交 OA延长线于J点（第五大步：得JDO

角等于45度）

1

做线段AJ的垂直平分线交AO于K点（第六大步：）

以K点为圆心，KJ为半径画弧，交OB于L点（第七大步：）

以DG和AO的交点为圆心（忘了编号了），以那点到L点的距离为半径画弧，交AO于M点（不要和K点看重叠了）（第八大步：已得到OM等于COS3a的长度）

过M点做垂线，交圆O于N,P两点（第九大步：开始在圆周上不间断地切割顶点，一直到作图结束）

以N点为圆心，NA距离为半径画弧，在另一半交圆O于Q点