2020年全国中考数学压轴题全析全解(2)

2020年全国中考数学压轴题全解全析

11、（河北卷）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．

（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？

（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由． [解] （1）由题意知 CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ，

∴S △PCQ =

t t CQ PC 2462

1

2+-=⋅． ∵△PCQ 与△PDQ 关于直线PQ 对称，

∴y=2S △PCQ t t 48122+-=． （2）当

CQ

CP CA CB

=

时，有PQ ∥AB ，而AP 与BQ 不平行，这时四边形PQBA 是梯形， ∵CA =12，CB =16，CQ ＝4t ， CP ＝12－3t ，

∴

16

412312t

t =-，解得t ＝2． ∴当t ＝2秒时，四边形PQBA 是梯形．

（3）设存在时刻t ，使得PD ∥AB ，延长PD 交BC 于点M ，如图2，

若PD ∥AB ，则∠QMD =∠B ，又∵∠QDM =∠C =90°，

∴Rt △QMD ∽Rt △ABC ，

从而AC

QD AB QM =， ∵QD =CQ =4t ，AC ＝12，

AB

=20，

∴QM =

20

3t ． 若PD ∥AB ，则CP CM

CA CB

=

，得20412331216

t t t +

-=， 解得t ＝

12

11． ∴当t ＝12

11

秒时，PD ∥AB ．

（4）存在时刻t ，使得PD ⊥AB ．

P

图

2

图7

D 时间段为：2＜t ≤3．

[点评]这是一道非常典型的动态几何问题，考查相似形、图形变换等知识，难度比起2005年河北非课改区的那道压轴题略有降低，但仍保留了足够的区分度，在解第3小题时应当先假设结论存在，再根据已知求解，若出现矛盾，则说明结论不存在，第4小题应该通过画图来判断时间段。

12、（河北课改卷）图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD 都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O ．

如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH 的对称中心也是点O ，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O 不动，正方形EFGH 经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……），直到充满正方形ABCD ，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．

另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ 从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD 的内侧边缘按A →B →C →D →A 移动（即正方形MNPQ 从点P 与点A 重合位置开始，先向左平移，当点Q 与点B 重合时，再向上平移，当点M 与点C 重合时，再向右平移，当点N 与点D 重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．

正方形EFGH 和正方形MNPQ 从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x 秒，它们的重叠部分面积为y 个平方单位．

（1）请你在图2和图3中分别画出x 为2秒、18秒时，正方形EFGH 和正方形MNPQ 的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；

（2）①如图4，当1≤x ≤3.5时，求y 与x 的函数关系式；

②如图5，当3.5≤x ≤7时，求y 与x 的函数关系式； ③如图6，当7≤x ≤10.5时，求y 与x 的函数关系式； ④如图7，当10.5≤x ≤13时，求y 与x 的函数关系式． （3）对于正方形MNPQ 在正方形ABCD 各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y 的变化情况，指出y 取得最大值和最小值时，相对应的x 的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．

图6 D 图2 图3 D D 图4

D

图1 (P ) D 图5 D

[解] （1）相应的图形如图2-1，2-2．

当x =2时，y =3； 当x =18时，y =18．

（2）①当1≤x ≤3.5时，如图2-3，

延长MN 交AD 于K ，设MN 与HG 交于S ，MQ 与FG 交于T ，则MK =6＋x ，SK =TQ =7－x ，从而MS =MK －SK =2x －1，MT =MQ －TQ =6－（7－x ）= x －1． ∴y=MT ·MS =（x －1）（2x －1）=2x 2－3x ＋1．

②当3.5≤x ≤7时，如图2-4，设FG 与MQ 交于T ，则 TQ =7－x ，∴MT =MQ －TQ =6－（7－x ）=x －1． ∴y=MN ·MT =6（x －1）=6x －6．

③当7≤x ≤10.5时，如图2-5，设FG 与MQ 交于T ，则 TQ=x －7，∴MT =MQ －TQ =6－（x －7）=13－x ． ∴y = MN ·MT =6（13－x ）=78－6x ．

④当10.5≤x ≤13时，如图2-6，设MN 与EF 交于S ，NP 交FG 于R ，延长NM 交BC 于K ，则MK =14－x ，SK =RP =x －7，

∴SM =SK －MK=2x －21，从而SN =MN －SM =27－2x ，NR =NP －RP =13－x ． ∴y=NR ·SN =（13－x ）（27－2x ）=2x 2－53x ＋351．

（3）对于正方形MNPQ ，

①在AB 边上移动时，当0≤x ≤1及13≤x ≤14时，y 取得最小值0； 当x =7时，y 取得最大值36．

②在BC 边上移动时，当14≤x ≤15及27≤x ≤28时，y 取得最小值0； 当x =21时，y 取得最大值36．

③在CD 边上移动时，当28≤x ≤29及41≤x ≤42时，y 取得最小值0； 当x =35时，y 取得最大值36．

④在DA 边上移动时，当42≤x ≤43及55≤x ≤56时，y 取得最小值0； 当x =49时，y 取得最大值36． [点评]2006年河北课改卷的压轴题也是一道动态问题，但相比非课改卷出得更加新颖别致，

图2-4

D 图2-5

D P

图2-6 D

P 图2-3 D Q P 图

2-2 D 图2-1 D Q P