高二复习-推理与证明资料
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(1)综合法
从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步 的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合 法．也叫顺推证法或由因导果法．
(2)分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至 最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知 的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析 法．也叫逆推证法或执果索因法．
33 tan3θ
＝
ta3nθ＋ta3nθ＋ta3nθ＋ta3n33θ≥4，归纳得到推广结论：
tanθ＋tamnnθ≥n＋1(n∈N*)，则实数m＝________.
[答案] nn
[解析] 观察所给三个不等式的特点可以发现，分母中
tanθ的指数是k时，等式右端为k＋1，分子是kk，故tanθ＋
nn tannθ
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝
________.
[答案] 1000
[解析] 观察给出的k边形数的特点，找出其规律： N(n,3)＝12n2＋12n＝3－2 2n2＋4－2 3n； N(n,4)＝n2＝4－2 2n2＋4－4 4n； N(n,5)＝32n2－12n＝5－2 2n2＋4－2 5n； N(n,6)＝2n2－n＝6－2 2n2＋4－2 6n； …………
＝tannθ＋tannθ＋…＋tannθ＋tannnnθ≥n＋1，∴m＝nn.
(2014·广州市综合测试)将正偶数2、4、6、8、…按下表的方式进行排列， 记aij表示第i行第j列的数，若aij＝2014，则i＋j的值为( )
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行
…
第1列 16 32 …
第2列 2 14 18 30 34 …
4．间接证明
(1)反证法的定义
一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假 设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断¬q为假， 推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)反证法的特点
先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或 与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或 与公认的简单事实等矛盾．
由此猜想，N(n，k)＝k－2 2n2＋4－2 kn， 从而N(10,24)＝24－ 2 2×102＋4－224×10＝1000.
(理)(2014·哈三中一模)已知θ∈(0，
π 2
)，由不等式tanθ＋
1 tanθ
≥2，tanθ＋
22 tan2θ
＝
tanθ 2
＋
tanθ 2
＋
22 tan2θ
≥3，tanθ＋
5．数学归纳法(理)
(当一2)n在个＝假与k＋设自1当然时n数题＝相命k(关k题∈的也N命成＋，题立且，，k如那≥n果么0)(时可1)命当以题n断取成定第立，一的这值前个n0提命时下题命，对题推n成取出立第； 一个值后面的所有正整数成立．
归纳推理
(文)(2013·湖北理，14)古希腊毕达哥拉斯学派
的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n
个三角形数为
nn＋1 2
＝
1 2
n2＋
1 2
n，，记第n个k边形数为N(n，
k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝12n2＋12n，
正方形数
N(n,4)＝n2，
五边形数
N(n,5)＝32n2－12n，
则 PD2＋PC2·h＝PD·PC， 所以h12＝PPDD2＋2·PPCC22＝P1C2＋P1D2. 容易知道AB⊥平面PDC， 所以AB⊥PD， 在直角三角形APB中，AB·PD＝PA·PB， 所以 PA2＋PB2·PD＝PA·PB， P1D2＝PPAA2＋2·PPBB22＝P1A2＋P1B2，故h12＝P1A2＋P1B2＋P1C2.(也可 以由等体积法得到)．
第3列 4 12 20 28 36 …
第4列 6 10 22 26 38 …
第5列 8
24
40 …
A.257
B．256
C．254
D．253
[答案] C
[解析] 依题意，注意到题中的数表中，奇数行空置第1列，偶数行空置第 5列；且自左向右，奇数行的数字由小到大排列，偶数行的数字由大到小 排列；2014是数列{2n}的第1007项，且1007＝4×251＋3，因此2014位于 题中的数表的第252行第2列，于是有i＋j＝252＋2＝254，故选C.
[方法规律总结]
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根 据已知的部分个体，把它们适当变形，使其具有统一的表现形式，便于观 察发现其规律，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
类比推理
在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为
h1Hale Waihona Puke Baidu则
1 h21
＝
1 CA2
＋
1 CB2
(2)类比推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推 测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性 质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的 推理．
类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→ 猜测新的结论．
2．演绎推理
根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理 叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推 理．
(1)演绎推理的特点
当前提为真时，结论必然为真．
(2)演绎推理的一般模式——“三段论” ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3．直接证明
从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理， 直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析 法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常 用的思维方法．
推理与证明(复习课)
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
1.合情推理
(1)归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类 事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推 理，归纳是由特殊到一般的推理．
归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜 测一般性结论．
；类比此性质，如图，在四面体P－ABC
中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的
正确结论为________．
[答案] h12＝P1A2＋P1B2＋P1C2
[解析] 本题考查了合情推理的能力． 连接CO并延长交AB于点D，连接PD， 由已知可得PC⊥PD，在直角三角形PDC中，DC·h＝ PD·PC，
从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步 的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合 法．也叫顺推证法或由因导果法．
(2)分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至 最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知 的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析 法．也叫逆推证法或执果索因法．
33 tan3θ
＝
ta3nθ＋ta3nθ＋ta3nθ＋ta3n33θ≥4，归纳得到推广结论：
tanθ＋tamnnθ≥n＋1(n∈N*)，则实数m＝________.
[答案] nn
[解析] 观察所给三个不等式的特点可以发现，分母中
tanθ的指数是k时，等式右端为k＋1，分子是kk，故tanθ＋
nn tannθ
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝
________.
[答案] 1000
[解析] 观察给出的k边形数的特点，找出其规律： N(n,3)＝12n2＋12n＝3－2 2n2＋4－2 3n； N(n,4)＝n2＝4－2 2n2＋4－4 4n； N(n,5)＝32n2－12n＝5－2 2n2＋4－2 5n； N(n,6)＝2n2－n＝6－2 2n2＋4－2 6n； …………
＝tannθ＋tannθ＋…＋tannθ＋tannnnθ≥n＋1，∴m＝nn.
(2014·广州市综合测试)将正偶数2、4、6、8、…按下表的方式进行排列， 记aij表示第i行第j列的数，若aij＝2014，则i＋j的值为( )
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行
…
第1列 16 32 …
第2列 2 14 18 30 34 …
4．间接证明
(1)反证法的定义
一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假 设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断¬q为假， 推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)反证法的特点
先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或 与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或 与公认的简单事实等矛盾．
由此猜想，N(n，k)＝k－2 2n2＋4－2 kn， 从而N(10,24)＝24－ 2 2×102＋4－224×10＝1000.
(理)(2014·哈三中一模)已知θ∈(0，
π 2
)，由不等式tanθ＋
1 tanθ
≥2，tanθ＋
22 tan2θ
＝
tanθ 2
＋
tanθ 2
＋
22 tan2θ
≥3，tanθ＋
5．数学归纳法(理)
(当一2)n在个＝假与k＋设自1当然时n数题＝相命k(关k题∈的也N命成＋，题立且，，k如那≥n果么0)(时可1)命当以题n断取成定第立，一的这值前个n0提命时下题命，对题推n成取出立第； 一个值后面的所有正整数成立．
归纳推理
(文)(2013·湖北理，14)古希腊毕达哥拉斯学派
的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n
个三角形数为
nn＋1 2
＝
1 2
n2＋
1 2
n，，记第n个k边形数为N(n，
k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝12n2＋12n，
正方形数
N(n,4)＝n2，
五边形数
N(n,5)＝32n2－12n，
则 PD2＋PC2·h＝PD·PC， 所以h12＝PPDD2＋2·PPCC22＝P1C2＋P1D2. 容易知道AB⊥平面PDC， 所以AB⊥PD， 在直角三角形APB中，AB·PD＝PA·PB， 所以 PA2＋PB2·PD＝PA·PB， P1D2＝PPAA2＋2·PPBB22＝P1A2＋P1B2，故h12＝P1A2＋P1B2＋P1C2.(也可 以由等体积法得到)．
第3列 4 12 20 28 36 …
第4列 6 10 22 26 38 …
第5列 8
24
40 …
A.257
B．256
C．254
D．253
[答案] C
[解析] 依题意，注意到题中的数表中，奇数行空置第1列，偶数行空置第 5列；且自左向右，奇数行的数字由小到大排列，偶数行的数字由大到小 排列；2014是数列{2n}的第1007项，且1007＝4×251＋3，因此2014位于 题中的数表的第252行第2列，于是有i＋j＝252＋2＝254，故选C.
[方法规律总结]
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根 据已知的部分个体，把它们适当变形，使其具有统一的表现形式，便于观 察发现其规律，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
类比推理
在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为
h1Hale Waihona Puke Baidu则
1 h21
＝
1 CA2
＋
1 CB2
(2)类比推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推 测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性 质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的 推理．
类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→ 猜测新的结论．
2．演绎推理
根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理 叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推 理．
(1)演绎推理的特点
当前提为真时，结论必然为真．
(2)演绎推理的一般模式——“三段论” ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3．直接证明
从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理， 直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析 法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常 用的思维方法．
推理与证明(复习课)
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
1.合情推理
(1)归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类 事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推 理，归纳是由特殊到一般的推理．
归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜 测一般性结论．
；类比此性质，如图，在四面体P－ABC
中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的
正确结论为________．
[答案] h12＝P1A2＋P1B2＋P1C2
[解析] 本题考查了合情推理的能力． 连接CO并延长交AB于点D，连接PD， 由已知可得PC⊥PD，在直角三角形PDC中，DC·h＝ PD·PC，