高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

一． 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

，消y 得：

（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线

，)0( p

① 联立方程法：

⎩⎨⎧=+=px

y b

kx y 22

⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ∆+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ∆+=2

1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=

， 2

2

10y y y += ② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

12

12px y = 22

22px y =

将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-

2

121212y y p

x x y y +=

--

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--， 即0

y p k AB =

， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

抛物线练习及答案

1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之

和取得最小值时，点P 的坐标为 。（

4

1

,－1） 2、已知点P 是抛物线2

2y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的

距离之和的最小值为 。

2

3、直线3y x =-与抛物线2

4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 。48

4、设O 是坐标原点，F 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 。

5、抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部

分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是 。

6、已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，

则AFK ∆的面积为 。8

7、已知双曲线22

145

x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。

8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线

22(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。

9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 。2

8y x =

10、抛物线2

y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 。

4

3

11、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 。32

12、若曲线2

y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件

是 。k =0,-1

13、已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）C A.3 B.4 C.32 D.42

14、已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，点11

1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ）Ｃ

Ａ．123

FP FP FP += Ｂ．22

2

123

FP FP FP +=

Ｃ．2132FP FP FP =+

Ｄ．2

2

13FP FP FP =·

15、已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2

2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,

向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为22

1212()()0x y x x x y y y +-+-+=。

(1) 证明线段AB 是圆C 的直径;

(2)当圆C 的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为5

时，求p 的值。 解： (1)证明1:

22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，

2

2

2

2

22OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，整理得: 0OA OB ⋅=，12120x x y y ∴⋅+⋅=，

设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅=，

即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，整理得:22

1212()()0x y x x x y y y +-+-+=，

故线段AB 是圆C 的直径。 证明2:

22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，

2

2

2

2

22OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，整理得: 0OA OB ⋅=，

12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)

设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则即

21

1221

1(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠--， 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，

点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:

221212()()0x y x x x y y y +-+-+=，

故线段AB 是圆C 的直径。 证明3:

22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，

2

2

2

2

22OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，