高考数学黄金100题系列第12题函数的周期性与对称性理

第12题 函数的周期性与对称性

I ．题源探究·黄金母题

【例1】容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是? 你能用已学过的正弦函数性质解释

上述现象吗? 对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题． 【解析】由周期函数的性质知，T=2π 所以对称中心为

(,0)()k k z π∈，正弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性

质知 其对称轴方程纬()2

x k k Z π

π=

+∈．

对于余弦函数同样有类似的性质，因为cos A=sin(A+

2

π

) 所以对称中心为(,0)()2k k Z π

π+∈，

余弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性质知 X=K π(K 为整数) ．正切函数同样有类似的性质，对称中心为(k π/2，0)(K 为整数)但不是轴对称图形，而是中心

对称图形．

精彩解读

【试题来源】人教版A 版必修四第46页A 组第11题

【母题评析】本题以正弦函数是奇函数

为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对

称性，此题的结论也是高考常考的知识点．

【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．

【例2】已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期；

（2）画出函数y ＝f(x ＋1)的图象； （3）你能写出函数y ＝f(x)的解析式吗？

考点：函数的图象，函数解析式的求解及常用方法 【解析】（1）从图象得知，x 从0变化到1，函数经历

1

2

个周期，即12

T

=，故函数的周期T=2； （2）函数y=f （x+1）的图象可由函数y=f （x ）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f （x ）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以y=f （x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），

【试题来源】人教版A 版必修四第47页B 组第3题

【母题评析】本题以y ＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）

问题，此类问题是高考常考的题型之一．

【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”．

再根据函数为周期函数画出图象： （3）当-1≤x ＜0时，f （x ）=-x ， 当0≤x ＜1时，f （x ）=x ；

当2n-1≤x ＜2n 时，f （x ）=f （x-2n ）=-（x-2n ）=2n-x ， 当2n ≤x ＜2n+1时，f （x ）=f （x-2n ）=x-2n ，

∴2,212()2,221n x n x n f x x n n x n --≤<⎧=⎨

-≤<+⎩

（n 为整数） 点评：本题主要考查函数的图象的变换，及求函数的解析式，属于基础题．

II ．考场精彩·真题回放

【例1】【2017高考新课标I 卷】已知函数

()ln ln(2)f x x x =+-，则 （ ）

A ．()f x 在（0，2）单调递增

B ．()f x 在（0，2）单调递减

C ．y =()f x 的图像关于直线x=1对称

D ．y =()

f x 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C

【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以

()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又

112(1)

'()2(2)x f x x x x x -=-=--（02x <<），在(0,1)上单调递

增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．

【例2】【2017高考山东卷】已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2)．若当[3,0]x ∈- 时，()6x

f x -=，则f(919)= ． 【答案】6

【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高

考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、

填空题形式出现，函数的周期性、对称

性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练． 【难点中心】对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结合的能力．这就要求学生对函数

【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，()f x 是周期函数，且6T =，所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+= (1)6f =-=． 【例3】【2017江苏高考14】设()f x 是定义在R 且周期为1的

函数，在区间[0,1)上，2

,,

(),,

x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合

1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭

N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是

▲ ．

【答案】8

【解析】解法一：由于()[)[)0,1,lg 0,1,f x x ∈∴∈则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈时，设

*,,,2q

x p q p p

=

∈≥N ，且,p q 互质．若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2n

x m n m m

=

∈≥N ，且,m n 互质．因此10

n m

q p =

，则10()n

m q p

= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉．因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，

只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处()11

lg 1ln10ln10

x x '=

=<，

则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．

解法二：D 是有理数集，∴自变量x D ∈，所对应的函数值都

的奇偶性、周期性、单调性三者之间的关系了如指掌，并能灵活运用． 分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解

决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函

数结合点处函数值．