向量组与矩阵ppt课件

和
为两向量组，其中
即
是对
各分量的顺序进行重排后得到的向量组，
则这两个向量组有相同的线性相关性。
定理 3 在r维向量组1,2 ,L s 的各向量添上n-r个分量变成n维
向量组1, 2 ,L s 。
(1)如果
线性相关， 那么1,2 ,L s 也线性相关。
(2)如果1,2 ,L s 线性无关，那么
也线性无关。
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第三章 第二讲
1 向量组与矩阵 2 极大线性无关组与向量组的秩 3 向量组的秩与矩阵秩的关系
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一、向量组与矩阵
由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
定理 1 若列向量组 1,2 ,L ,m 所构造的矩阵A，则 行向量组 1,2 ,L ,m 线性相关的充要条件是r( A) m. 线性无关的充要条件是 r(A) m.
推论 m n时, m个n维向量总是线性相关的.
例 1 讨论下列向量组的线性相关性
(1)1 (2,3),2 (3,1),3 (0, 2) (2)1 (1,3, 2, 2),2 (0, 2, 1,3),3 (2, 0,1,5)
1 2 1 0
1 2 1 0
4
5
2
2
0
1
2
0
A 1 1 5 2 初等行变换 0 0 0 1
0
3
6
1
:
0
0
0
0
2 2 2 0
0 0 0 0
可见r( A) 3,所以向量组的秩为3.
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对以上行阶梯形矩阵继续施行初等行变换化为行最简形得
解 （1）向量组是3个二维向量，故线性相关。
1
（2）由矩阵
A
3 2 2
0 2 1 3
2 0
初等行变换
1 5
1
0
0 0
0 2 0 0
2
6
0 0
所以r( A) 2 3,故向量组线性相关.
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定理 2 设p1,p2, …,pn为1，2，…，n的一个排列，
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例 5 求下面向量组的秩和一个极大无关组： 1 (2,1, 4,3),2 (1,1, 6, 6),3 (1, 2, 2,9),4 (1,1, 2, 7),5 (2, 4, 4,9). 解 把向量组按列排成矩阵A
由已知可得
记
则
反证法，假设
，则矩阵K 的列向量组线性相关，即有不全为0的数
使得
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即
与向量组A 线性无关矛盾，所以 推论 1 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 。 推论 2 等价的向量组必有相同的秩 。 推论 3 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组
量组的秩称为列秩。
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定理 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。
证Байду номын сангаас设矩阵A的行秩为r1, A的列秩为r2。
那么, A中有r1个行向量线性无关,从而A中有一个r1级子式D不为零,那么A中
子式D所在的r1个列向量也线性无关; 因而
1
m个n维的行向量所组成的向量组1,2 ,
,m
构成矩阵： A
2
M
n个m维的列向量所组成的向量组 1, 2 , , n 构成矩阵： B (1, 2 , , n )
m
反之每个矩阵A
(a
ij)
可以得到n个m维列向量
mn
1 2
i
n
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
i
am1 am2 amn
m
向量组 1, 2 m称为矩阵A的行向量组．
问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？
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例如研究列向量组1,2 ,L ,m 的线性相关性，只须考察方程
x11 x22 L xmm 0 是否有非零解。
1
t1 t2 t3
tr
t12
t
2 2
t
2 3
t
2 r
t1r1
t
r 2
1
t
r 3
1
,
则其行列式|B|为范德蒙行列式，
t
r r
1
由于ti 互不相等，所以|B|≠0，
所以 1, 2 , , r 线性无关，从而1,2 , ,r 线性无关。
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例 3 基本向量组1,2 ,L n 是Rn 的极大无关组。
解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由 它线性表示（即坐标表示）。
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定理 4 如果向量组
能由向量组
线
性表出，且向量组A线性无关，那么
。
证明 不妨设所给向量都是列向量，记矩阵
都是极大线性无关组。
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三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
a11 a21
a12 a22
设矩阵 A
ai1
ai2
am1 am 2
a1n a2n
ain
amn
则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得 到一个行向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向
二、极大线性无关组与向量组的秩
定义1 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个 部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任 意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。
极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩 。
易知有如下结论： （1）一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。 （2）向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。
am1 am2 amj amn
向量组 1, 2,L , n 称为矩阵A的列向量组.
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类似地,矩阵A
(aij
)
又有m个n维行向量
mn
a11 a12 a1n
1
a21 a22 a2n
2
A
ai1 ai2 ain
1 0 3 0
0
1
2
0
0 0 0 1
0
0
0
0
0 0 0 0
由上面的定理6,可得1,2 ,4是一个极大线性无关组,
且3 31 22.
注意： 求向量组的秩和极大线性无关组时，若所给向量是行向 量，也要先按列排成矩阵，再作初等行变换。若没有要求交 其余向量用所求的极大线性无关组线性表示，则只要化为行 阶梯形就行了，而不必化为行最简形。
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例 4 求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极 大无关组的向量用该极大无关组线性表示：
T 1
(1, 4,1,0, 2)
T 2 (2,5, 1, 3, 2)
解 把向量组按列排成矩阵A
T3 (1, 2,5,6, 2) T 4 (0, 2, 2, 1,0)
a11x1 a21x2 L am1xm 0
把分量都写出来得
a12
x1
L
a22
x2 L
L
am2 xm L
0
a1n x1 a2n x2 L am1xm 0
利用矩阵乘法，方程变形为
x1
1,2 ,
,m
x2 xm
0
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
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。 同理可证
。
即有
。再由矩阵秩的定义，r1 r2 r( A)
证毕。
定理 6 如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B, 则A的列向量与B
中对应的列向量有相同的线性关系。
因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进 一步确定其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。
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四、小结
1.向量与矩阵的关系：互相确定
2.极大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性． 3. 向量组的秩的概念及与矩阵秩的关系
向量组的秩：极大无关组的向量的个数 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩 初等变换法求秩
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非 零行的行数就是矩阵的秩).
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
A
1
1
2
1
4
初等行变换
0
1
1
1
0
4 6 2 2 4
:
0 0 0 1 3
3
6
9
7
9
0
0
0
0
0
可见r( A) 3,所以向量组的秩为3.
且1
,
2
,
是它的一个极大线性无关组
4
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例2
设向量组 i
(1,
t
i
,
t
2 i
,
,
t
n1 i
),
1
i,
r
n,
且t i
互不相等，
证明 1,2 , ,r 线性无关。
证明： 考察向量组
i
(1,
t
i
,
t
2 i
,
,
t
r i
1
),
1
i
r.
设
B
1 2 r
1
1
1