因式分解 公式法 十字相乘法
知识点一、平方差、完全平方公式
1计算下列各式，并根据左面的式子填空
（1）=-+)3)(3(x x ， （1）=-92x
（2）=-+)4)(4(y x y x ， （2）=-2216y x
（3）=-+)23)(23(n m n m ，（3）=-2
249n m
思考：观察第二组式子的左边有什么共同特征，写成乘积后又有什么共同特征？
2．公式法：
平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- 完全平方公式： 222)(2b a b ab a ±=+±
3.小结：分解因式的一般步骤为：
（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式。
（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。
知识点二、运用平方差公式分解因式
例1下列多项式能否用平方差公式进行因式分解
（1）x 2－9y 2； （2）16x 4－y 4； （3）12a 2x 2－27b 2y 2；
例2（1）（x+2y ）2－（x －3y ）2； （2）xy xy 333
-； （3）a ax ax ax -+-23
练习1（1）
2220951b a -； （2）164+-a ； （3）m 2（16x －y ）+n 2（y －16x ）．
（4）2xy x -； （5）2
2)23()32(y x y x --+； （6）424255b m a m -
练习2．（1）已知x+y=7，x －y=5，求代数式x 2－y 2－2y+2x 的值．
（2）．已知x+y+z=0，化简x 2－y 2+xz －yz ．
练习3．简便计算： （1） 22171429- （2） 24485245152
2⨯-⨯
培优题： (1)222224)(b a b a -+ (2))(42s t s s -+-
(3)1)3)(2)(1(++++x x x x
知识点三、运用完全平方分解因式
例1（1）229124b ab a +- （2）2
2816y x xy +-
（3）24
11x x ++ （4）xy y x 4422-+
练习：把下列各式分解因式：
（1）．1692
+-t t （2）．412
r r +- （3）．236121a a +- （4）．4
2242b b a a +-
例2．把下列各式分解因式：
（1）．122++n n m m （2）．222n m mn -- （3）．ax y ax y ax ++2232 （4）．22224)1(4)1(a a a a ++-+
练习：把下列各式分解因式：
（1）．n n m m y y x x
42242510+- (2)．222y xy x -+- (3)21222+-x x
(4)16
1)(21)(2+---y x y x (5)n n m m y y x x 2245105-+-
例3．利用因式分解进行计算：
（1）．4
19.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ （2）．2298196202202+⨯+
（3）．225.15315.1845.184+⨯+
例4完全平方公式的应用
（1）．已知212=
-b a ，2=ab 求：42332444b a b a b a -+-的值．
（2）．已知△ABC 的三边为a ,b ,c ,并且ca bc ab c b a ++=++2
22求证：此三角形为等边三角形．
（3）．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且0)(22222=+-++c a b c b a 你能判断△ABC 的形状吗？请说明理由．
（4）．求证：不论为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．
知识点四：十字相乘法分解因式
1计算下列各式，并根据左面的式子填空
（1）=++))((q x p x ， （6）()=+++pq x q p x 2 （2）=++))((q bx p ax ， （7）=+++pq x bp aq abx )(2
思考：观察第二组式子的左边有什么共同特征，写成乘积后又有什么共同特征？
（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．
例如：322--x x 和652
++x x 都是关于x 的二次三项式．
（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．
（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项
式．同样，多项式12)(7)(2
++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．
3．十字相乘法的依据和具体内容
(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
4经典例题
例1 把下列各式分解因式：
(1)1522--x x ； （2） （3）
(4)2265y xy x +-． (5）120)8(22)8(222++++a a a a
例2 把下列各式分解因式：
(1)3522--x x ； (2)3832
-+x x ．
（3）32231212x x y xy -+
例3 把下列各式分解因式：
（1）91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； (3)120)8(22)8(2
22++++a a a a ．
例4 （1）90)242)(32(22+-+-+x x x x （2）653856234++-+x x x x
（3）655222-+-+-y x y xy x
例5 （重点）已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +-
(4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++
一、选择题
1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．－ab
D ．－(a ＋b )
2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )
A ．5
B ．－6
C ．－5
D ．6
3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )
A ．10和－2
B ．－10和2
C ．10和2
D ．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( )
A ．22-+x x
B ．x x x 310322+-
C ．242++x x
D ．22865y xy x --
5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )
A ．20)(13)(22++-+y x y x
B ．20)(13)22(2++-+y x y x
C ．20)(13)(22++++y x y x
D ．20)(9)(22++-+y x y x
6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；
④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；
(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．
15．把下列各式分解因式：
(1)2224)3(x
x -- (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x (460)(17)(2
22++-+x x x x 8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．
十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式 十字相乘法是一种用于分解多项式因式的数学方法，也被称为乘法法则，是通过乘法运算将多项式分解为两个或多个乘积的过程。它可以用来解决数学术语中的多项式因式化，也就是将多项式分解为简单的乘积形式。例如，有一个多项式 (x + 2)(x + 3)它可以分解为 (x + 2) (x + 3) 。 十字相乘法分解因式（也称为十字相乘法）是一种以固定的乘法表格的形式，用于将一个多项式中的系数（即多项式的常数项）和未知数（即多项式的变量项）分开，分解多项式为两个或多个乘积的方法。它由四列组成，每列包括未知数和系数。这些四列组成了一个十字表格，由因式和被乘数组成，每一列可以在这些乘数和被乘数之间进行乘法运算，从而实现将多项式分解为两个或多个乘积的目的。 二、十字相乘法分解因式的步骤 1.先，将多项式中的未知数或变量项和系数项分别放在一列中（这些元素可能有一个或多个），并在十字表格的其余列中填写数字。 2.后，从每列中找出未知数，并从其他列中乘以对应的系数。 3.得到的乘积求和，检查该和是否恰好等于多项式的常数项，如果是，则多项式已被成功地分解为两个或多个因式的乘积。 4.果求得的乘积和不等于多项式的常数项，则表明十字相乘法分解因式未能成功进行，此时应重新检查步骤是否正确。 三、十字相乘法分解因式的应用 十字相乘法分解因式可以用来分解一维、二维和三维多项式，以
及高阶多项式。它可以被用来求解有关二次函数、三次函数和更高阶函数的问题。它还可以用于求解不等式，以及解决其他复杂的数学问题。 十字相乘法分解因式在很多数学领域的应用不言而喻，它可以用来分析空间问题，解决几何问题，以及分析计算机科学中的复杂问题。此外，它还可以用于推理推理问题，解决物理问题，以及解决金融学等统计问题。 四、十字相乘法分解因式的优缺点 十字相乘法分解因式有有许多优点。首先，它可以用于分解多项式中繁杂的系数和未知数。其次，它还可以查找多项式的根和根之和和积，以及计算出未知数的值。此外，它还能够有效地解决复杂的数学问题。 然而，十字相乘法分解因式也有一些缺点。它不能用于多项式中的非整数系数，也不能用于分解单一项式。此外，它的求解方法也比较繁琐，对于高阶多项式的分解，需要耗费大量的时间和精力。 五、结论 从上述内容可以看出，十字相乘法分解因式是一种可以有效地将多项式因式分解为两个或多个乘积的有效方法，它可以用来解决各种复杂的数学问题，但它也有一些缺点，不能应用于整数以外的系数，也对高阶多项式的分解比较耗时，但仍然是一种十分有用的工具，应该得到广泛的利用和应用。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式 (1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例5、分解因式：652 ++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2 解：652++x x =32)32(2?+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例1、分解因式：672 +-x x 解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1 =)6)(1(--x x 1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习1、分解因式 (1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 练习2、分解因式
因式分解法十字相乘
因式分解法十字相乘 一、引言 因式分解法是数学中常用的一种方法，用于将一个复杂的多项式分解成乘积的形式。而十字相乘法则是一种常用的因式分解方法，通过构造一个十字相乘表格，可以更直观地进行因式分解的计算。本文将详细介绍因式分解法十字相乘的步骤和应用。 二、十字相乘法的步骤 1. 观察多项式的形式，确定是否可以使用因式分解法进行求解。一般来说，多项式应该是一个二次多项式或三次多项式。 2. 将多项式按照一定的规则进行排列，使得各项的系数从高到低依次排列。例如，对于二次多项式ax^2+bx+c，可以将其写成ax^2+bx+c。 3. 构造一个十字相乘的表格，将多项式的系数填入表格的相应位置。表格的左上角为二次项的系数，右下角为常数项的系数。 4. 在表格的右上角和左下角分别填入多项式的首项和尾项的系数。 5. 对表格中的每个格子进行计算，将对应位置的两个系数相乘并填入格子中。 6. 对表格中的每一行和每一列进行求和，得到一组新的多项式系数。 7. 根据新的多项式系数，进行因式分解。 三、十字相乘法的应用举例 1. 因式分解二次多项式
例如，要将多项式x^2+5x+6进行因式分解。首先，按照规则排列多项式的系数，得到x^2+5x+6。然后，构造一个十字相乘的表格，填入系数得到： | x^2 | 6 ---|-----|--- x | x^3 | 6x 6 | 6x | 36 接下来，计算表格中每个格子的值，并对每一行和每一列进行求和，得到新的多项式系数x^3+6x+6x+36。最后，根据新的多项式系数进行因式分解，得到(x+3)(x+2)。 2. 因式分解三次多项式 以多项式x^3+3x^2+3x+1为例。按照规则排列多项式的系数，得到x^3+3x^2+3x+1。构造十字相乘的表格，并填入系数，得到： | x^3 | 1 ---|-----|--- x | x^4 | x 1 | x | 1 接下来，计算表格中每个格子的值，并对每一行和每一列进行求和，得到新的多项式系数x^4+x+x+1。最后，根据新的多项式系数进行因式分解，得到(x+1)(x^3+1)。
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法 什么是因式分解十字相乘法？ 因式分解十字相乘法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解的过程。通过使用十字相乘的方法，可以将一个复杂的多项式分解为更简单的因式。这种方法常用于解决多项式的乘法和因式分解问题。 如何使用因式分解十字相乘法？ 以下是使用因式分解十字相乘法的步骤： 步骤 1：观察多项式的结构 首先，我们需要观察多项式的结构，特别是查看是否有公因式。如果存在公因式，我们可以先提取出来，以简化后续的计算。 步骤 2：找到多项式的两个因式 接下来，我们需要找到多项式的两个因式，这两个因式相乘后可以得到多项式。这两个因式应该满足以下两个条件：
1.相乘后得到的结果与原始多项式相同。 2.相乘后得到的结果可以进一步分解。 步骤 3：使用十字相乘法 一旦我们找到了两个因式，我们可以使用十字相乘法来展 开计算。十字相乘法的步骤如下： 1.将两个因式分别写在一个十字形结构的两侧。 2.首先，将两个因式的每个对应的项相乘，将结果写 在下方。 3.然后，将下方的结果进行合并，得到最终的分解式。步骤 4：进一步分解 如果在步骤 3 中的分解式仍然可以进一步分解，我们可以 重复步骤 2 和步骤 3 ，直到不再存在进一步分解的可能。 步骤 5：总结结果 最后，我们可以将所有得到的因式整理在一起，以得到最 终的因式分解结果。
一个示例：因式分解 x^2 + 5x + 6 让我们使用因式分解十字相乘法来解决一个简单的例子， 以便更好地理解这个方法。 我们要解决的多项式是 x^2 + 5x + 6 。 步骤 1：观察多项式的结构 这个多项式没有显式的公因式，所以我们可以继续下一步。步骤 2：找到多项式的两个因式 我们需要找到两个因式，它们相乘后可以得到 x^2 + 5x + 6 。一个直观的选择是 (x + 2) 和 (x + 3) 。我们可以验证一下它们 是否满足条件。 (x + 2) * (x + 3) = x^2 + 5x + 6 满足条件，我们可以继续下一步。 步骤 3：使用十字相乘法 现在，我们可以使用十字相乘法来展开计算：
因式分解中的“十字相乘法”
解读因式分解系列之二编制人：平生曜曜 因式分解 对“十字相乘”法的具体阐述 1、把多项式乘法中的“经验性公式”：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x + ab， 倒过来可得：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）. 以上就是，因式分解中的“十字相乘法”公式。 2、可见，十字相乘法可以帮助我们把某些（但并非所有）“二次三项式”分解成两个“整数系数”的“一次因式”的乘积。 3、十字相乘法的运用，一般会有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程。当然如果你领悟了其中的技巧，你就可以大大减少“尝试”的次数。 4、十字相乘法的口诀是： 竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间 5、在运用“十字相乘法”分解因式之前，最好先把多项式作“降幂排列”。 其运用的要领是：竖着请进来，横着抬出去。 6、下面通过举例，来对“十字相乘法”作具体的解读。 （1）、例如，运用十字相乘法，分解因式：x2 + 4x + 3 …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉：原式由三部分组成，其中没有任何公因式可提取，又不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，在这种情况下，我们可以考虑用十字相乘法。 〈强调〉：“十字相乘法”的运用步骤是：一排顺序，二试口诀，三再抬走。 一排顺序是指：先将原式按“二次项、一次项、常数项”的顺序来作“降幂排列”； 二试口诀是指：按“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”的口诀来进行“试错、微调”。 三再抬走是指：分解结果要“横起写”，不要交叉写！ 也就是：竖着请进来，横着抬出去。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法 摘要： 1.十字相乘法概述 2.十字相乘法的步骤详解 3.十字相乘法的应用实例 4.注意事项与实用性总结 正文： 十字相乘因式分解法是一种常用的数学技巧，适用于解决二次方程的因式分解问题。通过这种方法，我们可以将复杂的乘法运算转化为简单的加减运算，从而更容易地求解问题。下面我们将详细介绍十字相乘法的步骤、应用实例以及注意事项。 一、十字相乘法概述 十字相乘法是一种基于矩阵运算的因式分解方法。它的基本思想是将二次方程的系数用矩阵形式表示，然后通过矩阵的乘法运算得到方程的解。这种方法在解决含有两个未知数的二次方程时非常有效，尤其是在未知数的系数不便于直接分解的情况下。 二、十字相乘法的步骤详解 1.准备一个二次方程，例如：ax + bx + c = 0。 2.将方程的系数表示为一个2x2的矩阵A，其中： A = | a b | | c 0 |
3.计算矩阵A的行列式（Det(A)），公式为： Det(A) = a * d - b * c 4.判断行列式Det(A)的值： - 如果Det(A) ≠ 0，说明方程有两个不同的实数解； - 如果Det(A) = 0，说明方程有两个相同的实数解或无实数解。 5.如果Det(A) ≠ 0，计算矩阵A的逆矩阵（A），公式为： A = (1/Det(A)) * (ad - bc) 6.将矩阵A和其逆矩阵A相乘，得到一个单位矩阵I，公式为： I = A * A 7.将单位矩阵I表示为方程的解，即： x = I，x = I 三、十字相乘法的应用实例 以二次方程x + 5x + 6 = 0为例，我们可以按照以下步骤进行求解： 1.确定方程的系数矩阵A： A = | 1 5 | | 6 0 | 2.计算行列式Det(A)： Det(A) = 1 * 6 - 5 * 6 = -24 3.计算矩阵A的逆矩阵A： A = (1/(-24)) * (1 * 6 - 5 * 0) = | 1/2 -1/2 | | -3/2 3/2 | 4.计算单位矩阵I：
因式分解——十字相乘法
因式分解——十字相乘法 （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 思考：十字相乘有什么基本规律？ 例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2 23x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a . 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求2 4b ac ∆=- >0 而且是一个完 全平方数。 于是98a ∆=-为完全平方数，1a = 例2、分解因式：652 ++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2 解：652 ++x x =32)32(2 ⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例3、分解因式：672 +-x x 解：原式=)6)(1()]6()1[(2 --+-+-+x x 1 -1 =)6)(1(--x x 1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习1、分解因式 (1)24142 ++x x (2)36152 +-a a
(3)542 -+x x 练习2、分解因式 (1)22 -+x x (2)1522--y y (3)24102 --x x （二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2 =))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132 +-x x 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：101132 +-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式： （1）6752 -+x x （2）2732 +-x x （3）317102+-x x （4）101162 ++-y y
因式分解 十字相乘法
因式分解十字相乘法 因式分解及十字相乘法是现代数学中一种经常使用的方法，用于求解复杂的算法问题，对于高等数学及科学研究非常重要。本文将探讨因式分解及其十字相乘法，阐释其基本原理及求解方法，以及它在实践中的实用价值。 一、因式分解及十字相乘法的原理 因式分解及十字相乘法是一种有效的将复杂的数学表达式简化 的方法，它的基本原理是将一个复杂的表达式拆分成多个简单的表达式，随后再将这些表达式结合起来，以实现对复杂式的计算及求解。十字相乘法是因式分解与计算结合而成的一种计算技术，利用十字形式的乘法表，可在较短的时间内快速求解复杂表达式的结果。因式分解及十字相乘法的原理可表示如下： 二、因式分解及十字相乘法的求解方法 因式分解及十字相乘法的求解方法有三种：首先，确定公式的表达结构，把它分解成多个简单的式子；其次，结合各定义量的项系数，逐项乘积，结合计算结果；最后，利用混合乘积法进行定义量之间的乘积计算。以下为具体求解方法： 1、确定公式的表达结构。如果公式比较复杂，那么可以根据定义量的类型，把表达式拆分成多个简单的式子，然后按照乘积的顺序，将多个式子连接起来，以达到分解的目的。 2、进行定义量之间的乘积计算。根据拆分后的表达式，按顺序结合定义量的项系数，进行逐项乘积，结合计算结果。
3、利用混合乘积法进行定义量之间的乘积计算。这是一种较复杂的求解方法，有时需要用到复数以及矩阵来进行计算，而且需要记录定义量之间的乘积关系，可以使用十字乘法表来减少繁琐的计算步骤，使计算更加高效、便捷。 三、因式分解及十字相乘法的实用价值 因式分解及十字相乘法在实践中具有重要的实用价值。 1、具有很强的混合计算能力。因式分解及十字相乘法能够为复杂的数学表达式提供有效的计算方法，可以有效地求解复杂的数学关系，并减少计算时间。 2、减少计算错误的机会。将复杂的公式拆分成多个简单的表达式，减少了计算错误的机会，从而更容易求解问题。 3、可以解决多种复杂的数学表达式。因式分解及十字相乘法既可以用于解决算术表达式，也可以用于解决代数、几何等数学表达式，所以可以广泛应用于数学和科学研究中。 本文对因式分解及十字相乘法进行了简要介绍，总结出它的基本原理，求解方法及实用价值。因式分解及十字相乘法是一种非常简单有效的数学计算方法，具有广泛的应用前景。
因式分解法(十字相乘)解一元二次方程
《十字相乘法》《一元二次方程的解法》 一、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 二、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 三、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 四、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 五、十字相乘法解题实例： 1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²＋4m－12分解因式 分析：本题中常数项－12可以分为－1×12，－2×6，－3×4，－4×3，－6×2，－12×1当－12分成－2×6时，才符合本题 因为 1 －2 1 6 所以m²＋4m－12＝（m－2）（m＋6） 例2把5x²＋6x－8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5，－8可分为－1×8，－2×4，－4×2，－8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为－4×2时，才符合本题
因为 1 2 5 －4 所以5x²＋6x－8＝（x＋2）（5x－4） 例3解方程x²－8x＋15＝0 分析：把x²－8x＋15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15，3×5。 因为 1 －3 1 －5 所以原方程可变形（x－3）（x－5）＝0 再解方程。 例4、解方程6x²－5x－25＝0 分析：把6x²－5x－25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6，2×3，－25可以分成－1×25，－5×5，－25×1。 因为 2 －5 3 5 所以原方程可变形成（2x－5）（3x＋5）＝0 再解方程。 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²－67xy＋18y²分解因式 分析：把14x²－67xy＋18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14，2×7，18y²可分为y.18y，2y.9y ，3y.6y 因为 2 －9y 7 －2y 所以14x²－67xy＋18y²＝(2x－9y)(7x－2y)
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法 摘要： 一、引言 二、十字相乘法的基本概念 1.什么是十字相乘法 2.十字相乘法的符号表示 三、十字相乘法的应用 1.分解单项式 2.分解多项式 四、十字相乘法的优势与局限 1.优势 2.局限 五、结论 正文： 一、引言 十字相乘法是一种常用的因式分解方法，尤其在初中阶段数学学习中占据着重要地位。本文将对十字相乘法进行详细介绍，包括其基本概念、应用以及优势与局限。 二、十字相乘法的基本概念 1.什么是十字相乘法 十字相乘法是一种因式分解方法，主要用于分解二次多项式。具体操作步
骤如下： 首先，将二次多项式的二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d分别填入一个十字形的四个格子中（如下所示）。 ``` c d a | b | a b |-------|------- | c d | c d ``` 然后，根据a、b、c、d的值，利用乘法分配律进行计算，得出两个括号中的表达式。最后，将这两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。 2.十字相乘法的符号表示 我们可以用如下符号表示十字相乘法： ``` (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd ``` 其中，a、b、c、d为常数，x为变量。 三、十字相乘法的应用 1.分解单项式 假设我们有一个单项式：ax^2 + bx + c。我们可以先提取出公因式x，得到x(ax + b) + c。然后，我们可以使用十字相乘法分解ax + b，从而得到单项
式的因式分解式。 2.分解多项式 十字相乘法主要用于分解二次多项式，如ax^2 + bx + c。我们可以根据二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d的值，将多项式表示为(ax + b)(cx + d)的形式。然后，利用乘法分配律计算括号中的表达式，最后将两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。 四、十字相乘法的优势与局限 1.优势 十字相乘法具有较高的实用价值，尤其在初中阶段数学学习中。它可以帮助学生快速、准确地分解二次多项式，从而简化问题，便于求解。此外，十字相乘法具有一定的规律性，学生可以通过练习熟练掌握这一方法。 2.局限 虽然十字相乘法在分解二次多项式时非常有效，但它并不适用于所有情况。例如，当二次项系数a为0时，十字相乘法无法使用。此外，对于更高次的多项式，十字相乘法也无法直接应用。在这种情况下，我们需要借助其他因式分解方法，如公式法、分组法等。 五、结论 十字相乘法是一种实用的因式分解方法，尤其适用于分解二次多项式。通过熟练掌握十字相乘法，学生可以更好地解决数学问题，提高学习效率。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法 （实用版） 目录 1.十字相乘法简介 2.十字相乘法的基本原理 3.十字相乘法的具体步骤 4.十字相乘法的应用举例 5.十字相乘法的优点与局限性 正文 【1.十字相乘法简介】 十字相乘法，又称为“十字相乘因式分解法”，是一种常用的因式分 解方法。这种方法主要适用于两个数的乘积为四位数或者更高位数的情况。它通过将两个数的个位数相乘得到一个两位数，然后将这个两位数分解为两个一位数的乘积，再将这两个一位数分别乘以两个数的十位数，最后将四个乘积相加，从而得到原数的因式分解式。 【2.十字相乘法的基本原理】 十字相乘法的基本原理是将一个四位数分解为两个两位数的乘积，而这两个两位数分别是由原数的个位数和十位数相乘得到的。具体来说，设原数为 abcd，其中 a 和 b 为十位数，c 和 d 为个位数，则可以将原 数分解为 (10a+c)(10b+d) 的形式。 【3.十字相乘法的具体步骤】 (1) 将原数的个位数与十位数相乘，得到一个两位数 ac。 (2) 将这个两位数 ac 分解为两个一位数的乘积，即 a 和 c。 (3) 将原数的十位数分别乘以 a 和 c，得到两个乘积 10a 和 10c。
(4) 将原数的个位数分别乘以 b 和 d，得到两个乘积 bd 和 cd。 (5) 将这四个乘积相加，即 10a+ac+10b+bd=10(a+b)+(ac+bd)，得到原数的因式分解式。 【4.十字相乘法的应用举例】 以原数 325 为例，按照十字相乘法的步骤进行分解： (1)3×2=6，得到两位数 62。 (2)62 分解为 2 和 31，即 62=2×31。 (3)3×2=6，1×3=3，得到两个乘积 6 和 3。 (4)2×3=6，5×1=5，得到两个乘积 6 和 5。 (5) 将四个乘积相加，即 6+3+6+5=20，得到原数的因式分解式 325=(5×6)(3×4)=15×12。 【5.十字相乘法的优点与局限性】 十字相乘法的优点在于其简单易懂，操作方便，适用于大部分四位数及以上的因式分解。然而，它也存在局限性，对于一些特殊的数或者两位数的乘积，可能无法使用这种方法进行因式分解。
数学十字相乘法公式
数学十字相乘法公式 摘要： 一、引言 二、数学十字相乘法公式简介 1.公式定义 2.公式结构 三、数学十字相乘法公式的应用 1.求解一元二次方程 2.求解多项式因式分解 四、数学十字相乘法公式的推导 1.推导过程 2.关键步骤解析 五、总结 正文： 一、引言 数学十字相乘法公式是数学中一种非常实用的公式，广泛应用于一元二次方程和多项式因式分解的求解。本文将对其进行详细介绍，包括公式的定义、结构、应用以及推导过程。 二、数学十字相乘法公式简介 1.公式定义 数学十字相乘法公式，又称“双十字相乘法”，是一种求解一元二次方程和
多项式因式分解的方法。它利用两个十字交叉相乘的形式，将方程的系数与常数项分别填入，从而得到两个括号的形式，进一步求解方程。 2.公式结构 数学十字相乘法公式具有简洁的结构。它包含两个部分：一元二次方程的系数与常数项。通过这两个部分的交叉相乘，我们可以得到一个双括号的形式，即(ax + b)(cx + d)，其中a、b、c、d 分别代表方程的系数与常数项。 三、数学十字相乘法公式的应用 1.求解一元二次方程 数学十字相乘法公式可以用于求解一元二次方程。假设我们有一个一元二次方程：ax + bx + c = 0，其中a、b、c 分别为方程的系数，我们可以利用数学十字相乘法公式，将方程的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)，从而进一步求解方程。 2.求解多项式因式分解 数学十字相乘法公式同样适用于求解多项式因式分解。假设我们有一个多项式：f(x) = ax + bx + c，其中a、b、c 分别为多项式的系数，我们可以利用数学十字相乘法公式，将多项式的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)，从而实现多项式的因式分解。 四、数学十字相乘法公式的推导 1.推导过程 数学十字相乘法公式的推导过程相对简单。首先，我们需要将一元二次方程的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)。然后，我们将这两个括号相乘，展开后得到：acx + (ad + bc)x + bd。通过比较系
因式分解十字相乘法
因式分解-十字相乘法 一、十字相乘法分解因式 十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。 简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即 ()()()x a x b x a b x ab ++=+++2 将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++ 得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上 式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2 ++，就需要找到满足下列条件的a 、b ； a b p ab q +==⎧⎨ ⎩ 如把762 -+x x 分解因式，首先要把二次项系数2 x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯， 写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。交叉相乘的和为 x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。 2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解 二次三项式ax bx c 2 ++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳 为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762 x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2， 常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系 x =-+762x ) 1)(7(-+x x x x ⇓ ⨯ ⇓ 7 1 -x x x 67=+-
因式分解的十字相乘法
因式分解——十字相乘法 1．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 练一练 (2)对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况正确。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7. 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1） 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 ×-5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×5+1×（-3）=2 所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例3把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 ×-4 1×（-4）+5×2=6 解5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。
十字相乘法的公式
十字相乘法的公式 十字相乘就是一种因式分解技巧 他的目的是化简这样的式子 cdx^2+(ad+bc)x+ab\rightarrow(cx+a)(dx+b) 事实上一般碰到的十字相乘不会这么复杂， a,b,c,d 这四个数字会有1~2个是1，这可以大大简化十字相乘的难度 比如说这个例子 2x^2-5x-12 这个式子是非常常见，也非常基础的一类十字相乘 首先在十字相乘前你需要对数字的质因数分解比较敏感，比如说 12=4\times3=2\times6=1\times12 然后找出相加能得到中间这个数的组合，在这个例子中我们取-12=(-4)\times3 ，这样的话就可以使得 (- 4)\times2+3\times1=-5 然后你就可以得到最终结果2x^2-5x-12=(x-4)(2x+3) 你可能会有疑惑，“十字相乘”里的“十字”是怎么来的 事实上，上面这个是你的思考过程，十字相乘中的“十字”是帮助你做出这些过程的 同样还是这个例子，利用十字我们这样来做
首先画一个斜着的十字，在左面将 x^2 项的系数分解，在这个例子中，系数是2，所以只能分解成 2x\times x ，把它们写到左端 然后我们要让右面这两个位置的数，他们相乘等于 -12 ，他们分别与线另一端的x相乘再求和的结果是 -5x ，来看下一张图 找到a和b，使得 ab=-12 并且 a\times1x+b\times2x=-5x （注意相乘的位置，是斜着的） 这个过程是最重要的。你越熟练，交叉相乘就越快。这纯粹是测试你对数字的敏感度。 我们可以找到 a=3,b=-4 ，然后就得到了下一张图 把他们横着写下来，上下是相乘的关系，就可以得到 (2x+3)(x-4) 这也是最终结果。 乘法很重要，尤其是高中计算。公式法可能计算量比较大，或者公式中有字母的情况有时可以用公式法解决。这些内容在这里无法一一说明，但是体验和感受很重要。有可能的话可以买个练习册做一些相应的练习，可以增加交叉相乘的速度和准确度。
公式法和十字相乘法
公式法和十字相乘法 概念回顾： 1.公式法 因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2－2ab+b2=(a－b)2 2．十字相乘法 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 要将二次三项式x2+ px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: x +a x +b ax + bx = (a + b)x 由于把x2+ px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解. 将二次三项式x2+ 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x2+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p 符号规律：当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同。 例题精讲：
基础训练： 1. 用完全平方公式分解因式： 2.用完全平方公式分解因式：
3.用十字相乘法分解因式 4.用十字相乘法分解因式