空间曲面及其方程1

1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
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椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
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例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
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四、二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
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（一）椭球面
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
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与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
轴旋转一周所形成的； 8、方程x 2 在平面解析几何中表示___________在空
间解析几何中表示___________________； 9、方 程 x2 y2 4 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示
_______________ ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示 _______________.
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思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 源自文库;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
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思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
z c
0
.
y b
y b
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得双曲线.
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平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
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x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
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四、小结
曲面方程的概念 F ( x, y, z) 0. 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线).
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
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例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得抛物线
x2 2 pz
y 0
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与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于 z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
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与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺z 的方程F ( x, y) 0 ，在
空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
面，其准线为 xoy面上曲线C . （其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
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椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
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特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕它的轴
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
播放
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旋转过程中的特征：
如图 设 M ( x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
3、球面： x2 y2 z2 2 x 4 y 4z 7 0的球心是
点___________，半径R __________；
4、设曲面方程ax22
+by22
+z c
2 2
=1，当a b 时，曲面可由
xoz面上以曲线________________绕_______轴旋
转面成，或由 yoz 面上以曲线_______________
第五节 曲面及其方程
▪ 一、曲面方程的概念 ▪ 二、旋转曲面 ▪ 三、柱面 ▪ 四、小结 思考题
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一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
角为 的圆锥面方程．
z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
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例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z c
2 2
1分别绕x
轴和z 轴；
绕________轴旋转面成 ;
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5、若柱面的母线平行于某条坐标轴，则柱面方程的特 点是_________；
6、曲面 x2 y2 z 1是由_______绕_________轴放 4
置一周所形成的； 7、曲面(z a)2 x2 y2 是由______________绕_____
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
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截面上圆的方程
x
2
y2
a2 c2
(c
2
z12 ).
z z1
(2) a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
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（二）抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
x2 a2
z2 c2
1
y
0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
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与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
x2
a
2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
(1) y12 b2 , 实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行.
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
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x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
图形如下：
o y
x
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将 z z1 , y1 x2 y2 代入
f ( y1, z1 ) 0
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将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
(2) y12 b2 , 实轴与 z 轴平行, 虚轴与 x 轴平行.
(3) y1 b, 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
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x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a
z c
0
,
x a
所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
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例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
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三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫
柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
播放
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柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
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同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
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例 5 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的
顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶
角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
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练习题
一、填空题：
1、与Z 轴和点 A(1 , 3 ,1) 等距离的点的轨迹方程是
_____________；
2、以点O(2 ,2 , 1)为球心，且通过坐标原点的球面
方程是_______________；
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以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
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二、旋转曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x2
a2
y2 b2
1,
z 0
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
z
o y
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椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
a 2
c
2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
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y2 z2 （2）椭圆 a 2 c2 1绕y 轴和z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕z 轴； x 0
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二、画出下列各方程所表示的曲面：
1、( x a )2 y2 (a )2 ；
2
2
2、 x2 z2 1 ；
94
3、z 2 x2 .
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练习题答案
一、1、z2 2x 6 y 2z 11 0；