相交线 垂线

初一几何

第二章 相交线 平行线 第一单元 相交线 垂线

一、教法建议

【抛砖引玉】

上一章讲述了和直线有关的概念，以及两条射线共一端点所形成的图形（角），本单元重点讲述两条直线的位置关系和它们的性质。

这里每一概念的延伸，对初学者来说，都将是新知识新内容都很生疏，所以在教学过程中要调动学生学习的积极性，从小学已知的图形出发，给学生以表现机会，在学生充分发表所知的意见之后，教师给以总结引导，要学生注意画图要准确，语言要严密。

在讲述对顶角的性质时，渗透了两个内容：

⑴“对顶角相等”的推理过程；

⑵“对顶角相等”的条件和结论的式子符号表示。 如果这两个角是对顶角，那以这两个角相等。 即：∵∠1和∠4是对顶角（已知） ∴∠2=∠4（对顶角相等）

这种渗透是很有意义的，它将为以后的推理证明准备基础，因而要学生对此加强理解和认识，所以本节教学应当以直观认识为主，渗透推理证明的逻辑思想，掌握图形性质语言叙述的式子表达。

在讲述垂直、垂线和垂线性质时，要学生画图，对照文字叙述去理解有关定义和性质。这里，点到直线的距离是教学的难点。讲明垂线段的定义，并与两点

两条直线的位置关系 相交 斜交──对顶角一对顶角的性质

垂直──垂线──垂线的性质

平行 三条直线所形成的相关角 同位角 内错角 同旁内角

间距离进行对比。两点间的距离是（任意）“两点间线段的长．”，点到直线的距离是“一点”到“垂足”之间线段的长．。

【指点迷津】

为学生指点疑难，澄清易混概念。

⑴区分对顶角定义和对顶角的性质两个不同概念，学生初学时，常从字面上理解“对顶”，这是不科学的，理解数学概念，要从定义出发，掌握它的基本属性；

⑵区分好垂直和垂线的概念，垂直说的是两条直线的位置关系，垂线是两条直线在特定条件的名称；

⑶让学生认识标准图形变式图；

⑷充分理解点到直线的距离和两点间的距离；

⑸认识“三线八角”的关键是要找到哪两条直线被哪条直线所截，然后才能从其位置关系上来确定同位角、内错角和同旁内角。

二、学海导航

【学法指要】

⑴要明确定义具有“判定”和“性质”两方面的作用

初学几何，要把基础弄清楚，对几何的概念，要做到语言叙述、图形、式子表达三者统一认识，同时，要明确几何图形的定义，具有“判定”和“性质”两方面的意义，如：

角平分线定义表示为（见图1） ∵OC 是∠AOB 的平分线

∴∠AOC =∠COB （或∠AOC =2

1∠AOB ） 反之

∵∠AOC =∠CO B （或∠AOC =21∠AOB ）

则OC 是∠AOB 的平分线。

对顶角定义“一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角”

⑵要理解点到直线的距离

理解概念，要从定义出发，定义是反映概念最基本的属性，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．．．．．．，叫点到直线的距离，”距离是指长度，点到直线的距离是指一条线段的长度，什么样的线段呢？从这点到直线作垂线，这点到垂足之间线段。这条垂线段的长度，就是点到直线的距离。具体表示出来是一个正数，而不是一个图形，但这个概念可以通过具体图形来表示。

垂线段PM 表示点P 到直线AB 的距离（图2）。 ⑶用比较法认识图形

初学者在辨认某些图形时较为困难，因而采用比较的方法，让正位图形与变式图形进行比较进行判断。如 从图3中I 图的正位图形，去认识II 图中的同位角、内错角和同旁内角。

II 图，AB 、CD 被AD 所截，∠5和∠ADC 是同位角；

AB 、CD 被DB 所截，∠1和∠4是内错角； AB 、CD 被BC 所截，∠DCB 与∠ABC 是同旁内角。

【思维基础】 一、填空：

⑴一个角的两边分别是另一个角的两边的______叫做对顶角。

⑵如图4，直线AB 、CD 相交于O ，如果∠1=30︒，那么∠2=_____，根据___________；∠AOC =_______，根据_____________。

⑶如图5，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，∠1的对顶角是_______；∠FOA 的对顶角是______；

∠如果∠1=40︒，∠2=20︒，则∠AOD =___________； 图中共有______对对顶角。

⑷两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中的一条直线______________。

⑸经过一点有______直线与已知直线垂直。

⑹直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，__________________。 ⑺从直线外一点到这条直线的___________，叫做点到直线的距离。 ⑻如图6，∠1和∠C _______角；∠2和∠D 是_______角；∠3和∠D 是_______角；∠2和∠3是______角，直线AB 、CD 被ED 所截的同旁内角是_____和_____。 二、判断题：

⑴两条直线相交，就产生对顶角。（ ） ⑵直线的垂直平分线也叫中垂线。（ ） ⑶对顶角的余角相等。（ ）

⑷两条直线相交，如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。

【精典题解】

⒈填注理由（图7） ⑴∵AO ⊥OB 于O

∴∠AOB =90︒（ ） ⑵∵∠AOB 是直角

∴∠AOB =90︒（ ）

⑶∵∠AOC 与∠BOC 互为余角， ∴∠AOC +∠BOC =90︒（ ） ⑷∵BO ⊥OA （已知）

∴∠BOA =90︒（① ） 即∠AOC +∠BOC =90︒

∵OE 平分∠BOC （已知） ∴∠EOC =2

1∠BOC （② ） ∵OD 平分∠COA （已知） ∴∠DOC =2

1∠COA （③ ） ∵∠AOC +∠BOC =90︒ ∴21∠AOC +2

1∠BOC =45︒

思考：⒈括号内要填写哪些内容？为什么？ ⒉请你叙述角平分线定义，垂直定义。 思路分析：学习数学要讲“理”，学习代数与学习几何过程讲“理”的表现形式不同，在学习几何讲“理”的最简形式就是“∵，∴”。因为说是条件，所以说的是结论，有原因才得结果，填理由，就是填上根据什么才能得到结果。这个根据就是“已知”、“定义”、“图形性质”等等。

常常有不同的依据而得出相同结论，如上例中⑴、⑵、⑶就是如此。

⑴因为有了两直线垂直才得到了∠AOB =90︒，所以它的理由是“垂直定义”。 ⑵因为∠AOB 是直角，才有∠AOB =90︒，所以填注的理由应该是“直角定义”。 ⑶因为∠AOC 与∠BOC 互为余角，才有∠AOB =90︒，所以应填注的理由是“互为余角定义”。

⑷由上述分析，阅读本题，填注理由就不困难了。①垂直定义；②角平分线定义；③角平分线定义。

⒉选择题（图8）OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，则（ ）

(A)∠1=∠2 (B)∠2=∠3 (C)∠1=∠3 (D)以上都不对

思考：⒈互为余角的两角有何关系？

⒉你会用数学式子表示互余角的关系吗？举例说明。

思路分析：观察图形和已知条件，并相对照，然后思考，∠1和∠2是什么关系？∠2和∠3是什么关系？

∠1和∠2互为余角，你知道为什么吗？ ∠2和∠3互为余角，你知道为什么吗？ 互为余角的角，有什么数量关系？

∵OA ⊥OB （ ） ∴∠AOB =90︒（ ） 即∠1+∠2=90︒ ① ∵OC ⊥OD （ ） ∴∠COD =90︒（ ） 即∠2+∠3=90︒ ②

比较①和②两式可知∠1=∠3 所以正确答案该选择(C)

小结：这就证明了“同角的余角相等”。