人教版八年级上册几何证明练习题
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八年级数学（上）几何证明练习题
1、已知：在⊿ABC中，∠A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于 Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。
A
Q
R
C
B
P
D
2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC 于F，求证：∠ADB=∠FDC。
练20 （7分题） ：已知△ABC和△EDC均为等腰直角三角形，求证（1）AE=BD。（2） AE⊥BD。
学法指津
• 角平分线加平行线构建等腰三角形。
• 学习本课内容，要综合运用“等腰 三角形三线合一”、“等边对等 角”、“等角对等边”及“等边三 角形三条边相等、三个内角相等且 三个内角都是60°”等定理，才能 做出复杂图形题目。
例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC。 （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。 （2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。 （3）求证：AD＝AB+CD
练2（6分题） ：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD
例3（6分题） ：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD ＝AB+CD
练4（6分题） ：如图，已知在△ABC中，AB=CD，∠BDA=∠BAD，AE为△ABD的BD边 上的中线，求证：AC=2AE
练2 （6分题） ：如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于F，BE平分∠ABC，E为AD的中 点，问：AB、BC和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运 用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等——简 写成“等角对等边”）。
百度文库
学法指津
• 全等三角形的复杂图形解题思路与基本图 形的解题思路一致。解答复杂图形，要把 复杂图形分解成基本图形进行解答，就会 觉得非常简单了。
• 图形越复杂，条件越多，做起来越简单， 因为不用做辅助线；图形越简单，条件越 少，做起来越难，往往要通过画辅助线来 创造条件解决。
• 解决复杂图形题目时，一般把已知条件在 图中描出来或标出来，这样有利于整理条 件。
A
DP
E
B 图⑴ C
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形 状，并证明你的结论。
C N
O
AM
B
6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE
练12 （6分题） ：如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，DE垂直平分AB， 求△BEC的周长。
例13 （6分题） ：如图，已知△ABC，请你用尺规作图画出△ABC关于直线l的对称图形。
练14（6分题） ：如图，已知△ABC，请你用尺规作图画出△ABC关于直线l 的对称图形。
例15（7分题）：已知，△ABC和△ECD均为等边三角形，且B、C、D三点在同一条直线 上，求证：（1）BE=AD（2）FG∥BD
∠B=45°，∴∠NAO=45°， ∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO 中， AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ， ∴△NAO≌ △MBO， ∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，即 ∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．
练16 （7分题） ：已知△ABC和△ECD均为等边三角形，求证：AD=BE
练17 （7分题） ：如图，已知△ABC和△ECD均为等边三角形，求证：BE=AD
练18 （7分题） ：如图，已知四边形ABCD和ECFG均为正方形，求证：（1）DF=BE（2） DF⊥BE
练19 （7分题） ：如图，已知△ADC和△BDE均为等腰直角三角形，求证：（1）BC=AE （2）BC⊥AE
∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90° ∠CAF=∠ABE∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45° CD=AD∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°
7. ∵DE⊥BC∴∠DEB=90∵BD平分∠ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 ∠A=∠DEB BD=BD ∠ABD=∠DBE ∴直角三角形ABD全等直角三角形DBE ∴BE=AB AD=DE ∵AB=AC
∴BE+CE=AC+CE △DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10
例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，且 ∠AOB=∠COD。 （1）求证：CA=BD （2）若将△OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、C、D在同一条直线上时，问（1）
。 中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由
练4 （9分压轴题） ：如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对 称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图②，在△ABC中， ∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你 写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其 它条件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。
小结
证明两条线段相等或角相等，如 果这两条线段或角在两个三角形内， 就证明这两个三角形全等；如果这两 条线段或角在同一个三角形内，就证 明这个三角形是等腰三角形；如果看 图时两条线段既不在同一个三角形内， 也不在两个全等三角形内，那么就利 用辅助线进行等量代换。
4.∵BP CD分别平分角∠ABC和∠ACB∴∠DBP=∠PBC∠ECP=∠PCB∵DE∥BC∴∠DPB=∠PBC∠EPC=∠ PCB ∴DP=DP EP=EC ∴DE-DP=DE-DB=EP=EC∴DE-DB=EC
5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等； （2）△OMN是等腰直角三角形。证明：连接OA，如图，∵AC=AB，∠BAC=90°， ∴OA=OB，OA平分∠BAC，
请给出证明；若不成立，请说明理由。
①
②
③
例7（6分题） ：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气。（1）泵站C 修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（2）请你在（1） 的基础上，过A点作AD⊥l，并连接DB，求证：AD+DB＞AC+CB。
练8 （6分题） ：如图，已知牧马营地M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上 吃草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）
6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF ∵AE=BD ∴AE=CF ∵△ABC为正三角形 ∴BE=BF ∠B=60° ∴△EBF为 =等边三角形 ∴角F=60° EF=EB 在△EBC和△EFD中 EB=EF（已证） ∠B=∠F（已证） BC=DF（已作） ∴△EBC≌△EFD（SAS） ∴EC=ED
①
②
③
练5（9分题）：已知，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB与E，DF⊥AC与F。 （1）求证：AD⊥EF （2）如图②、③，当有一动点G在AD所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时 EF⊥AD的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
①
②
③
练6（9分压轴题）：如图①，一个等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两 条边分别重合在一起。现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点（点O也 是BD的中点）顺时针方向旋转。（1）如图②，当EF与AB相交于点O，GF与BD相交于点 N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想。 （2）将三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点 M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时（1）中的猜想还成立吗？若成立，
A
D E
B
F
C
A
D E
B
F
C
3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB， 求证：MA⊥NA。
N
A
E D
M
B
C
4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB 于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．
7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
几何证明习题答案
1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,又由平行关系得,四边形RPQA为 矩形,所以AQ=RP,△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以 ∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△。 2. 作AG平分∠BAC交BD于G∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45°∵∠BAC=90° AC=AB
练9 （6分题） ：如图，E、F为△ABC的边AB、AC上的两个定点，在BC上求作一点D， 使△DEF的周长最短。
例10（6分题） ：如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若△ABC的周长为 10，BC=4，求△ACE的周长。
练11（6分题） ：如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，AC=5，△ABD的周长为13， 求△ABC的周长。
1、已知：在⊿ABC中，∠A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于 Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。
A
Q
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B
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2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC 于F，求证：∠ADB=∠FDC。
练20 （7分题） ：已知△ABC和△EDC均为等腰直角三角形，求证（1）AE=BD。（2） AE⊥BD。
学法指津
• 角平分线加平行线构建等腰三角形。
• 学习本课内容，要综合运用“等腰 三角形三线合一”、“等边对等 角”、“等角对等边”及“等边三 角形三条边相等、三个内角相等且 三个内角都是60°”等定理，才能 做出复杂图形题目。
例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC。 （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。 （2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。 （3）求证：AD＝AB+CD
练2（6分题） ：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD
例3（6分题） ：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD ＝AB+CD
练4（6分题） ：如图，已知在△ABC中，AB=CD，∠BDA=∠BAD，AE为△ABD的BD边 上的中线，求证：AC=2AE
练2 （6分题） ：如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于F，BE平分∠ABC，E为AD的中 点，问：AB、BC和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运 用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等——简 写成“等角对等边”）。
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学法指津
• 全等三角形的复杂图形解题思路与基本图 形的解题思路一致。解答复杂图形，要把 复杂图形分解成基本图形进行解答，就会 觉得非常简单了。
• 图形越复杂，条件越多，做起来越简单， 因为不用做辅助线；图形越简单，条件越 少，做起来越难，往往要通过画辅助线来 创造条件解决。
• 解决复杂图形题目时，一般把已知条件在 图中描出来或标出来，这样有利于整理条 件。
A
DP
E
B 图⑴ C
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形 状，并证明你的结论。
C N
O
AM
B
6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE
练12 （6分题） ：如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，DE垂直平分AB， 求△BEC的周长。
例13 （6分题） ：如图，已知△ABC，请你用尺规作图画出△ABC关于直线l的对称图形。
练14（6分题） ：如图，已知△ABC，请你用尺规作图画出△ABC关于直线l 的对称图形。
例15（7分题）：已知，△ABC和△ECD均为等边三角形，且B、C、D三点在同一条直线 上，求证：（1）BE=AD（2）FG∥BD
∠B=45°，∴∠NAO=45°， ∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO 中， AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ， ∴△NAO≌ △MBO， ∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，即 ∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．
练16 （7分题） ：已知△ABC和△ECD均为等边三角形，求证：AD=BE
练17 （7分题） ：如图，已知△ABC和△ECD均为等边三角形，求证：BE=AD
练18 （7分题） ：如图，已知四边形ABCD和ECFG均为正方形，求证：（1）DF=BE（2） DF⊥BE
练19 （7分题） ：如图，已知△ADC和△BDE均为等腰直角三角形，求证：（1）BC=AE （2）BC⊥AE
∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90° ∠CAF=∠ABE∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45° CD=AD∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°
7. ∵DE⊥BC∴∠DEB=90∵BD平分∠ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 ∠A=∠DEB BD=BD ∠ABD=∠DBE ∴直角三角形ABD全等直角三角形DBE ∴BE=AB AD=DE ∵AB=AC
∴BE+CE=AC+CE △DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10
例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，且 ∠AOB=∠COD。 （1）求证：CA=BD （2）若将△OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、C、D在同一条直线上时，问（1）
。 中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由
练4 （9分压轴题） ：如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对 称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图②，在△ABC中， ∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你 写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其 它条件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。
小结
证明两条线段相等或角相等，如 果这两条线段或角在两个三角形内， 就证明这两个三角形全等；如果这两 条线段或角在同一个三角形内，就证 明这个三角形是等腰三角形；如果看 图时两条线段既不在同一个三角形内， 也不在两个全等三角形内，那么就利 用辅助线进行等量代换。
4.∵BP CD分别平分角∠ABC和∠ACB∴∠DBP=∠PBC∠ECP=∠PCB∵DE∥BC∴∠DPB=∠PBC∠EPC=∠ PCB ∴DP=DP EP=EC ∴DE-DP=DE-DB=EP=EC∴DE-DB=EC
5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等； （2）△OMN是等腰直角三角形。证明：连接OA，如图，∵AC=AB，∠BAC=90°， ∴OA=OB，OA平分∠BAC，
请给出证明；若不成立，请说明理由。
①
②
③
例7（6分题） ：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气。（1）泵站C 修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（2）请你在（1） 的基础上，过A点作AD⊥l，并连接DB，求证：AD+DB＞AC+CB。
练8 （6分题） ：如图，已知牧马营地M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上 吃草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）
6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF ∵AE=BD ∴AE=CF ∵△ABC为正三角形 ∴BE=BF ∠B=60° ∴△EBF为 =等边三角形 ∴角F=60° EF=EB 在△EBC和△EFD中 EB=EF（已证） ∠B=∠F（已证） BC=DF（已作） ∴△EBC≌△EFD（SAS） ∴EC=ED
①
②
③
练5（9分题）：已知，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB与E，DF⊥AC与F。 （1）求证：AD⊥EF （2）如图②、③，当有一动点G在AD所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时 EF⊥AD的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
①
②
③
练6（9分压轴题）：如图①，一个等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两 条边分别重合在一起。现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点（点O也 是BD的中点）顺时针方向旋转。（1）如图②，当EF与AB相交于点O，GF与BD相交于点 N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想。 （2）将三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点 M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时（1）中的猜想还成立吗？若成立，
A
D E
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3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB， 求证：MA⊥NA。
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4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB 于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．
7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
几何证明习题答案
1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,又由平行关系得,四边形RPQA为 矩形,所以AQ=RP,△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以 ∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△。 2. 作AG平分∠BAC交BD于G∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45°∵∠BAC=90° AC=AB
练9 （6分题） ：如图，E、F为△ABC的边AB、AC上的两个定点，在BC上求作一点D， 使△DEF的周长最短。
例10（6分题） ：如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若△ABC的周长为 10，BC=4，求△ACE的周长。
练11（6分题） ：如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，AC=5，△ABD的周长为13， 求△ABC的周长。