连续介质力学-第2章-四川大学上课讲义

E是对称张量，因此E一定存在着三个实数主值（包括重根）
和三个相互垂直的主方向
M nn12((11))
n1( 2 )
n
(2) 2
n1(3) n2(3)
n3(1) n3(2) n3(3)
MT EM diag(1 , 2 , 3 ) 1, 2 , 3一点处所有方向中正应变的极值（包括
极大值、驻值和极小值）
A
qpq
4
1 2
2
4
a
a
1 2
(
)
1 2
u2 X1
u1 X 2
X1
ω
1 2
u3
X
2
u2 X 3
u1 u3 X 3 X1
T
u2 X 1
u1 X 2
ω dX
N
dX
P
E和Q在小形变和小转动情况下才是足够精确的量度
cos 1 0 0
E
0
cos 1 0
0
0 0
y
PB
A
C
x
A点
1.44
En n E n Eijninj nT En n1
n2
n3
E21
E22
E23
n2
E31 E32 E33 n3
1 2
nt
nEt
Eij ni t j
nT Et
n1
n2
E11
n3
E
21
E12 E22
E13 t1
E23
t
2
E31 E32 E33 t3
主应变和主方向 ：
Ω 1 (u u) 2
1 ΩMN 2 (uM , N uN ,M )
0
Ω
1 2
u2 X 1
u1 X 2
1 2
u3 X 1
u1 X 3
1 2
u1 X 2
u2 X 1
0
1 2
u X
3 2
u2 X 3
1 2
u1 X 3
u3 X 1
1 2
u2 X 3
u3 X 2
0
X2
B
P O
b b
Q
p
q q
工 程 应 变
E11 12 21 E22 31 32
13 23
E33
u1 X 1
u1
X 2 u1
u2
X 1 u3
u1 u2 X 2 X1
u2
X 2 u2 u3
u1 X 3
u3 X 1
u2 X 3
u
u3 X 2
3
X 3 X1 X 3 X 2
X 3
小旋转张量:
E
0
0 0.36
10
4
0 Ω 3.22
3.22
0
10
4
B点
E
0.36
0
0 0.09
104
0 Ω 8.62
8.62
0
10
4
C点
0 E 0.11
0.11
0
10
4
0 Ω 6.64
6.64
0
104
已知E
任意方向上的正应变和切应变
x2
x2
所求方向 x2
x1
x1
x2
所求方向
x1
x1
E11 E12 E13 n1
E的三个不变量：
IA trE 1 2 3
IIA
1 [(trE)2 2
trE2 ]
12
23
31
IIIA det E 123
小应变张量E的 第一不变量就是 微元体积的相对 增长比
dV dX1dX2dX3 (1 E11)dX1 (1 E22 )dX 2 (1 E33 )dX3
EMN
1 2
(uM
,
N
u N
,M
)
u1 X 1
E
1 2
u1 X 2
u2 X 1
来自百度文库
1 2
u1 X 3
u3 X 1
1 2
u1 X 2
u 2 X 1
u2
X 2
1 2
u 2 X 3
u3 X 2
1 2
u1 X 3
u3 X 1
1 2
u2 X 3
u3 X 2
u3
X 3
X2
B
b b
a
p
a
pa PA u1 PA X 1
空间描述 （Euler 描述）
X X(x,t)
ˆ(x, t)
x xˆ ( X ,t)
X X(x,t)
互逆
互为隐函数
x1 x1 x1
X 1 X 2 X 3 J (x1 , x2 , x3 ) x2 x2 x2 0
( X 1 , X 2 , X 3 ) X 1 X 2 X 3 x3 x3 x3
毛细血管的内径和红血球相当，血液就不能被当 作连续体。
2.1 构形
系统所有质点在给定时刻的位置的集合称为系 统在该时刻的构形
0
参考构形
运动
t＝0
即时构形
t＝T
运动的两种描述方法
X3 x3 0
P
u
X x
X 1 x1
p
x2 X2
物质坐标：X
空间坐标：x
物质描述 （Lagrange 描述）
x xˆ ( X ,t) ˆ( X ,t)
cos(e3，e1 )
cos(e1，e2 ) cos(e2，e2 ) cos(e3，e2 )
cos(e1，e3 ) cos(e2，e3 ) cos(e3，e3 )
刚体：两个质点
u
变形体：所有质点
X
u u x u I u u u u X x X x X x x x
当 ui 1 时，略去二阶小量， u u
X 1 X 2 X 3
连续体在变形过程中不会产生空隙或物质重叠的情况
位移：
u xX
u( X ,t) x( X ,t) X
u( x,t) x X ( x,t)
2.2 刚体运动
X 3 X3
X 2
o
o
X2
X1 X1
x X
X Q(t) X x0 (t)
cos(e1，e1 ) Q cos(e2，e1 )
《连续介质力学》
▪ 连续体假说 连续体：指在物体所占据的空间中，物质是无间 隙地连续地分布的
lim mn
V vn 0 n
特征尺寸
适用范围：只要研究对象的特征尺寸比物质微粒的 尺寸大上几个数量级，这一模型就是充分有效的。
水分子的直径是10-10m，在10-6m的范围内， 水就可以处理为连续体。
红血球的直径约8×10-6m，在直径为5×10-3m 的动脉血管中，血液就可以处理为连续体。
2E12
pb
pb
dX 2
u 2 X 2
dX 2
u1 X 1
E
1 2
u1 X 2
u2 X 1
1 2
u1 X 2
u 2 X 1
u2
X 2
1 2
u1 X 3
u3 X 1
1 2
u2 X 3
u3 X 2
小 应 变 张
1 2
u1 X 3
u3 X 1
1 2
u 2 X 3
u3 X 2
u3
量
X 3
pb PB u2 PB X 2
P O
A
tg
aa pa
u2 X 1
dX 1
1
u1 X 1
dX 1
u2 X 1
X1
tg
bb pb
u1 X 2
dX 2
1
u2 X 2
dX 2
u1 X 2
pa
pa cos
pa
1
1
2!
2
L
pa
pa
dX 1
u1 X 1
dX 1 ,
12
u2 X 1
u1 X 2
X M
X x
小变形假设
小变形与大变形（真实变形）的区别
2.3.1 小变形的分解
位移关于物质坐标的梯度
A
u( A) a
dX
u(P) dx
P
p
X
x
O
u( A) u(P) u dX u(P) (u) dX X P
u( A) u(P) (E Ω) dX
小应变张量:
E 1 (u u) 2