中线的性质
中线的性质
1、三角形的三条中线都在三角形内；
2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心；
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2；
4、三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4；
5、三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段。
三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部。在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
三角形的中线与三角形的中位线，这两者也只有一字之差，它们的不同点是：“三角形的中线”指的是连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段；“三角形的中位线”指的是连接三角形两边中点的线段。而这两个概念又存在着共同点：
1、都是线段；
2、每一个三角形都有三条中线，也都有三条中位线。
归纳总结
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性
质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题。
①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；
②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。
三角形各性质总结
在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。 在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。（简称：三线合一）。 主要特点 1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（三线合一”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
1、定义 2、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 2、性质 1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。 2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。 3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 3、判定 ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 ⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
直角三角形的性质与判定
A C B 直角三角形的性质与判定 学习目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 学习重点及难点 1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 学习过程 一 、预习与交流 1、什么叫直角三角形？ 2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作与探究 （1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？ 归纳：定理1： （2）猜一猜 量一量 证一证 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=2 1AB A C B D
C A B D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三。知识应用： 例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。 四：巩固练习 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ； （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； （3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 . 4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 五：作业.93页A 组1题 六：学习反思： A C B D
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明． 一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质 【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ． 二、有直角、无中点，取中点，连线出中线 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=2 1∠ABE ，求证：DE=2AB ． 三、有中点、无直角，造直角 【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°， 求证：MN= 2 1（AB －CD ）．
四、逆用性质解题 【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ． 【习题练习】 1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ． 2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ． 3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．
直角三角形斜边上中线性质的应用 一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 2 1AD =． 2、性质的拓展： 如图：因为D 为BC 中点， 所以BC 2 1DC BD = =， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠1=2∠2， ∠ADC=2∠3=2∠4． 因而可得如下几个结论： ①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形； ②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍． 二、性质的应用 1、2 1倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ． 2、证明线段相等 例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 2 1AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．
直角三角形性质应用(讲义)
直角三角形性质应用 ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． ? 知识点睛 直角三角形性质梳理：
1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 130° 2 3 4 2 1 1 C A B C A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作 BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．
数学人教版八年级下册直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线 20170327 【教学目标要求】 【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 引入：如果你是设计师：（提出问题） 某地将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ 二、小组合作，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）测量边AB 的长度； （2）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系. 2.提出命题： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.证明命题： 你能否用演绎推理证明这一猜想？ C A
知识点二：直角三角形的中线性质(较难)
1.2 直角三角形之斜边中线性质 1、直角三角形两直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的中线长等于（ ） A.2.5cm B.2.4cm C.5cm D.3cm 2、直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于（ ） A.13 B.12 C.10 D.5 3、直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（ ） A.4 B.54 C.4或54 D.4或52 4、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ． 5、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB AD 2 1 ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。 （1）求证：DF=BE ； （2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G 。求证：AG=DG 。
6、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。 7、（2003年上海市中考题）已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。 求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。 8、（2007年呼和浩特市中考）如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD 的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。 9、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。
求证：MN ⊥DC 。 10、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点 求证：MN ⊥DE N M E D C B A 11、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90o ，EF 是两底中点的连线，试说明AB －AD ＝2EF F E D C B A
直角三角形的性质、判定习题
直角三角形习题 一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。 8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭， 使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题 10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4 a D.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组 (1)7,24,25 (2)2 2 2 3,4,5 (3)35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形； B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30° C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。 13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′ =30°, 则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32
三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)
解三角形题目的思考 文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 常规解法及题根： （15年新课标2理科）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D C = 22求BD 和AC 的长. （15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin B C ∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=o ,求B ∠. 重点结论：角平分线性质： （1）平分角 （2）到角两边距离相等 （3）线段成比率 中点性质与结论： （1）平分线段； （2）向量结论； （3）两个小三角形面积相等。 题目解法搜集： 解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解； 在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠g g ，则7 因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC = ，所以BD=37，DC=7； 在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222 2AB AD BD AB AD +-g 即2 22373323x x +-??=?，解得x= 933344。 若在△ADC 中，设AC=m ，则273=1216x x +-,解得x=333。
直角三角形的性质教案(完美版)
【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想 方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 二、思考探究，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）量一量边AB的长度； （2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线； （3）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.
网友可以在线阅读和下载这些文档地提升自我已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的 中线. 求证：CD=12AB. 【分析】可“倍长中线”,延长CD 至点E ，使DE=CD ，易证四 边形ACBE 是矩形，所以 CE=AB=2CD. 思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线. 4.应用： 例 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠A=30°. 求证：BC=12AB 【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD ，易证△BDC 为等边三角形，所以BC=BD=12AB. 【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 边的一半. 三、运用新知，深化理解 1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，CD=4，则AB=______. 2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是 4cm ，那么它的最小边长为______cm. 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE,G 为垂足. 求证：（1）G 是CE 的中点； （2）∠B=2∠BCE.
三角形中线的巧用
三角形中线的巧用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角形中线的巧用 边的知识： 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 角的知识： 三角形三个内角的和等于180° 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 三角形的任何一个外角大于和它不相邻的一个内角。 三角形线的知识： 三角形的中线、高、角平分线都是线段。 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。 直角三角形的三条高,一条在三角形的内部，其他两条是直角边。 钝角三角形的三条高，一条在三角形的内部，其他两条在三角形的外部。 垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 角平分线性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 三角形全等的知识： 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 全等三角形的判断：SSS、SAS、ASA、AAS这四种。 三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。 如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段 AD叫△ABC的边BC上的中线。∴BD=CD=BC . AE⊥BC于E，即AE是△ABC 的边BC上的高。同时AE也是△ABD、△ACD的高。
根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即 . △ABD、△ACD的面积可表示为： ， ， 所以△ABD、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。 结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。 例1 如图2，AD、BE是△ABC的两条中线。AD、BE交于G，试比较△BGD 和△AGE面积的大小。 析解：因为AD、BE是△ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也等于三角形ABC的面积 的一半。所以=，所以， 即.所以△BGD和△AGE的面积相等。 引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC的中线，根据上面结论一，有，，而， 所以， ，所以 结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三 角形的面积等于这个三角形面积的.
三角形中位线性质的应用
三角形中位线性质的应用 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线性质，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度． 例1如图1，已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点．求证：PM ＝PN 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F 因为△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 所以AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质，可知， PE ＝ 2 1AC ＝NF ，PF ＝2 1AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB 所以∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 所以∠PEB+ ∠MEB ＝∠PFC+ ∠NFC 即∠PEM ＝∠PFN 所以△PEM ≌△PFN 所以PM ＝PN ． 例2如图2，已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点．求证：MN ∥AD ． 证明：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN 根据三角形中位线性质，可知， MP ∥AB ，MP ＝ 2 1BE ，NP ∥AC ，NP ＝2 1CF 因为BE ＝CF ，所以MP ＝NP ， 所以∠3=∠4= 1802 M PN -∠ ， ∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补） 所以∠1=∠2=1802 M PN -∠ ， 所以∠2=∠3． 因为NP ∥AC ， 所以MN ∥AD ． 练一练： 1．如图3，已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点． 则①四边形EFGH 是 形； ②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是 形； ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是 形； ④当AC 和BD 时，四边形EFGH 是正方形形． 2．如图4，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC N P 图1 C M 图 2 图3
直角三角形性质应用(直角 中点)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？ 问题2：遇到斜边上的中点怎么想？ 问题3：直角三角形斜边上的中线等于__________； 如果一个三角形__________________，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形性质应用（直角+中点） 一、单选题(共7道，每道12分) 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB． 若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是( )
A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( ) A.20 B.14 C.13 D.10 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 4.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE=( ) A.25° B.20° C.15° D.10° 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
人教版初二数学上册三角形中线习题
关于三角形中线的题目 三角形的中线能将原三角形平分成两个面积相等的三角形。关于这一条性质考察的题目较多，也很灵活，但实质上并不难。 回忆：为什么三角形的中线能将原三角形平分成两个面积相等的三角形。答：因为三角形的一条中线能将这个三角形的底边分成相等的两部分，而高是相等的，所以三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形。推论：一条线段将三角形分为两个三角形，如果两个三角形的面积相等，那么这条线段必为三角形的中线。 B 如图所示，AD为BC边上的中线，则BD=CD，过点A作AE⊥ BC于点E，则S△ABD=1 2BD ?AE = 1 2CD ?AE =S△ACD （钝角三角形的高一定要会画，因为在以后证明三角形全等时通常需要构造这样的辅助线） 知识点应用： 例一：如图（下页），在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC=4，则S△BEF=_________
B （同学们来做这道题） 分析：出现了中点则出现了中线，出现了中线则会平分三角形的面积，按着一条线应该可以解决。我们可采用分析法的思路，由果索因，想知道S △BEF ，由于F 为中点，则BF 为中线， 则S △BEF =S △BCF ，则只需知道S △BEC ，除以2即可。 而S △BEC=S △BED+S △CED ，由BE ，CE 为中线 S △BED= 12S △ABD ，S △CED= 12S △ACD, S △ABD+S △ACD =S △ABC =4，回归到已知条件，问题解决。 解： S △ABC=4?S △ABD+S △ACD=4 BE ，CE 为中线?S △BED = 12S △ABD ，S △CED = 12 S △ACD ?S △BEC=S △BED+S △CED=12S △ABC=12 ×4=2 BF 为中线?S △BEF = 12 S △BEC
直角三角形性质应用(讲义及答案)
直角三角形性质应用（讲义） ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
? 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1130° 2 3 4 2 1 1 B C A B C A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ， AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠
直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线 20170327 【教学目标要求】 【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用 （2 ）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系?知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法 （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力 （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综 合意识? 【教学重点】直角三角形斜边上的中线性质定理的应用? 【教学难点】直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 引入：如果你是设计师：（提出问题） 某地将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点 45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ 、小组合作，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质? 1?实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 C （1）测量边AB的长度; （2）量一量斜边上的中线的长度? 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系 2?提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3?证明命题：你能否用演绎推理证明这一猜想?
已知，如图，在 Rt A ABC中，/ ACB=90°, CD是B上的中线.求证：CD二AB. 4?得出定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半数学语言表述为：在Rt △ ABC中??? CD是斜边AB上的中线 ???CD = AD = BD = _ AB 三、运用新知，深化理解 1?见课件PPt 2、如图，已知AD±BD, AC丄BC, E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。 3、如图，在Rt △ ABC中，EF是中位线，CD是斜边AB 四、课堂小结 1?直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2?有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线 五.布置作业： 见PPt 板书设计（略） 上的中线，求证:
巧用三角形中线的性质
例1. 已知（如图）AD 是ABC ?的中线，求证AB+AC>2AD 分析：要证两条线段的和大于第三条线段，很显然要根据三角形三边关系定理“两边之和大于第三边”这一知识来证，而图形中要证的三条边不再同一个三角形中，因此，我们要利用这一结论，就必须重新构造出一个三角形的三边的长度恰好等于要证的三条线段长度，从而达到目的。 由已知：AD 是BC 边上的中线，很显然有BD=DC ，在此基础上构造出另外一条线段使其与AD 相等，即延长AD 至点E ，使AD=DE ，这样不但出现了二倍的AD ，同时又出现了两个全等的三角形，即ADC EDB ???（SAS ），从而有AC=BE 。这样我们要证的三条线段就出现在一个三角形之中，进而可以得出我们要证的结论，这是巧妙地利用中线这一特殊的线段（证明略） 例2. 已知（如图）AE 是ABD ?中BD 边上的中线，AB=CD ，BAD=ADB ∠∠。求证： AC=2AE. 分析：这也是一道巧用中线的证明题，原题要求我们证出AC=2AE 。而AE 在图形中恰好是一个三角形的中线，我们知道要证两条线段相等，只要证两条线段所在的两个三角形全等就可以啦。而图形中没有2AE 这条线段，这样我们就必须构造出一个全新的三角形，使其中一边的长为2AE ，延长AE 至点F ，使AE=EF(AF=2AE),连结BF ，从而得到一个新的三角形ABF ?。进而证得ABF ? 和ADC ?全等，从而证出AC=AF,即AC=2AE 。 例3. 如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于E ，△BEC 的周 长为26cm ，求△ABC 的周长。 分析：由于AD=BD , 0 ADE=BDE=90∠∠,DE=DE 可得ADE BDE ???，所以AE=BE ，BEC ?周长=BE+CE+AC ， ABC ?周长=AB+AC+BC=AB+AE+EC+BC =AB+BE+EC +BC =AB+BEC ?周长。 =
2020七年级数学下册试题 9.微专题：巧用三角形的中线求长度和面积
9．微专题：巧用三角形的中线求长度和面积 ◆类型一求线段长 【方法点拨】由中线得线段相等，再结合中线这条公共边相等解题．如图，BD为△ABC的中线，则AD＝CD，C△ABD－C△BCD＝AB－BC. 1．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，求AC的长． ◆类型二求面积 【方法点拨】 (1)中线把三角形分成两个面积相等的三角形．如图①，若BD为△ABC的中线，则S△ABD＝S△BCD. 若DE为△BCD的中线，则S△BDE＝S△CDE＝1 2S△BCD＝ 1 4S△ABC. 图①图② (2)若题中有中点，求面积，要考虑在三角形中连接中线，利用①中的性质求解，如T4. (3)同一三角形被不同中线分成的三角形面积也相等．如图②，BD，AE均为△ABC的中线，则S△ABD ＝S△BCD＝S△ABE＝S△ACE＝1 2S△ABC. 2．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC＝3cm2，则S△ABC＝________．
第2题图第3题图 3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE 的面积为S2.若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________． 4．如图①，已知AD为△ABC中BC边上的中线． (1)试说明：S△ADB＝S△ADC； (2)如图②，若O为AD的中点，连接BO和CO，设△ABC的面积为S，△ABO的面积为S1，用含S的代数式表示S1，并说明理由； (3)如图③，学校有一块面积为40m2的三角形空地ABC，按图③所示分割，其中点D、E、F分别是线段BC、AD、EC的中点，拟计划在△BEF内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉(阴影部分)的面积是________m2. 参考答案与解析 1．解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，∴BD＝15－6－5＝4(cm)．∵AD是BC边
直角三角形的性质习题
19.8 (1) 直角三角形的性质（一） 1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC的面积=____________ 2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等 腰三角形. 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 4. 已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度， E、F分别是AC、BD的中点。 求证：EF⊥BD 1、如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在BC 边上， 且AD ⊥AC. 求证：CD=2AB 19.8（2）直角三角形性质（二） E
1、 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________. 2、 顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是 ________ 3、 等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 4、 三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________ 5、 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E, 求证AD=2BC. 6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD 7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 19.8（3）直角三角形的性质(三) D A C B A E F C B A
三角形中线一条性质的探究、应用与拓展
三角形中线一条性质的探究、应用与拓展 性质：平行于三角形一边的直线被另两边（或另两边的延长线）所截得的线段被这边上的中线（或其延长线）平分。 如图，△ABC 中，AD 平分BC ，EF ∥BC ，求证：AD 平分EF . A B C D E F G 证明：∵EF ∥BC ∴EG ∶BD =AG ∶AD ；FG ∶CD =AG ∶AD ∴EG ∶BD = FG ∶CD ∵BD =CD ∴EG = FG . 结论得证.我们不妨将该结论称为“三角形中线性质定理”. 这条性质的运用，现举例如下： 例1. △ABC 中，DE ∥BC ，CD 交BE 于F ，求证：AF 平分DE 和BC . A B C D E F G M N 分析：根据“三角形中线性质定理”，结论中只需证得其一，即可得其二. 证明：过B 作BG ∥DC ，交AF 延长线于点G ，连CG . ∵BG ∥DC ，DE ∥BC ∴AD ∶AB =AF ∶AG ；AD ∶AB =AE ∶AC ∴AF ∶AG =AE ∶AC \ ∴CG ∥BE ∴BGCF 为平行四边形 ∴BN =CN ∵DE ∥BC ∴DM =EM . 例2 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B +∠C =90°，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，求 证：MN =12 (BC -AD ).
N M E D C B A 证明：延长BA 、CD 交于点E ，连接EN . ∵BN =CN ，AD ∥BC ， 据“三角形中线性质定理”，EN 平分AD ，即EN 过点M . ∵∠B +∠C =90°， ∴EN =12 BC . 同理，Rt △EAD 中，EM =12 AD . ∴MN =12 (BC -AD ). 例3 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 为CD 中点，AE 延长线交BC 于点F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2=FC ·FB . H G F E D C B A 证明：延长GF 与AC 延长线交于点H . ∵CD ⊥AB ，FG ⊥AB ∴CD ∥FG ∵CE =DE ∴FG =FH ∵∠ACB =90° ∴∠HCF =∠FGB =90° ∵∠HFC =∠BFG ∴△HFC ∽△BFG ∴FG ∶FC =FB ∶FH ∴FG ·FH =FC ·FB ∴FG 2=FC ·FB . 显然，利用比例性质，以上“三角形中线性质定理”可作如下推广(如图所示)： 1. △ABC 中，EF ∥BC ，若BD ∶DC =k ，则EG ∶FG =k (如图1). 2．△ABC 中，GH ∥BC ，若BD ∶DE ∶EF ∶…= a ∶b ∶c ∶…，则GM ∶MN ∶NP ∶…= a ∶b ∶c ∶…(如图2).
直角三角形性质应用(讲义及答案).
直角三角形性质应用（讲义） 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C 45° 1130° 2 3 42 1 1 A B A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A B A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂 线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点， AC =6.5，则AB 的长为______． A B C D F E C B A 第3题图 第4题图 4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相 交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 5. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________．