25讲-压杆的临界载荷与临界应力

b
y
h b
x z
所以矩形截面压杆在支承情况相同时， 首先在xz 平面内绕 y轴失稳弯曲。
两个重要结果
（2）屈曲位移函数


C1 sin kx,已知K

n , n
l
1


C1
sin
x
l
称为屈曲位移函数
它表示两端铰支压杆承受临界力时的弹性曲线为 一半波正弦曲线。亦称为失稳波型或失稳形式。
两端铰支压杆失稳波形
临界力Fcr:压杆保持直线平衡构形的最大压力. 或者说:使压杆失稳(不能保持直线平衡构形)的最小 压力.
2、两端铰支细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡

若 p , 则压杆的弯曲变形为
EI d 2
dx2

M(x)

Fp
d 2 Fp
dx2
EI
(1)
x
解得 C2 0。于是（3）式为
C1 sin kx
(4)
当x l 时，A 0, 代入（4）
式后可得：C1 sin kx 0 (5)
若C1 0,则压杆轴线上各点的位移
都将等于零，这显然与压杆在微弯

状态下保持平衡的前提不符。
因此必须是 sin kl 0
液压缸顶杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸 顶杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 木结构中的压杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 脚手架中的压杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 桁架中的压杆
稳定问题:主要针对细长压杆 课堂小实验:横截面为26mm×1mm的钢尺,求其能承受的 Fmax=?
轴向压力，实际上应该是公式中的n=1 时的FP 值，即两端铰支压杆的临界力：
Fcr

n 2 EI l2
欧拉公式
对欧拉公式
Fcr

n2EI 中 I 如何确定？ l2
来自百度文库
∵当各个方向的支承情况相同时，压杆总是在抗弯
能力最小的纵向平面内弯曲
I Imin
y
F h
xF
b z
例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？
第二十五讲 压杆的临界载荷与临界应力 湖南理工学院——曾纪杰
一、压杆稳定的概念与实例 二、两端铰支细长压杆的临界力 三、杆端约束的影响 四、不同类型压杆的临界力、临界应力总图 五、压杆的稳定计算 六、提高压杆稳定性的措施
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 压杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
1mm
如何判断压杆的稳定与不稳定? 平衡构形—压杆的两种平衡构形：
F<Fcr : 直线平衡构形 F>Fcr : 弯曲平衡构形
稳定性:压杆在外力作用下保持其直线平衡构形 的能力
失稳与屈曲? 在扰动作用下,直线平衡构形转变为弯曲平
衡构形,扰动去除之后,不能恢复到直线平衡构 形的过程,称为失稳或屈曲.
满足 sin kl 0的条件
kl 0, ,2,3 n
k nπ (n为正整数） l
由此得到两个重要结果:
(1)临界力:
K 2 FP EI
又 K n
l
FP

n2 2EI (6)
l2
对于公式
FP

n2 2EI 的分析讨论
l2
要使压杆有可能在微弯状态下保持平衡的最大
Fp
l
2l
1） 一端固定，一端自由
Fcr

2EI
4l 2
0.7l 0.5l
2） 两端固定的情况
D C
同理 M C 0, M D 0
F
cr
=
2EI
（0.5l）2
3） 一端固定，一端铰支的情况
BC段,曲线上凸,
1 0;

0.7l
C w
CA段,曲线下凸, 1 0

( 1

)C

0
即M C 0
F
cr
=
2EI
（0.7l）2
压杆两端约束情况不同时临界力的欧拉公式
F cr =
2EI
( l)2
——约束系数，
l——相当长度
一端自由，一端固定: ＝2.0
一端铰支，一端固定: ＝0.7
两端固定:
＝0.5
两端铰支:
＝1.0
令k 2

Fp , EI
则(1)式可以写成
d 2 k 2 0
dx2
（2）

此二阶线性常数齐次微分方程通解为
C1 sin kx C 2cos kx （3）
式中C1、C2、k为待定常数。
待定常数C1 、C2、K由边界条件确定
1)当x 0时,B 0, 代入（3）式，


C1
sin
x
l
当x

l 时，
2

C1
sin

2
max

C1
∴C1为压杆中点挠度
第十三章 压杆稳定/三、杆端约束的影响
上述两端铰支细长压杆二阶线性常数齐次方程 的解所得的两个重要结果及实践告诉我们：临界力、 失稳波型与杆端的约束情况有关。杆端的约束情况 改变了，边界条件随之改变，临界力也就有不同的 数值。当杆端为其他约束情况时，失稳波型及临界 力公式推导详见顾志荣、吴永生编《材料力学》下册 P349-P354
（绕哪个轴转动）
I y0z0 0 I y0
y0 , z0 为截面的主惯性轴（主轴）。 为截面对主轴 y0 的惯矩，称为主惯矩。
I z0
而
为截面对主轴 z0 的主惯矩。
I z0 Imax , I y0 Imin
y
对于矩形截面
Iz

1 12
bh3 ,
Iy

1 12
hb3
h
z
h b
Iz Iy
细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至 导致整个结构破坏.
2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工 程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡， 35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。
1、临界力的概念 压杆的压力逐渐上升,使压杆从稳定的平衡状态
向不稳定的状态质变的临界点,称为临界力,以 Fcr表 示.
F
l
26mm
若取l 2cm, 按屈服强度 s 235MPa计算，
Fmax 235 106 26 106 6110N
若取l 30cm, 按两端铰接方式使其受轴向压力, 当产生明显变形时，Fmax 180N
若取l 100cm,则产生明显变形时，Fmax 50N 若取l 200cm,则产生明显变形时， Fmax 12.80N