数学物理方法 保角变换法
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所围成的区域变换成上半平面的带形域 问题就容易解决了．
例3 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径 分别为R1、R2，电势分别为 、 。求导体内 任一点的电势。
解：用保角变换法 由于等势面为圆，故可采用对数函数变换来进行计算。
y x
将z平面上的圆变成w平面上的直线区域， 其宽度为 。其间的电势满足
该变换的特点是把z平面的圆周变换成w平面的 圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周 ；把以 原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角 形域，但其张角为原来的的n倍。
讨论变换 若均匀场在w 平面上是具有平行于两坐标轴的直 线族，则此变换将w平面的正实轴变换成z平面上 的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成z平面 上的正虚轴，这样w平面的上半平面变换成z平面 的第一象限，如图所示。反之亦然 .
例 2 若把柱面充电到
试用保角变换法求解一半径为 内的电场分布情况．
的无限长导体圆柱壳
【解】即求解定解问题
作如下的保角变换
(1) 作变换
把原图象缩小为
倍．即将任意的圆周变换为单位圆．
(2) 再作变换
把
变换为
，其边界的变换是将下
半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴．
（3）再作变换
平面上平行于实轴，宽为
第十一章 求解定解问题的其它解法
求解数理方程，除了行波法、分离变量法 外，还有其他的常用解法： 格林函数法； 积分变换法； 保角变换法等一些解析法。
11.1 保角变换法求解定解问题
在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹 性力学等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程 的问题．尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林 函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂 时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解 决．对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保
W 平面
y
z平面
x
(6) 对数变换
对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换 的逆变换。先研究指数变换
令
， 得
可知：z平面上的直线x=常数变换到w平面上的圆周
常数，而直线y＝常数变换成射线
＝常数。
因此，指数变换的特点是：把水平的带形
城
变换成角形
w(z平面) z(W平面)
对于对数变换
取极坐标系 故 则
把
平面的上半平面变成
的一个带形区域，其边界的
变换是将
平面的正半实轴变换为
平面的实轴，
平面的负半实轴变换为
平面的平行于实轴的直线
所以，在变换
之下，定解问题变换为
定解问题的解（仿上例）为
将变量回到
平面，则
化成极坐标形式，则上式又改写成
从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，
不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界
所以，利用平行板电容器计算公式，得单 位长度的电容为
其中
例4 用保角变换法求解下列定解问题：
作业：p376，1，2， 6（1）、（2） 这是最后一次作业，全部作业务于下周六交齐， 过期不候！
前的系数可
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程
等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将
复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
下面，在介绍用保角变换法来求解拉普拉斯方程之前， 先介绍常用到的一些保角变换．
11.1.2 常用的几种保角变换
(1) 平移变换
将z平面上的图形整体平移一个矢量a。
在复变函数论中我们已经知道，由解析函数 实现的从Z平面到W 平面的变换在 的点具有保
角性质，因此这种变换称为保角变换．下面我们主要讨论一一
对应的保角变换，即假定 和它的反函数都是单值
函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一 叶．
定理11.1.1
如果将由
到 的变换由
的保角变换看成为二元（实变）函数 的变量代换，则
可见：在w平面上 常数的直线在 z 平面表示 一族圆；＝常数表示一族径向射线。
11.1.3 保角变换法求解定解问题典型实例 例1
试求平面静电场的电势分布 ，其中
【解】
变换
使上半
平面变成
平面上的带形域,
而在带形域上的解是显
然的，类似于上面定解问题的结果,则本定解问题可归
结为
而
所以 于是，作反变换便可求得所求问题的解为
到
平面上的边界变成了
满足拉普拉斯方 也满足拉普拉斯方程．
平面上的边界．我们能证明，如果 程，则经过保角变换后得到的
【证明】 利用复合函数求导法则有
(11.1.1)
同理
(11.1.2)
两式Fra Baidu bibliotek加得到
（11.1.3）
利用解析函数
的C-R条件
(11.1.4)
以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质
(2) 线性变换 伸缩 旋转
平移
(3) 反演变换 保角性：
保圆性：
保对称性：Z平面内关于原点O 对称点P、Q 变换为w 平面上的像P’、Q’ 也关于原点O’ 对称。
O P
R
Q
(4) 分式线性变换
上式可写成
其中：
保圆性；
保对称性；
例题1
i
(-1,0)
(1,0)
例题2
1/2
上半平面
(5) 幂函数变换 令 则
同理可以证明，在单叶解析函数
变换下，泊松方程
(11.1.7)
仍然满足泊松方程
（11.1.8）
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度 发生了变化． 对于波动问题和输运问题，同理可以证明，亥姆霍兹方程
(11.1.9) 经变换后仍然服从亥姆霍兹方程 (11.1.10)
注意到方程要比原先复杂，且 能不是常系数．
角变换法求解．
保角变换法解定解问题的基本思想：
通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中 已经学习过）将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的
边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换
就求得了原始定解问题的解． 这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解 问题中的解析法――保角变换法。
(11.1.5)
将式（11.1.4）和式（11.1.5）代入到式（11.1.3）化简后得到
注意到上式已经使用了：
对于保角变换
满足拉普拉斯方程，则
因而只要 ）也满足拉
普拉斯方程，即为
（11.1.6）
这样我们就有结论：如果在
平面上给定了
的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换 ，可以将它转化为 的拉普拉斯方程边值问题． 平面上
保角变换法是解决这类复杂边界的最有效方法，特别适
合于分析平面场的问题。 例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内 容进行介绍．
复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论， 本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。
11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系
例3 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径 分别为R1、R2，电势分别为 、 。求导体内 任一点的电势。
解：用保角变换法 由于等势面为圆，故可采用对数函数变换来进行计算。
y x
将z平面上的圆变成w平面上的直线区域， 其宽度为 。其间的电势满足
该变换的特点是把z平面的圆周变换成w平面的 圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周 ；把以 原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角 形域，但其张角为原来的的n倍。
讨论变换 若均匀场在w 平面上是具有平行于两坐标轴的直 线族，则此变换将w平面的正实轴变换成z平面上 的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成z平面 上的正虚轴，这样w平面的上半平面变换成z平面 的第一象限，如图所示。反之亦然 .
例 2 若把柱面充电到
试用保角变换法求解一半径为 内的电场分布情况．
的无限长导体圆柱壳
【解】即求解定解问题
作如下的保角变换
(1) 作变换
把原图象缩小为
倍．即将任意的圆周变换为单位圆．
(2) 再作变换
把
变换为
，其边界的变换是将下
半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴．
（3）再作变换
平面上平行于实轴，宽为
第十一章 求解定解问题的其它解法
求解数理方程，除了行波法、分离变量法 外，还有其他的常用解法： 格林函数法； 积分变换法； 保角变换法等一些解析法。
11.1 保角变换法求解定解问题
在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹 性力学等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程 的问题．尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林 函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂 时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解 决．对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保
W 平面
y
z平面
x
(6) 对数变换
对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换 的逆变换。先研究指数变换
令
， 得
可知：z平面上的直线x=常数变换到w平面上的圆周
常数，而直线y＝常数变换成射线
＝常数。
因此，指数变换的特点是：把水平的带形
城
变换成角形
w(z平面) z(W平面)
对于对数变换
取极坐标系 故 则
把
平面的上半平面变成
的一个带形区域，其边界的
变换是将
平面的正半实轴变换为
平面的实轴，
平面的负半实轴变换为
平面的平行于实轴的直线
所以，在变换
之下，定解问题变换为
定解问题的解（仿上例）为
将变量回到
平面，则
化成极坐标形式，则上式又改写成
从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，
不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界
所以，利用平行板电容器计算公式，得单 位长度的电容为
其中
例4 用保角变换法求解下列定解问题：
作业：p376，1，2， 6（1）、（2） 这是最后一次作业，全部作业务于下周六交齐， 过期不候！
前的系数可
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程
等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将
复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
下面，在介绍用保角变换法来求解拉普拉斯方程之前， 先介绍常用到的一些保角变换．
11.1.2 常用的几种保角变换
(1) 平移变换
将z平面上的图形整体平移一个矢量a。
在复变函数论中我们已经知道，由解析函数 实现的从Z平面到W 平面的变换在 的点具有保
角性质，因此这种变换称为保角变换．下面我们主要讨论一一
对应的保角变换，即假定 和它的反函数都是单值
函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一 叶．
定理11.1.1
如果将由
到 的变换由
的保角变换看成为二元（实变）函数 的变量代换，则
可见：在w平面上 常数的直线在 z 平面表示 一族圆；＝常数表示一族径向射线。
11.1.3 保角变换法求解定解问题典型实例 例1
试求平面静电场的电势分布 ，其中
【解】
变换
使上半
平面变成
平面上的带形域,
而在带形域上的解是显
然的，类似于上面定解问题的结果,则本定解问题可归
结为
而
所以 于是，作反变换便可求得所求问题的解为
到
平面上的边界变成了
满足拉普拉斯方 也满足拉普拉斯方程．
平面上的边界．我们能证明，如果 程，则经过保角变换后得到的
【证明】 利用复合函数求导法则有
(11.1.1)
同理
(11.1.2)
两式Fra Baidu bibliotek加得到
（11.1.3）
利用解析函数
的C-R条件
(11.1.4)
以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质
(2) 线性变换 伸缩 旋转
平移
(3) 反演变换 保角性：
保圆性：
保对称性：Z平面内关于原点O 对称点P、Q 变换为w 平面上的像P’、Q’ 也关于原点O’ 对称。
O P
R
Q
(4) 分式线性变换
上式可写成
其中：
保圆性；
保对称性；
例题1
i
(-1,0)
(1,0)
例题2
1/2
上半平面
(5) 幂函数变换 令 则
同理可以证明，在单叶解析函数
变换下，泊松方程
(11.1.7)
仍然满足泊松方程
（11.1.8）
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度 发生了变化． 对于波动问题和输运问题，同理可以证明，亥姆霍兹方程
(11.1.9) 经变换后仍然服从亥姆霍兹方程 (11.1.10)
注意到方程要比原先复杂，且 能不是常系数．
角变换法求解．
保角变换法解定解问题的基本思想：
通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中 已经学习过）将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的
边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换
就求得了原始定解问题的解． 这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解 问题中的解析法――保角变换法。
(11.1.5)
将式（11.1.4）和式（11.1.5）代入到式（11.1.3）化简后得到
注意到上式已经使用了：
对于保角变换
满足拉普拉斯方程，则
因而只要 ）也满足拉
普拉斯方程，即为
（11.1.6）
这样我们就有结论：如果在
平面上给定了
的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换 ，可以将它转化为 的拉普拉斯方程边值问题． 平面上
保角变换法是解决这类复杂边界的最有效方法，特别适
合于分析平面场的问题。 例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内 容进行介绍．
复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论， 本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。
11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系