高考数学 黄金100题系列 第18题 几类特殊函数(对勾函数、绝对值函数等)文

第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）

I ．理论基础·解题原理 （I ）对勾函数 一、对勾函数的定义

形如)0,0(>>+

=b a x

b

ax y 的函数，叫做对勾函数． 二、对勾函数)0,0()(>>+=b a x

b

ax x f 的图象与性质

1.定义域 0}{≠∈x R x

2.值域

当0>x 时，ab x

b ax x b ax 22=?≥+

（当且仅当x b ax =，即a b

x =

时取等号）． 当0

b

x -=时取等号）． 函数)0,0()(>>+=b a x

b

ax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ?--∞）

∞+． 3.奇偶性

由于双勾函数定义域关于原点对称，)()(x

b

ax x b ax x f +-=--=-)(x f -=，则对勾函数为奇函数． 4.单调性 由于2)(x b a x f -

='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或a b

x >

，令0)(>'x f ，解得0<<-x a

b 或a b x <

<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(a

b -上为减函数，在),0(a b 上为减函数，

在),(

+∞a

b

上为增函数． 5.渐近线

当0>x 时，0>+

x b ax ，当0

b

ax ，说明函数的的图象在第一、第三象限． 当0>x 时，x

b

x b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0

ax x

b

ax x f <+

=)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方． 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线． 特别1,1==b a 时，x

x x f 1

)(+

=，函数图象如下图所示：

（II ）绝对值函数

一、绝对值函数的定义：形如b ax y +=的函数，叫做绝对值函数．

含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如

()f x 的函数,研究此类函数往往结合()f x 图像,可以看成由()f x 的图像在x 轴上方部分不变,下方

部分关于x 轴对称得到；2．形如()f

x 的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究0x ≥的情况,0

x <的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如1y x x a =-+,2y x x a =+-等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究． 二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质 1.定义域：R ； 2.值域：),0[+∞；

3.单调性：函数)(x f 在）（a b

-∞-,上为减函数，在),(+∞-a

b

上为增函数． 特别0,1==b a 时，x x f =)(，图象如下图所示

（III ）取整函数 取整函数的定义

若x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数][)(x x f =叫做取整函数．举例如下：

,0]8.0[,0]35.0[,1]2.1[,2]8.2[=-===1]9.1[-=-等．

IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】

这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等． 【技能方法】

解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题． 【易错指导】

注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题． V ．举一反三·触类旁通 考向1 对勾函数

【例1】【2018河北唐山模拟】已知1

()1f x x x

=+-，()2f a =，则()f a -=（ ） A ．4- B ．2- C ．1- D ．3- 【答案】A

【解析】∵1()1f x x x =+

-，∴x

x x f 1

1)(+=+，令1)()(+=x f x F ，则)(x F 为奇函数，则)()(x F x F -=-，所以1)(1)(--=+-x f x f ，有4222)()(-=--=--=-a f a f ，故选A ．

考点：函数值、函数的奇偶性．

【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数3

2

()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51(,

]8-∞ B ．(,3]-∞ C ．51

[,)8

+∞ D ．[3,)+∞ 【答案】

C

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性． 【例3】【2017山西四校联考】若函数)()(R b x

b

x x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是

A ．(]1,-∞-

B ． ()0,1-

C ．()1,0

D ．()+∞,2 【解析】01)(2

=-

='x

b x f ，b x =2

，显然0>b ，函数)()(R b x b x x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，41<

b x x b x f ≥≥-=-='22

22,01)(，故选D ． 【名师点睛】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等． 2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件．

3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧．

【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数()1

2,1,2{ 1

2,1,2

x x x x x f x x -

>=-≤函数()()g x f x m =-，则下列说法错误的是（ ） A ．若32m ≤-

，则函数()g x 无零点 B ．若3

2

m >-，则函数()g x 有零点

C ．若3322m -

<≤，则函数()g x 有一个零点 D ．若3

2

m >，则函数()g x 有两个零点 【答案】A

【解析】作出函数()f x 的图象如图所示：

观察可知：当3

2

m =-时，函数()g x 有一个零点，故A 错误．故选A ． 【跟踪练习】 1．若函数()4

f x x x

=+

，则下列结论正确的是（ ） ()()()()4

(0,2),(2,)4

(0,2),(2.)...,A f x B f x C f x D f x +∞+∞的最小值为在上单调递减在上单调递增的最大值为在函数函数函数函上单调递增在数上单调递减

2．关于函数()21

lg ||

f x x x +=有下列命题：

（1）其图象关于y 轴对称；

（2）函数f (x )在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减； （3）函数f (x )的最小值为lg 2；

（4）函数f (x )在(1,0),(2,)-+∞上单调递增； （5）函数f (x )无最大值，也无最小值 其中所有正确结论的序号是（ ）

【解析】注意函数的定义域为0x ≠．

如图：

所以在(0,)+∞上，g (x )在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．所以由复合函数单调性可知，f (x ) 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．由函数对称性，f (x ) 在(1,0)-上递增，在(,1)-∞-上递减，所以（2）不正确，（4）正确．又因为，函数g (x )的最小值为2，所以f (x )的最小值为lg2，所以（3）正确，（5）不正确． 3．函数224

log ([2,4])log y x x x

=+∈的最大值为______ 【答案】

5

4．求函数3

()f x x x

=+在下列条件下的值域： (1)()(,0)0,x ∈-∞+∞；

(2)(2,3]x ∈

【解析】（1）当x>0

时，由均值不等式，有3x x +

≥=

当3

x x

=

时，即x = 当x<0时，有

33

[()]x x x x

+=--+≤--

所以函数的值域为：()-∞-?∞，

5．已知函数()a

f x x x

=+

其中常数a>0． (1)证明:函数f(x)

在上是减函数,

在)+∞ 上是增函数； (2)利用(1)的结论,求函数20

y x x

=+

(x ∈[4,6])的值域； (3)借助(1)的结论,试指出函数27()1x

g x x x

-=

++ 的单调区间,不必证明． 【解析】（1）21

1

1x y x x x =

=

++．15121

(1,2](2,][,)1252x x x x x

∈∴+∈∴∈+，所以值域为：2[,2)5

（2）解：23223x x y x x x ++=

=++

．2

(1,2]x x x

∈∴+∈

，所以值域为：[3+． （3）55(1)111

y x x x x =+

=-++--

，所以值域为：1,)+∞． 考向2 绝对值函数

【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于x 的方程1

2

a x x =+有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 （ ）

A ．(),0-∞

B ．()0,1

C ．()1,+∞

D ．()0,+∞ 【答案】C

【解析】当0a =时，方程无解；当0a <时，2x <-，方程

21211

,210,0,02ax ax ax x x x a =-++=?>=<+，即至多一解；当0a >时，2x >-，当0x ≥时方程21211

,210,0,02ax ax ax x x x a =+-=?>=-<+，即必有一解；当20x -<<时方程21211

,210,0,012ax ax ax x x a x a

=-++=?>=>?>+，因此1a >有三个不同的实数解，选C ． 【例6】已知函数21,0

()log ,0

x x f x x x ?+≤?=?

>??,若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且

1234x x x x <<<,则3122

34

1

()x x x x x ++

的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1- 【答案】

B

【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数()2,1

{

2

,1x x f x x x x

+<=+≥，设a R ∈，若关于x 的不等式()2

x

f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】[]

2,2-

【例8】【2015高考湖北卷】a 为实数,函数2

()||f x x ax =-在区间[01]，

上的最大值记为()g a ． 当a = 时,()g a 的值最小．

【答案】3-

【解析】()()2f x x ax x x a =-=-．①当0a <时,函数()f x 的图像如图所示．函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,()()()max 11f x g a f a ===-．

②当0a =时,2

()f x x =,()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-．

③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示．

【例9】函数x x g 2log )(= )2

1(>

x ,关于x 的方程2

()()230g x m g x m +++=恰有三个不同实数解,