三角函数图像与性质知识点总结和经典题型(已打)

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，

3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=T ，频率是π

ω

2=

f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+

=+π

πϕω，凡是该图象与直线B y =的

交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sinx 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sinx 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)

或向右(ϕ＜0＝平移

ω

ϕ|

|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin （ωx+ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω

ϕ

，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．

第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最

值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图：

五点取法是设x=ωx+ϕ，由x 取0、2π、π、2

π

3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。 四．典例解析

题型1：三角函数的图象

例1．（2000全国，5）函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ）

解析：因为函数y ＝－xcosx 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，

2

π）时，y ＝－xcosx ＜0。答案为D 。

题型2：三角函数图象的变换

例2．试述如何由y=31

sin （2x+3π）的图象得到y=sinx 的图象。

解析：y=3

1

sin （2x+3π）

）（纵坐标不变倍

横坐标扩大为原来的3

πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y

x y sin 3

13π

=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移

x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变

倍

纵坐标扩大到原来的

另法答案：

（1）先将y=31sin （2x+3π）的图象向右平移6π个单位，得y=3

1

sin2x 的图象；

（2）再将y=31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=3

1

sinx

的图象；

（3）再将y=3

1

sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到

y=sinx 的图象。

例3．（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y －1=0先沿x 轴向右平移2

π

个单位，再沿y

轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ） A ．（1－y ）sinx+2y －3=0 B ．（y －1）sinx+2y －3=0 C ．（y+1）sinx+2y+1=0 D ．－(y+1)sinx+2y+1=0

解析：将原方程整理为：y=

x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π

个单

位和1个单位，因此可得y=

)

2

cos(21

π

-+x －1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.

点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos （x －

2

π

）+2（y+1）－1=0，即得C 选项。

题型3：三角函数图象的应用