立体几何垂直证明题常见模型及方法

立体几何垂直证明题常见模型及方法
证明空间线面垂直需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；
基础篇
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）
○1 等腰（等边）三角形中的中线
○
2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。

例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥
（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥
变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知
60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．
证明：AD PB ⊥；
变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'
A . 求证:'A D EF ⊥；
变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC
类型二：线面垂直证明
方法○1 利用线面垂直的判断定理
例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：
1A O BDE ⊥平面
变式1：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：1
1AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1
的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；
B
E
'A
D
F
G
变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，
AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =6BC =
C
类型3：面面垂直的证明。

(本质上是证明线面垂直)
2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.
(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； 例
2 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；
变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，︒=∠60ABC ，E 、F 分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC =2FB =2． （1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；
A
B C
D
E
F
A
B
C
D
P
E
举一反三
1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：
①
M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭
⎬⎫
⊥b a M a //b ⊥M .
其中正确的命题是 ( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( )
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )
A.DP ⊥平面PEF
B.DM ⊥平面PEF
C.PM ⊥平面DEF
D.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交
B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直
C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直
D.过a 一定可以作一个平面与b 平行
5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ
6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )
A.1
B.2
C.
552 D.5
5
3 7.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )
A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合
B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合
C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行
D.α与β不一定相交
第3题图
9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题
① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则
m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.
其中正确的命题是 ( )
A.③与④
B.①与③
C.②与④
D.①与②
二、思维激活
11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是 .
12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)
三、能力提高
14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.
(1)求证:VC ⊥AB ;
(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC 所成角的大小.
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD .
(3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .
16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3.
(1)求证：BD ⊥平面P AD .
(2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小.
17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1
的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．
18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P .
(1)求证：NP ⊥平面ABCD .
(2)求平面PNC 与平面CC ′D ′D 所成的角. (3)求点C 到平面D ′MB 的距离.
第15题图
第16题图
第18题图
第4课 线面垂直习题解答
1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.
2.C 由线面垂直的性质定理可知.
3.A 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ，PE ⊥PF .
4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.
5.A 依题意,m ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.
6.D
过P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =
522=+BC AC ，
5
2
=⋅=
AB BC AC CD ， ∴PD =5
5
354122=+
=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.
8.A 显然α与β不平行.
9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.
10.B ∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m
11.
2
3cm 2
设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB ２
=a 2+4， 又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2．
S △A ′B ′C ′=
2
3
432=
⋅a cm 2． 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.
13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,
∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC . (2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,
∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC .
∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角， ∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD , ∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .
∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE ,
∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,
∴VC 与面ABC 所成角为60°.
15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ， 则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝
21CD ＝2
1
AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .
∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AB .
又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .
(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点.
∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD .
16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×2
1
＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，
∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，
即AD ⊥BD .在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12， ∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ， ∴BD ⊥平面P AD .
(2)由BD ⊥平面P AD ，BD 平面ABCD . ∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面P AD ，
∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角. ∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝2
3233=⨯. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，
第15题图解
第16题图解
tan ∠PFE ＝4
3
3223
=
=EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan
4
3
. 17.连结AC 1，∵
1
11
1
22
63A C CC MC AC
=
==. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1， ∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，
∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，
∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .
点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立． 18.(1)证明：在正方形ABCD 中， ∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝
2
1
BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，
由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD .
(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，
∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知 ∠MCD ＝arctan
2
1
，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝2
4
6a ，设所
求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高.
∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213
1
31='⋅，
∴.3
6
21a S a S h =⋅=
空间中的计算
基础技能篇 类型一：点到面的距离
方法1：直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算 例1：在正四面体ABCD 中，边长为a ，求点A 到面BCD 的距离。

变式1 在正四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 边长为a,侧棱长为b.求顶点V 到底面ABCD 的距离。

变式2在正四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 边长为a,侧棱长为b.求顶点A 到底面VCD 的距离。

方法2：等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。

例2 已知在三棱锥V —ABC 中，V A,VB,VC 两两垂直，V A=VB=3，VC=4，求
点V 到面ABC 的距离。

变式1：如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，其
中14,2,3,1AB BC CC BE ====． （1）求BF 的长；
（2）求点C 到平面1AEC F 的距离．
_ A
_ B _ D
_ C
_ O
_ A _ B
_ D
_ C
_ O
变式2 如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是四边长为1的菱形，4
π=
∠ABC ,
⊥OA 面ABCD , 2=OA ,．求点B 到平面OCD 的距离．
变式3在正四面体ABCD 中，边长为a ，求它的内切求的半径。

类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点 ）
例3 如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是四边长为1的菱形，4
π
=∠ABC , ⊥
OA 面ABCD , 2=OA ,M 为OC 的中点，求AM 和点A 到直线OC 的距离．
举一反三
1．正三棱锥P-ABC 高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC 的距离是
A ．54
B ．56
C ．6
D ．64 2．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为 A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 二、填空题：
3．太阳光照射高为3m 的竹竿时，它在水平地面上的射影 为1m ，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子 的长度AB 等于33cm,则该球的体积为_________．
4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___ ．
主视图
俯视图
2
32
左视图
三、解答题：
5．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N ．求点B 1到平面AMN 的距离．
6．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）. （1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A —CDEF 的体积． 7．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点. （1）求证：;AC GN ⊥
（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明．
8．如图，已知正四棱锥ABCD S -,设E 为AB 的中点，F 为SC 的中点，M 为CD 边上
的点．
（1）求证：//EF 平面SAD ；
（2）试确定点M 的位置，使得平面⊥EFM 底面ABCD ．
9一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，M 、N 分别为B A 1、11C B 的中点．
（1） 求证：
//MN 平面11A ACC ； a a a 俯视图
左视图 主视图G E
F N M
D
C
B A B A C
B
M N
a a a
a a
a
a
2主视图 左视图
俯视图
S B C F D
A E O
（2） 求证： MN 平面BC A 1．（3）求点A 到面ANM 的距离 10正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2
2，侧棱长为4. E ，F 分别为棱AB ，
BC 的中点，EF ∩BD =G .
（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .
11.在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =5
5.（如图9—21）
（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；
（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积V S －AB C .
图9—21。