用向量讨论垂直与平行课件
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则 A 1 ,0 ,1 ), BC 1 ,0 ,1 ) X 1D( 1 ( AD // B C . 即 直 线 AD // B C ， 1 1 1 1
平 面 AB //平 面 C BD . 1 D 1 1
D
Z
D
C
B
1
C
B
1
1
A
Y
1
则 AD //平 面 C BD . 同 理 右 证 ： AB 面 C BD . 1 1 1 1 //平 1 1
二、新课
（一）用向量处理平行问题
（二）用向量处理垂直问题
（一）用向量处理平行问题
例 1: 如 图 已 知 四 边 形 ABCD 、 ABEF为 两 个 正 方 形 , M N分 别 在 其 对 角 线 BF上 ,
F M B N A D
E
且 FM AN.求 证 ： M N // 平 面 EBC 证 明 : 在 正 方 形 A B C D 与 A B E F 中 ,
设直线l，m的方向向量分别为 ， ， a b 的法向量分别为 u 平面 ， ， v
（2）垂直关系
线线垂直 l m a b a b 0 线面垂直 l a // u a u 面面垂直 u v u v 0
例 2 . 在 正 方 形 A B C D A B C D 中 , 1 1 1 1 求 证 : 平 面 A B D / / 平 面 C B D 1 1 1
证 明 :如 图 分 别 以 D A 、 D C 、 D D 1 1 1 1 1 三 边 所 在 的 直 线 为 x ,y ,z 轴 建 立 空 间 A 直 角 坐 标 系 . 设 正 方 体 的 棱 长 为 1 , 则 A 1 ,0 ,0 ), B 1 ,1 ,0 ), 1( 1( C (0 ,0 ,1 ), D (0 ,0 ,1 )
（二）用向量处理垂直问题 例3 :
在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
证 明 : 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 设 正 方 体 的 棱 长 为 2 .
X
Z
E
F
Y
取 D AD , C ,D D '分 别 为轴 x , y 轴 , z轴
例 2 . 在 正 方 形 A B C D A B C D 中 , Z 1 1 1 1 求 证 : 平 面 A B D / / 平 面 C B D 1 1 1
A D B
C
C
1
D1 评注： Y 由于三种平行关系可以相互转化，X A 1 B1 所以本题可用逻辑推理来证明。 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化， 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系， 方能减少运算量。本题选用了坐标法。
C
B E A B ,F M A N ,F B A C ,
存 在 实 数 , 使 F M F B , A N A C . M N M F F A A N B F E B A C
( B E B A A B A D ) E B ( B E A D ) E B ( B E B C ) B E ( 1 ) B E B C .
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形 问题）
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为 ，b ， a 的法向量分别为 u 平面 ， ， v
（1）平行关系
线线平行 l//m a // b a b 线面平行 l// a u a u 0 面面平行 // u // v u v
例3 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
评注： 本题若用一般法证明， 容易证A’F垂直于BD， 而证A’F垂直于DE， 或证A’F垂直于EF则较难， 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
E Z
A ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 2 , 0 ) , A '( 2 , 0 , 2 ) , E ( 0 , 2 , 1 ) , F ( 1 , 1 , 0 )
例3 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
E
例 1: 如 图 已 知 四 边 形 ABCD 、 ABEF为 两 个 正 方 形 , M N分 别 在 其 对 角 线 BF上 , 且 FM AN.求 证 ： M N // 平 面 EBC A M N 、 B E 、 B C 共 面 .
F M
B
N D
CLeabharlann Baidu
M 平 面 E B C , M N / / 平 面 E B C 评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。
AF ' ( 1 ,1 , 2 ) , D B(2 ,2 ,0 ) ,D E(0 ,2 ,1 ) AF ' D B( 1 ,1 , 2 )(2 ,2 ,0 )0 , AF ' D E( 1 ,1 , 2 )(0 ,2 ,1 )0
X
Z
E
F
Y
AF ' D BAF , ' D E ,又 D B D ED . AF ' 平 面 B D E
第二章 空间向量与立体几何
2.4 用向量讨论垂直与平行
一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问 题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系 以及它们之间距离和夹角等问题；
平 面 AB //平 面 C BD . 1 D 1 1
D
Z
D
C
B
1
C
B
1
1
A
Y
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则 AD //平 面 C BD . 同 理 右 证 ： AB 面 C BD . 1 1 1 1 //平 1 1
二、新课
（一）用向量处理平行问题
（二）用向量处理垂直问题
（一）用向量处理平行问题
例 1: 如 图 已 知 四 边 形 ABCD 、 ABEF为 两 个 正 方 形 , M N分 别 在 其 对 角 线 BF上 ,
F M B N A D
E
且 FM AN.求 证 ： M N // 平 面 EBC 证 明 : 在 正 方 形 A B C D 与 A B E F 中 ,
设直线l，m的方向向量分别为 ， ， a b 的法向量分别为 u 平面 ， ， v
（2）垂直关系
线线垂直 l m a b a b 0 线面垂直 l a // u a u 面面垂直 u v u v 0
例 2 . 在 正 方 形 A B C D A B C D 中 , 1 1 1 1 求 证 : 平 面 A B D / / 平 面 C B D 1 1 1
证 明 :如 图 分 别 以 D A 、 D C 、 D D 1 1 1 1 1 三 边 所 在 的 直 线 为 x ,y ,z 轴 建 立 空 间 A 直 角 坐 标 系 . 设 正 方 体 的 棱 长 为 1 , 则 A 1 ,0 ,0 ), B 1 ,1 ,0 ), 1( 1( C (0 ,0 ,1 ), D (0 ,0 ,1 )
（二）用向量处理垂直问题 例3 :
在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
证 明 : 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 设 正 方 体 的 棱 长 为 2 .
X
Z
E
F
Y
取 D AD , C ,D D '分 别 为轴 x , y 轴 , z轴
例 2 . 在 正 方 形 A B C D A B C D 中 , Z 1 1 1 1 求 证 : 平 面 A B D / / 平 面 C B D 1 1 1
A D B
C
C
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D1 评注： Y 由于三种平行关系可以相互转化，X A 1 B1 所以本题可用逻辑推理来证明。 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化， 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系， 方能减少运算量。本题选用了坐标法。
C
B E A B ,F M A N ,F B A C ,
存 在 实 数 , 使 F M F B , A N A C . M N M F F A A N B F E B A C
( B E B A A B A D ) E B ( B E A D ) E B ( B E B C ) B E ( 1 ) B E B C .
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形 问题）
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为 ，b ， a 的法向量分别为 u 平面 ， ， v
（1）平行关系
线线平行 l//m a // b a b 线面平行 l// a u a u 0 面面平行 // u // v u v
例3 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
评注： 本题若用一般法证明， 容易证A’F垂直于BD， 而证A’F垂直于DE， 或证A’F垂直于EF则较难， 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
E Z
A ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 2 , 0 ) , A '( 2 , 0 , 2 ) , E ( 0 , 2 , 1 ) , F ( 1 , 1 , 0 )
例3 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
E
例 1: 如 图 已 知 四 边 形 ABCD 、 ABEF为 两 个 正 方 形 , M N分 别 在 其 对 角 线 BF上 , 且 FM AN.求 证 ： M N // 平 面 EBC A M N 、 B E 、 B C 共 面 .
F M
B
N D
CLeabharlann Baidu
M 平 面 E B C , M N / / 平 面 E B C 评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。
AF ' ( 1 ,1 , 2 ) , D B(2 ,2 ,0 ) ,D E(0 ,2 ,1 ) AF ' D B( 1 ,1 , 2 )(2 ,2 ,0 )0 , AF ' D E( 1 ,1 , 2 )(0 ,2 ,1 )0
X
Z
E
F
Y
AF ' D BAF , ' D E ,又 D B D ED . AF ' 平 面 B D E
第二章 空间向量与立体几何
2.4 用向量讨论垂直与平行
一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问 题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系 以及它们之间距离和夹角等问题；