第五章 向量空间

第五章向量空间

基础训练题

1. 设V是数域F上向量空间，假如V至少含有一个非零向量α，问V中的向量是有限多还是无限多？有没有n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间？

解无限多；不存在n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间(因为如果F上一个向量空间V含有至少两个向量, 那么V至少含有一个非零向量α, 因此V中含有α, 2α,3α,4α,…,这无穷多个向量互不相等,因此V中必然含有无穷多个向量).

2. 设V是数域F上的向量空间，V中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量α，空间解析几何中的向量β有什么区别？

解这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项式,矩阵等,不单纯指平面中的向量.

3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域F上的向量空间.

（1）集合：全体n阶实对称矩阵；F：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法；

（2）集合：实数域F上全体二维行向量；运算：

(a1, b1)+ (a2, b2)＝(a1＋a2, 0)

k∙ (a1, b1)＝(ka1, 0)

（3）集合：实数域上全体二维行向量；运算：

(a1, b1)+ (a2, b2)＝(a1＋a2, b1＋b2)

k∙ ( a1, b1)＝(0, 0)

解(1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一);

(3) 不是(不满足向量空间定义中的(8)).

4. 在向量空间中，证明，

(1) a(－α)=－aα=(－a)α ,

(2) (a-b)α＝aα－bα,

a, b是数，α是向量.

证明 (1) a a a a =+-=+-))(()(αααα 0= 0 ααa a -=-∴)(

又 ==+-=+-a a a a a 0))(()(ααα 0 ααa a -=-∴)(

综上, .)()(αααa a a -=-=-

(2) ααααααb a b a b a b a -=-+=-+=-)())(()(.

5. 如果当k 1＝k 2＝…＝k r ＝0时，k 1α1＋k 2α2＋…＋k r αr ＝0, 那么α1, α2, …, αr 线性无关. 这种说法对吗？为什么?

解 这种说法不对. 例如设α1=(2,0, -1), α2=(-1,2,3), α3=(0,4,5), 则0α1+0α2+0α3=0. 但α1, α2, α3线性相关, 因为α1+2α2－α3=0.

6. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，而αr ＋1不能由α1, α2, …, αr 线性表示，那么α1, α2,…,

αr , αr ＋1线性无关. 这个命题成立吗？为什么？

解 成立. 反设α1, α2,…, αr , αr ＋1线性相关,由条件α1, α2, …, αr 线性无关知αr ＋1一定能由

α1, α2, …, αr 线性表示,矛盾.

7. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. 这种说法对吗？为什么？

解 对. 反设 αi = k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k r αr ,则 k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+(－1) αi +k i+1αi ＋1 +…+k r αr =0. 由于－1≠0, 故α1, α2, …, αr 线性相关.

8. 如果向量α1, α2, …, αr 线性相关，那么其中每一个向量都可由其余向量线性表示. 这种说法对吗？为什么？

解 不对. 设α1=(1,0) , α2=(2,0) , α3=(0,1) , 则α1, α2, α3线性相关, 但α3不能由α1,

α2线性表示.

9. 设α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 2, 0), α3＝(1, 2, 3)是F 3中的向量，写出α1, α2, α3的一切线性组合. 并证明F 3中的每个向量都可由{α1, α2, α3}线性表示.

解 k 1α1+k 2α2+k 3α3 k 1, k 2 , k 3∈F .

设k 1α1+k 2α2+k 3α3=0,则有⎪⎩

⎪

⎨⎧==+=++030220332321k k k k k k , 解得 k 1= k 2 =k 3=0.

故α1, α2, α3线性无关.

对任意(a,b,c)∈F 3, (a,b,c)=3213

)32(

))3

22((αααc c b c b

a +

-+-

-,所以F 3

中的每个向量都可

由{α1, α2, α3}线性表示.

10. 下列向量组是否线性相关

(1) α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)； (2) α1＝(3, 1, 4), α2＝(2, 5, -1), α3＝(4, -3, 7). 解 (1) 线性无关; (2) 线性无关.

11. 证明，设向量α1, α2, α3线性相关，向量α2, α3, α4线性无关，问： (1) α1能否由α2, α3线性表示？说明理由； (2) α4能否由α1, α2, α3线性表示？说明理由.

解 (1)因为α2, α3线性无关而α1, α2, α3线性相关,所以α1能由α2, α3线性表示; (2)反设α4能由α1, α2, α3线性表示,但α1能由α2, α3线性表示,故α4能由α2, α3线性表示,这与α2, α3, α4线性无关矛盾,所以α4不能由α1, α2, α3线性表示.

12. 设α1＝ (0, 1, 2), α2＝ (3, －1, 0), α3＝(2, 1, 0)，

β1＝ (1, 0, 0), β2＝ (1, 2, 0), β3＝(1, 2, 3)

是F 3中的向量. 证明，向量组{α1, α2, α3}与{β1, β2, β3}等价.

证明 (β1, β2, β3)=(321,,εεε)A

(α1, α2, α3)= (321,,εεε)B

其中A=⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛30

0220

111

, B=⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-00

2111

230.易验证A , B 均可逆, 这样 (β1, β2, β3) = (α1, α2, α3 )(B -1A )