流体力学 连续性方程的推导
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vxdydz
根据质量守恒定律： [单位时间流出微元体质量]-[ 单位时间流入微元体质量] ＋[ 单位时间微元体内质量增量]＝0 ⑴分析x方向： 单位时间从左侧面流入的质量为： vxdydz
vxdydz
vx
vxdxdydz
x
单位时间从右侧面流出的质量如何求?
vx
vxdxdydz
x
∴ 单位时间内x方向流出流进的质量差：
7.1 微分形式的连续方程
1.有限体积控制体法
tC V dCS V n dA 0Gauss公式
CV t V d0
连续流场中空间任意点上速度和密 度必须满足的微分（连续）方程。
vxvyvz0
t x y z
t r v r 1 r v z v z 0
V0（流场中）
符合不可压缩流体的连续性方程。 ∴是不可压缩流体。
（2） v x x v y y v z z (x 0 ) ( 3 y x)y 0 3 x0
不符合不可压缩流体的连续性方程。 ∴不是不可压缩流体。
2. 微元控制体分析法（比较常用的方法） 质量通量：单位时间通过单位截面积的质量。 概念引深---通量：单位时间通过单位截面积的物理量
MrightMlef t vxxvxdxdydzvxdydz
vxdxdydz
x
同理
y方向：
vy
dx
dydz
y
z方向：
vz
d
xd
yd
z
z
在dt时间内因密度变化而增加的质量为： dxdydz
t
tdx d y x vx d z y vy z vz dx d0ydz
流体质量守恒微分方程一般形式
t
V 0( t 0)
V0( cons)t
不可压流动连续方程：速度场的散度为0
—— 体积膨胀速率为0。
例：有两种二元流体，其流速可表示为： （1）vx= 2y, vy=3x；（2） vx =0, vy=3xy。试问这两种流体是 不可压缩流体吗？ 解: (1) v x x v y y v zz( 2 xy)( 3 y x)000
CS
CS
CV
特点：将面积分中的n，在体积分中用 替代，然后
作用在被积函数上。高斯公式可适用标量、矢量和张
量。
(2) 微元体积控制体的分析方法。
采用该方法的前题是：流场中流体物理量时时处处 连续可微，且需在特定坐标系下取相应的微元控制 体的形状，如要得到直角坐标系下运动微分方程， 则应选择六面体形式的微元体。
vxvyvz0
t x y z
适用范围：理想流体或实际流体；Fra Baidu bibliotek定流或非恒定流； 可压缩流体。
对于柱坐标和球坐标，如何使用微元控制体积分析方 法推导连续性方程？
第7章 理想流体多维流动基础
推导微分形式的方程常用的方法：
有限体积控制体的分析方法；微元体积控制体的分析 方法。
（1）有限体积控制体的分析方法；
利用已有的积分形式的方程导出微分形式的方程.
方法：利用高斯公式实现面积分和体积分之间的转
化，如： V n d A V d
C S p n V d C A n V P V d A P V d
根据质量守恒定律： [单位时间流出微元体质量]-[ 单位时间流入微元体质量] ＋[ 单位时间微元体内质量增量]＝0 ⑴分析x方向： 单位时间从左侧面流入的质量为： vxdydz
vxdydz
vx
vxdxdydz
x
单位时间从右侧面流出的质量如何求?
vx
vxdxdydz
x
∴ 单位时间内x方向流出流进的质量差：
7.1 微分形式的连续方程
1.有限体积控制体法
tC V dCS V n dA 0Gauss公式
CV t V d0
连续流场中空间任意点上速度和密 度必须满足的微分（连续）方程。
vxvyvz0
t x y z
t r v r 1 r v z v z 0
V0（流场中）
符合不可压缩流体的连续性方程。 ∴是不可压缩流体。
（2） v x x v y y v z z (x 0 ) ( 3 y x)y 0 3 x0
不符合不可压缩流体的连续性方程。 ∴不是不可压缩流体。
2. 微元控制体分析法（比较常用的方法） 质量通量：单位时间通过单位截面积的质量。 概念引深---通量：单位时间通过单位截面积的物理量
MrightMlef t vxxvxdxdydzvxdydz
vxdxdydz
x
同理
y方向：
vy
dx
dydz
y
z方向：
vz
d
xd
yd
z
z
在dt时间内因密度变化而增加的质量为： dxdydz
t
tdx d y x vx d z y vy z vz dx d0ydz
流体质量守恒微分方程一般形式
t
V 0( t 0)
V0( cons)t
不可压流动连续方程：速度场的散度为0
—— 体积膨胀速率为0。
例：有两种二元流体，其流速可表示为： （1）vx= 2y, vy=3x；（2） vx =0, vy=3xy。试问这两种流体是 不可压缩流体吗？ 解: (1) v x x v y y v zz( 2 xy)( 3 y x)000
CS
CS
CV
特点：将面积分中的n，在体积分中用 替代，然后
作用在被积函数上。高斯公式可适用标量、矢量和张
量。
(2) 微元体积控制体的分析方法。
采用该方法的前题是：流场中流体物理量时时处处 连续可微，且需在特定坐标系下取相应的微元控制 体的形状，如要得到直角坐标系下运动微分方程， 则应选择六面体形式的微元体。
vxvyvz0
t x y z
适用范围：理想流体或实际流体；Fra Baidu bibliotek定流或非恒定流； 可压缩流体。
对于柱坐标和球坐标，如何使用微元控制体积分析方 法推导连续性方程？
第7章 理想流体多维流动基础
推导微分形式的方程常用的方法：
有限体积控制体的分析方法；微元体积控制体的分析 方法。
（1）有限体积控制体的分析方法；
利用已有的积分形式的方程导出微分形式的方程.
方法：利用高斯公式实现面积分和体积分之间的转
化，如： V n d A V d
C S p n V d C A n V P V d A P V d