分块矩阵的应用研究报告

1引言
在数学名词中，矩阵（英文名Matrix ）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好的解释了Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组
111122223333
(1.1)(1.2)(1.3)
a x
b y
c z
d a x b y c z d a x b y c z d ++=++=++= 我们可以构成一个矩阵
111122223
3
3
3(1.4)a b c d a b c d a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来.数学上，一个*m n 矩阵乃一个m 行
n 列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成.
矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在实际生活中有许多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并
探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主.
在已有的相关文件中，分块矩阵的一些应用如下：
（1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.
（2）分块矩阵在线性代数中是一个基本工具，研究许多问题都需要它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵秩方面的应用.
如：设A B M C D ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
是一个四分块n 阶矩阵，其中A 、B 、C 、D 分别是,r r ⨯(),r n r ⨯-(),n r r -⨯()n r -⨯()n r -阶矩阵，若A 可逆，可证M =AD - 1CA B -，另若D 可逆，则可证得1M D BD C -=-.
（3）通过绪论证明矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题，用分块矩阵求逆矩阵问题，用分块矩阵求矩阵行列式的问题，用分块矩阵求矩阵的秩的问题，利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题. 如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知矩阵秩()AB ≤秩()A ，且秩()AB ≤秩()B 可证得秩()AB ≤ {}min (),()r A r B .
（4）利用分块矩阵求高阶行列式.如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且
AC CA =，则可求得
A B AD BC C
D
.
（5）给出利用分块矩阵计算行列式A D H C
B
=的方法，可分几个方面讨论，当
矩阵A 或B 可逆时;当矩阵A =B ，C =D 时;当A 与C 或C 与B 可交换时；当矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时，行列式的计算.
（6）分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性.
本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来很大的便利.
2 分块矩阵及其性质
2.1 分块矩阵
2.1.1【5】【6】分块矩阵的定义
用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：
11
12121
2221
2
t t s s st A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2.1） 其中每个小矩阵 (1,2,,;1,2,
,)ij A i s j t ==叫做A 的一个子块；分成子块
的矩阵叫做分块矩阵.
2.1.2【5】【6】
分块矩阵的运算规则
1(1)()()()(2)()()(3)()()(),(1,2,
,;1,2,,)
(4)()()ij st ij st ij ij st T T ij st ji ts
t
ij st ij tp ij sp ij ik kj k ij st ij st
A B A B A A A B C C A B i s j t k A k A =±=±======∑
在用规则（1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质（3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.
2.2分块矩阵的性质及其推论
在行列式计算中，我们经常用到下面三条性质： （1）若行列式中某行有公因子，则可提到行列式号外面；
（2）把行列式中的某行乘上某一个非零数，加到另一行中去，其值不变； （3）把行列式的某两行互换位置，其值变号.
利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广. 性质1【2】 设方阵A 是由如下分块矩阵组成
12312
312
3A A A A B B B C C C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2.2） 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 级方阵，对于矩阵
1
231
231
2
3A A A B MB MB MB C C C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2.3） 则B M A =.
证明：设s E 为s 级单位矩阵，则
12
312312300000
0000
00
s
s
s s E A A A E B M B B B M A E C C C E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
于是 00
00
s
s
E B M A M A E == 性质2【2】 设矩阵A 是由如下分块矩阵组成
12312
312
3A A A A B B B C C C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2.4） 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 级方阵，对于矩阵
1
23
11
22
331
2
3A A A D B MC B MC B MC C C C ⎡⎤
⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2.5）
则A D =
证明：由12
312312
3000
s
s s E A A A E M B B B E C C C ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
= 1
23
1
122
331
2
3A A A B MC
B M
C B MC C C C ⎡⎤
⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中s E 为s 级单位矩阵，对上式两边同时取行列式得A D =
性质3【2】 设方阵A 和B 写成如下的形式：
12312
312
3A A A A B B B C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12
312312
3B B B B A A A C C C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，则：
B =A ，当s 为偶数时；B =-A ，当s 为奇数时.
证明：A 可由B 中的123,,,B B B 与123,,A A A 相应的两行对换而得到，而对换行列式得两行，行列式反号，故当s 为偶数时B =A ，当s 为奇数时B =-A 可以证明，对于一般分块矩阵也具有类似的性质.同时，这些性质不仅对行成立，对列也同时成立.
推论1 设,A B 都是n 阶方阵，则有
AB A B = （2.6）
证明：作2n 阶行列式0
AB A C E
=
由拉普拉斯展开定理得C AB E AB ==. 又由性质2并应用于列的情况，有
00
0AB A AB AB A A
A B E
EB
E
B E
-=
=
=--
推论2 设,A B 都是n 阶方阵，则有
A B A B A B B
A
=+- （2.7）
证明：根据性质2并应用于列的情况，有
A B A B B A B B A B A B B
A
B A A
A B
++=
=
=+-+-
下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. 例 1 计算2n 阶行列式
00000000000
00
00000000
00a b a b a b D b a b a b a =
解：令A=00000
00
000
00
a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B=0
0000000
000
0b b b
⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
00000
00000
000
a b a b a b a
b A B
D A B A B B A
b a b a b a b a
--==+-=
--
()()n n a b a b =+-.
推论3 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则有
A B AD CB C D
=- （2.8）
证明： 根据性质2.因为A 可逆，并注意到AC CA =，用1
CA --乘矩阵A B C D ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
的第一行后加到第二行中去得10A B D CA B -⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦ 从而
10
A B A B C
D
D CA B
-=
-
111A D CA B AD ACA B AD CAA B AD CB ---=-=--=-
例 2 计算行列式
4
110320143422113=
P
解：设 A B
P C D
=
其中31121023,,,24340114A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由计算知100A =≠ 且AC CA =，所以61153518
P AD CB =-=
=.
把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到三个结论.设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵.则有
AB A B = （2.6） A B A B A B B
A
=+- （2.7）
A B AD CB C D
=- （2.8）
结论(2.6)告诉我们两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵行列式的乘积.结论(2.7)则说明,当一个行列式可以分解成四个级数相等的方阵A 、B 、B 、A 时(即
A B
B A
),那么我们可以转化为求A B A B +-这样我们就把求2n 级的行列式转换成了求n 级的行列式.结论（2.8）同样也说明当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A 、B 、C 、D 时（即
A B C
D
），我们可以转换为求AB CD -，同
样将一个2n 级的行列式转换成了n 级的行列式，这样的处理能给我们的计算带来很大的方便.例题1和例题2就是很好的印证.但并不是任何矩阵都能做到这样，因此我们在解行列式计算题时应首先观察其特点.一但发现有以上行列式的特
点，即可用之.
3 分块矩阵在证明方面的应用
3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用
3.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用
定理1【11】【12】【15】
秩（AB ）≤秩（A ），且秩（AB ）≤秩（B ）,
则秩（AB ）≤min ｛秩（A ），秩（B ）｝
证明：令1212,(,,...,),(,,...,)m s m n n s n s C A B A a a a C r r r ⨯⨯⨯===
则1112
12122
2121212(,,...,)(,,...,)s s s n n n ns b b b b b
b r r r a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
11112121212122221122n n n n s s s ns n
r b a b a b a r b a b a b a r b a b a b a =+++=+++=++
+
12,,...,(1)s r r r ∴可由12,,...,n a a a （2）线性表示
所以秩（1）≤秩（2），即秩（C ）=秩（AB ）≤秩（A ） 令
1122,m n n n C B n βββ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以
11112
11221222212
n n m m m mn n n a a a n a
a a n a a a βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即
11111221221122221122n n n n m m m mn n
a a a a a a a a a ηβββηβββηβββ=+++=+++=++
+
12,,...,(3)m ηηη∴可由12,,...,(4)n βββ 线性表示
所以秩（3）≤秩（4），即秩（C ）=秩（AB ）≤秩（B ） 也即秩（AB ）≤min ｛秩（A ），秩（B ）｝
定理2【11】【12】【15】
设A ，B 都是n 阶矩阵，若AB =0则秩（A ）+秩（B ）
≤n .
证明：对B 分块如下：12
()n B B B B =.
由于AB =0，即12
()0n AB AB AB =.
即
0(1,2,...,)i AB i n ==.
说明B 的各列都是0AX =的解.从而 秩12
()n B B B ≤基础解系=n -秩（A ）.
即
秩（A ）+秩（B ）≤ n .
3.1.2 分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用
例 3 设A ，B 都是n 阶矩阵，求证：秩（AB A B ++）≤秩（A ）+秩（B ） 证明：因为
0000A AB A B A AB A A B B B +++⎡⎤⎡⎤⎡⎤
→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以
0000E E A AB A B E B E A E B E
E B -++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
因为 ,0E E E B E E E E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 都可逆 . 所以
秩0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩00A B ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
而秩0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≥秩[]AB A B ++且秩00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩（A ）+秩（B ）. 所以秩（AB A B ++）≤秩（A ）+秩（B ）.
例 4 设A 为n m ⨯矩阵，s A 是从A 中取s 行得到的矩阵，则 秩（s A ）≥秩（A ）+s m -.
证明：不妨设s A 是A 的前s 行，而后m s -行构成的矩阵为B ，则
00s s A A A B B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
.
又显然有 秩（A B +）≤秩（A ）+秩（B ）.于是
秩（A ）≤秩0s A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+秩0B ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
=秩（s A ）+m s -.
利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级的矩阵来证明，如例题1.另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，如例题2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明.
3.2 分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用
分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中有着广泛的应用，欲透彻掌握达到运用自如却非易事.其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们大家往往容易忽视它重要的一点——矩阵分块的作用，本节就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应
用.
3.2.1 关于矩阵列（行）向量线性相关性
定理1【4】【8】【9】【10】 矩阵A 的列向量线性无关的充分必要条件是0AX =只
有零解.
证明：令1
2()k A A A A =，其中(1,2,...,)i A i k =是A 的列向量，且 11220(1,2,
,)k k a A a A a A i k +++== .即 1212()0k k a a A A A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，也即 120k a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 若12,
,,k A A A 线性无关，则有120,0k a a a AX =====只有零解，反之
亦成立. 例5 矩阵B 列线性无关，BC A =.求证：C 列线性无关的充要条件是A 列线性无关.
证明：充分性：使0,CX =即()0B AX =，记AX Y =，则0BY =，因为B 列无关，须0Y =，即0AX =，又A 列无关，须0X =，从而C 列无关.
必要性：要使0AY =，两边左乘B ，则0BAY =，即0CY =，因为C 列无关，所以0Y =，从而A 列无关.
3.2.2 矩阵的分解
定理2【4】【8】【9】【10】 设(),nk A γγ=
（1）,,()()n k M N M N γγγγβγ∃==使A MN =；
（2）,,()()nk kk R S R S γγγ∃==使A RS =；
（3）,,()()nn nk R S R S γγγ∃==使A RS =.
证明：,,0,0,nn kk P Q P Q ≠≠使
110000.00nk I PAQ I A P Q γγ--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦
（1）将1P -与1Q -作如下分块：11
(,),k n N P M L Q H γγ--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ . 则0(,)0
0I N A M L MN H γ
⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. （2）令10,0
0nn nn I P P γ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因为000000000nk nk kk I I I γγγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 令100
0nn nk I P P γ
-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1000kk kk I S Q γ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦即得，A RS =. （3）因为10000,0
0000
000nk kk nn nk I I I I S Q γγγγ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即得，A RS =. 矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列（行）都可以看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决.
4 分块矩阵在计算方面的应用
4.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用
定理1【16】【20】【21】 设A B P C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
是一个四分块方阵,其中B 为r 阶方阵,C 为k 阶方阵,当B 与1()C DB A --都是可逆矩阵时,则P 是可逆矩阵,并且
111111
11111111()()()()C DB A DB C DB A P B B A C DB A DB B A C DB A --------------⎡⎤---=⎢⎥+---⎣⎦ 特例 (1)当0,0,A D B ==与C 都可逆时,有.11
100C P B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.
(2)当0,0,A D B =≠与C 都可逆时,有1111
10C DB C P B -----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. (3)当0,0,A D B ≠=与C 都可逆时,有11
1110C P B B AC -----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 证明： 设P 可逆,且1
X Y P Z W -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其中Y 为k 阶方阵,Z 为r 阶的方阵.则应有
1X Y A B P P E Z W C D -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
. 即
00k r E XA YC XB YD E ZA WC ZB WD ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣
⎦
. 于是得到下面的等式
(4.1)0
(4.2)0
(4.3)(4.4)k
r XA YC E XB YD ZA WC ZB WD E +=+=+=+= 因为B 可逆,用1B -右乘(4.2)式可得1X YDB -=-代入(4.1)式得
11()Y C DB A --=-，则 111()X C DB A DB ---=--.
用B 右乘(4.4)式可得 111()r Z E WD B B WDB ---=-=-.
代入(4.3)式得
111()W B A C DB A ---=-.
则可得
11111()Z B B A C DB A DB -----=+-.
所以
111111
11111111()()()()X Y C DB A DB C DB A P Z W B B A C DB A DB B A C DB A --------------⎡⎤---⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦
.
定理2【16】【20】【21】 设A B Q C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
是一个四分块方阵,其中A 为r 阶方阵,D 为k 阶方阵,当A 与1()D CA B --都是可逆矩阵时,则Q 是可逆矩阵,并且
111111*********()()()()A B A A B D CA B CA A B D CA B Q C D D CA B CA D CA B ---------------⎡⎤+---⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
特例(1)当0,0,B C A ==与D 都可逆时,有1
1
100A Q D ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (2)当0,0,C B A =≠与D 都可逆时,有111110A A BD Q D -----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦
. (3)当0,0,C B A ≠=与D 都可逆时,有1
11110A Q D CA D -----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
. 此结论可参考命题1.
例6 设3741025901001000004000006M -⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
,求1M -. 解：令0010037410,,00,0402590100006A B C D -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
. 则很容易求得
1110057,01/4025001/6A D ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
且
111005741001/4025901001/6A BD ---⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
435/47/6191/21/2--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 由命题2可得,
1
111157435/47/623191/21/20010000001/4000001/6A A BD M D -------⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎡⎤-⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
例 7 求矩阵000120003540000020000
3400M ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 解：设4000000012,,020,000003503400A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
则
111/40052,01/203103/81/4B C --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
. 由命题1可得:111001/4100001/2000003/81/405200031000C M B ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
. 本节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵,现将该矩阵分成四小块,,,A B C D 再根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别,,,A B C D 中哪些可逆哪些不可逆，再具体运用.
4.2 分块矩阵在行列式计算方面的应用
在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.
4.2.1 矩阵A 或B 可逆时，行列式H 的计算
定理1 ,A B 分别为m 与n 阶行列式.
（1）当A 可逆时，有1A D
A B CA D C B -=- （4.5）
（2）当B 可逆时，有1A D
A D
B
C B C B -=- （4.6）
证明：（1）根据分块矩阵的乘法，有
1100E A D A D CA E C B B CA D --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
. 由引理知，两边取行列式即得（4.5）.
（2） 根据分块矩阵的乘法，有
1100A D E DB A DB C C B E C B --⎡⎤⎡⎤--⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
两边取行列式即得（4.6）.此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵的求逆问题，但在利用命题（1）时，要特别注意条件有矩阵A 或B 可逆，否则此命题不适用， 下面给出此命题的应用.
推论1【22】 设A 、B 、C 、D 分别是,,,m n m n n m ⨯⨯矩阵.证明
m
E D B CD C
B =- （4.7） m A
D A DC C
E =- （4.8）
证明：只需要在命题1的（4.5）中令m A E =，即得（4.7）；在（4.6）中令 m B E =即得（4.8）.
推论2【22】 ,C D 分别是n m ⨯和m n ⨯矩阵.证明
m
n m n E D E CD E DC C E =-=- （4.9）
证明：在推论1的（4.7）中，令m B E =，在（4.8）中，令m A E =，即得（4.9）. 例 8 计算下面2n 阶行列式
20(0)0
n a d
N
a d
H a c b N c b
=≠
解：令
0,0,,a b c d A B C N D N a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡
⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
====⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
为n 阶矩阵.由于0a ≠,故A 为可逆方阵.又易知：
11110b ca d b ca d
B CA D b ca d ----⎡⎤
-⎢⎥
-⎢⎥
-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
从而由命题1中（1）得：
112()()n n n n A D
H A B CA D a b ca d ab cd C B --==-=-=-.
例9 计算行列式
(1) 01211
1100100,(0,1,2,
,)0
100i n a a a a i n a ≠=；(2) 1
231231000010000100001n
n a a a a b b b b c
解：（1）设A D
Q C B =，其中
12
0(),,(1,1,,1),(1,1,,1)0T n a a A a B C D a ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
====⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
.
因为0,1,2,,i a i n ≠= 所以B 是可逆矩阵，又易知：
1011/n
j
i
A D
B
C a a -=⎡⎤
-=-⎢⎥⎣⎦∑.
从而由命题1中的结论（4.2）得
112011/n
n i
i
A D
A D
B
C B a a a a a C B -=⎡⎤
=-=-⎢⎥⎣⎦∑.
（2）设n E D
Q C B =，其中 1212(),(,,,),(,,,)T n n B c C b b b D a a a ===.
由于12121
(,,,)(,,,)n
T n n i i i CD b b b a a a a b ===∑，从而由推论1知，
1
n
n i i i E D
Q B CD c a b C B ===-=-∑.
4.2.2 矩阵,A B C D ==时行列式H 的计算
定理2【10】【22】【23】 ,A C 是两个n 阶方阵，则A C
A C A C C A =+-
证明：根据行列式的性质和定理，有
0A C
A C C A C C
A C A C C A C A A A C ++===+-+-.
例 10 计算行列式0000
x y z
x z y
D y z x z y x = .
解：这道题看似简单，但如果方法选择的不好，做起来并不轻松，
这里设 0,0x y z A C x z y ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由命题2知
2222()()()()()()
A C y x z y x z D A C A C y x z y x z C A x z y x z y
x y z x y z x y z x y z +--⎡⎤⎡⎤==+-==-+--⎣⎦⎣⎦+--=++-+-+--++ 行列式的计算是线性代数中的一个重要内容，本节就行列式的计算问题具体就形如A D
H C B =（A 、B 、C 、D 分别是,,,m n n m m n ⨯⨯的矩阵）的类型的行
列式计算进行了分析，其中将一个行列式分快成A 、B 、C 、D 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可依据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.
5 结束语
本文对分块矩阵进行了两方面的应用总结分析，在证明方面,涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关等问题.在证明线性相关问题上,利用分块矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容.对一些具体的解与矩阵列(行)向量组线性相关性之间的关系给出了结论；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题,再求逆矩阵方面,本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后,通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法,并且给出了求解具有特殊性质行列式的方法,通过本文的论述,充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面具有一定的优越性,也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位.当然在对分块矩阵的应用论述上.本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论,所以在应用的完整性上还有待改进,并可以继续进行研究探讨.
6 致谢
本文是在导师夏丹的悉心指导下完成的，导师在学业上的谆谆教诲和身体力行，在生活上的默默关心和无私帮助将使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师对科学事业的献身精神以及高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.
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