沪教版(上海)数学高二上册-向量的坐标表示及其运算实用课件课件
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沪教版(上海)数学高二上册-8.1 向量的坐标表示及其运算 课件
O
x
由AB DC得： (1，2) （3 x，4 y)
x2 y2
顶点D的坐标是(2，2).
问题解决
视频中，两位女生正各用50N、夹角为60的力提起一桶水， 如果“雷锋”去帮忙,一个人提起这桶水，至少需要多大的力？
y
F2 F1
O
x
解:如图,以O为坐标原点建系，OF1 (25, 25 3),OF2 (25, 25 3) OF OF1 OF2 (0，50 3),| OF | 50 3( N )
( x2 , y2 ) ( x1, y1)
O
x
Q
探究三：平面向量的坐标运算
已知a ( x1, y1 )，b ( x2 , y2 )， R， 试探究a b、a b、a的坐标. 解：a b ( x1 i y1 j) ( x2 i y2 j)
=( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
(1)求 AB的坐标以及 AB的单位向量 a0； (2)若四边形ABCD为平行四边形，求D的坐标.
解：(1)AB (1 (2)，3 1) (1，2) y
a0
|
AB AB
|
1 (1，2) ( 5 ，2 5 )
5
55
C B
D
(2)设顶点D的坐标为( x，y)，
A
则DC (3 x，4 y)
方向相同的两个单位
a
b
P
向量叫做基本单位 向量，分别记作i和 j
jM
N
i
x | i || j | 1
MN 2i
d
PQ 3 j
c
探究一：能否将相等向量“归一”？
(2)位置向量
y
在直角坐标系内，将a的起点
a
沪教版(上海)数学高二上册-8.1 向量的坐标 课件 优秀课件PPT
与 a同向的单位向量
a0
显然，有 0 0,0
a1 , a12 a22
a2
a12 a22
例1、设O是坐标原点，A(3,－1)，B(－1,－1) （1）求 OA 3AB 的 2模OB （2）xOA yOB， 2求A实B 数x,y
例2 已知不同两点 P1 、P2 的坐标分别为（x1 ，y1）、
y
P1 O
P2 P
x
0
y
P1 O
P P2
x
1
y
P2 P P1
O
x
1 0
y
P P1
O
P2
0
x
y
P2
1 P1 P
O
x
例3、已知三角形顶点是 A(x1,、y1) B(、x2, y2 ) C(x3, y3)
求 的AB重C心 的G坐(x标, y)
解：设 D为BC的中点，则点 D的坐标为( x2 x3 , y2 y3 )
y
OP OP1 OP2 x i y j
x, y
OP2
P2(0, y j
y) j
P(x, y)
O
i
x P1 ( x,0)
OP1 x i
任意向量的坐标
P(x1, y1) Q(x2 , y2 )
y
PQ OM x, y x2 x1, y2 y1
y2
Q
y1
P
y
M (x, y)
O
x1 x
x2 x
向量的坐标运算
设 ：
a
ab
ab
ka
a1i a2 j b b1i b2 j
(a1
b1
)i
(a2
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（1）若A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处， 队员D位于距EF边2米,FG边5米处.你能确定此时队员 C的位置吗？
(2)若A距EF边2米距FG边1米处，B在距EF边6米距FG边3米 处，D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的 位置吗？
E
HE
H
C
D
C
8m
D 8m
B
AB
F
10m
图1
若PQ (4,3),求它的单位向量a0
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。
沪教版数学高二上册-向量的坐标表示 及其运 算(1)p pt下载 【PPT 教研课 件】
我来试一试
1.如图 : 写出a、b、c坐标
2.设a (1,2),它的起点坐标(2,1),求向量的终点坐标; 若终点坐标为(2,1), 起点坐标为多少?
3. 已知a＝（ － 2，3），b＝（1，－5），求 3a－b，b－3a的坐标
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例2.设P(x1, y1)、Q(x2 , y2 ),如何用P、Q的 坐标来表示PQ ？
结论
一个向量的 坐标等于此向 量的终点的坐 标减去起点的 坐标。
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G F1 F2叫做把重力G分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量 正交分解。
(2)若A距EF边2米距FG边1米处，B在距EF边6米距FG边3米 处，D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的 位置吗？
E
HE
H
C
D
C
8m
D 8m
B
AB
F
10m
图1
若PQ (4,3),求它的单位向量a0
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。
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我来试一试
1.如图 : 写出a、b、c坐标
2.设a (1,2),它的起点坐标(2,1),求向量的终点坐标; 若终点坐标为(2,1), 起点坐标为多少?
3. 已知a＝（ － 2，3），b＝（1，－5），求 3a－b，b－3a的坐标
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例2.设P(x1, y1)、Q(x2 , y2 ),如何用P、Q的 坐标来表示PQ ？
结论
一个向量的 坐标等于此向 量的终点的坐 标减去起点的 坐标。
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G F1 F2叫做把重力G分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量 正交分解。
(上海)数学高二上册-8.1 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
向量的坐标表示及其运算（1）
复习回顾
b
a a+b a b
b a a+b
练习：
C
？
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
j
i
A
概念
C
j i
向量的坐标表示的运算
y C(-1,3)
B(-3,2)
O
D
A(2,1) x
课堂小结
• 通过本节课的学习，你收获了什么？
瀑布对悬崖无可畏惧，所以唱出气势磅礴的生命之歌。 平时没有跑过千米，比赛时就难以进行一百米的冲刺。 要想吸引朋友，须有种种品性。自私小器嫉忌，不喜欢成人之美，不乐闻人之誉的人，不能获得朋友。——马尔顿 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。 一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。 你要结交敢于指责你缺点，当面批评你的人，远离恭维你缺点，一直对你嘻嘻哈哈的人！ 好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
从长远利益考虑，让孩子从小适度地知道一点忧愁，品尝一点磨难，并非坏事，这对培养孩子的承受力和意志，对孩子的健康成长或许更有好 处。——东方 时间不一定能证明很多东西，但是一定能看透很多东西。 想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进货的源泉。——爱因斯坦 痛苦源于欲望。 快乐的人帮助别人，积极人的肯定自己。——王修强
复习回顾
b
a a+b a b
b a a+b
练习：
C
？
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
j
i
A
概念
C
j i
向量的坐标表示的运算
y C(-1,3)
B(-3,2)
O
D
A(2,1) x
课堂小结
• 通过本节课的学习，你收获了什么？
瀑布对悬崖无可畏惧，所以唱出气势磅礴的生命之歌。 平时没有跑过千米，比赛时就难以进行一百米的冲刺。 要想吸引朋友，须有种种品性。自私小器嫉忌，不喜欢成人之美，不乐闻人之誉的人，不能获得朋友。——马尔顿 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。 一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。 你要结交敢于指责你缺点，当面批评你的人，远离恭维你缺点，一直对你嘻嘻哈哈的人！ 好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
从长远利益考虑，让孩子从小适度地知道一点忧愁，品尝一点磨难，并非坏事，这对培养孩子的承受力和意志，对孩子的健康成长或许更有好 处。——东方 时间不一定能证明很多东西，但是一定能看透很多东西。 想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进货的源泉。——爱因斯坦 痛苦源于欲望。 快乐的人帮助别人，积极人的肯定自己。——王修强
(上海)数学高二上册-8.1 向量的坐标表示及其运算 课件 _2
方向相同的两个单位
a
b
P
向量叫做基本单位 向量，分别记作i和 j
jM
N
i
x | i || j | 1
MN 2i
d
PQ 3 j
c
探究一：能否将相等向量“归一”？
(2)位置向量
y
在直角坐标系内，将a的起点
a
置于坐标原点O，作OA=a , 我们将
A
OA叫做a的位置向量.
j
Oi
x
如何用基本单位向量i和 j表示位置向量OA?
我学到了什么？
课堂小结
几何
向量的坐标表示
1.平面向量的坐标 2.平面向量的坐标运算
(1)a b ( x1 x2，y1 y2 ) (2) a ( x1， y1 )
数
转
形
化
结
思
合
想
代数
向量坐标，动中不动以数驭形 悟空百变，腾云驾雾不出佛手
2020/12/3
•20
视死若生者，烈士之勇也。 你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。 你希望掌握永恒，那你必须控制现在。 每个企业家都有自己的特色和风格，但他们还有共同的特征，那就是：有正确的判断力，有决心，敢于创新，勤奋工作。 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐;只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。 不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。 山路曲折盘旋，但毕竟朝着顶峰延伸。
j
x
Q
Q(5, 2)
d
P(3, 5)
c
探究二：任意向量的坐标
问题：已知点P( x1，y1 )，Q( x2，y2 )，探求PQ的坐标与 点P、Q的坐标之间的关系？
(上海)数学高二上册-8.1 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
向量的坐标表示及其运算（1）
复习回顾
b
a a+b a b
b a a+b
练习：
C
？
B
C
j
Hale Waihona Puke iA概念C
j i
向量的坐标表示的运算
y C(-1,3)
B(-3,2)
O
D
A(2,1) x
课堂小结
• 通过本节课的学习，你收获了什么？
古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼 管你信不信，原本花心的人到最后最痴情，原本专一的人到最后最绝情。 爱生而败仁者，其下愚之得欤？ 知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子 有人将你从高处推下的时候恰恰是你展翅高飞的最佳时机。 要了解一个人，只需要看他的出发点与目的地是否相同，就可以知道他是否真心的。 随缘不是得过且过因循苟且，而是尽人事听天命。 过也，人皆见之；更也，人皆仰之。——《论语·子张》 过去一切时代的精华尽在书中。——卡莱尔 当你知道迷惑时并不可怜，当你不知道迷惑时，才最可怜。 时间不一定能证明很多东西，但是一定能看透很多东西。 知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。——《论语·子罕》
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思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
4
3
N2
2j
1
j
-2
Oi
-1
-2
-3
P（3，2）
2
M
4
6
3i
那么，对于任一位置向量，能否用基本位置 y
向量 i 、j 来进行表示呢？
N
OA OM ON xi y j
a
A (x, y)
j
OA xi y j
Oi
Mx
在上式中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j
二、向量的坐标运算
练习：a 2,3b 1,3则2a 3b
3a b
4，平面内任意两点间的向量的坐标：
如图，设P(x1, y1) 、 Q(x2, y2)是平面直角坐标系内的 任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量PQ？
y Q(x2, y2)
PQ OQ OP
O
x ( x2 i y2 j ) ( x1 i y1 j )
y
B(-3,2)
4
C(-1,3)
3
2
D(x,y)
1
-6
)
2
4
x
6
-2
-3
-4
即
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j
P(x1, y1)
PQ ( x2 x1, y2 y1 )
结论：任意向量坐标 = 终点坐标 - 起点坐标
例2：已知平行四边形ABCD三个顶点A, B,C的坐标
分别为(2，1),(3, 2),(1，3)，①求 AC, BC的坐标；
②求顶点D的坐标。
分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为i、j 的线
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沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
例3.
已知平行四边形ABCD的三个顶点
A、B、C的坐标分别为（－2，1）、
（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐
标
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
1.基本单位向量、位置向量
我们称平面直角坐标
系中，方向与x轴和y
轴正方向分别相同的
N
两个单位向量叫ห้องสมุดไป่ตู้基
本单位向量，
M
分别记为 i, j
，如图，称以原点O为起点的向量叫位置向量
y
yj a
j O i xi x
图1
其中xi为x→i，yj为y→j
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
小结
一个概念 三种运算
思考:两个相等的向量,它们的坐标分别对应相 等;两个平行向量的坐标之间又有何关系?
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
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位置向量的坐标表示
y
OA xi y j
y A（x,y） ja
(x, y)
Oix
x
位置向量的坐标
就是它终点的坐标
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
例1.如图 : 写出a、b、c坐标
a OA (1,2) b OA (1,2) c OB (1,2)
思考:有没有不通过位置
向量，直接就能写出任意
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
向量的坐标的方法呢？
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
我来试一试
1.如图 : 写出a、b、c坐标
2.设a (1,2),它的起点坐标(2,1),求向量的终点坐标; 若终点坐标为(2,1), 起点坐标为多少?
3. 已知a＝（ － 2，3），b＝（1，－5），求 3a－b，b－3a的坐标
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
沪教版（上海）数学高二上册- 向量的坐标表示及其运算(1) 课件
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已知a=(x,y)和实数λ，那么 λa= λ(x, y)=(λx, λy)
这就是说，实数与向量的积的坐 标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
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例2.设P(x1, y1)、Q(x2 , y2 ),如何用P、Q的 坐标来表示PQ ？
结论
一个向量的 坐标等于此向 量的终点的坐 标减去起点的 坐标。
（1）若A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处， 队员D位于距EF边2米,FG边5米处.你能确定此时队员 C的位置吗？
(2)若A距EF边2米距FG边1米处，B在距EF边6米距FG边3米 处，D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的 位置吗？
E
HE
H
C
D
C
8m
D 8m
B
AB
F
10m
图1
G
A F
10m 图2
G
平面向量的坐标表示及其运算(1)
我们要学习
1、向量的正交分解与平面向量的坐标表示 2、平面向量坐标的三种运算
G F1 F2叫做把重力G分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量 正交分解。
我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用它 的坐标(一对有序实数)表示，对直角坐标平面内的任一 向量，会有类似的表示形式吗？
若PQ (4,3),求它的单位向量a0
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。
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例3.
已知平行四边形ABCD的三个顶点
A、B、C的坐标分别为（－2，1）、
（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐
标
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1.基本单位向量、位置向量
我们称平面直角坐标
系中，方向与x轴和y
轴正方向分别相同的
N
两个单位向量叫ห้องสมุดไป่ตู้基
本单位向量，
M
分别记为 i, j
，如图，称以原点O为起点的向量叫位置向量
y
yj a
j O i xi x
图1
其中xi为x→i，yj为y→j
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小结
一个概念 三种运算
思考:两个相等的向量,它们的坐标分别对应相 等;两个平行向量的坐标之间又有何关系?
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位置向量的坐标表示
y
OA xi y j
y A（x,y） ja
(x, y)
Oix
x
位置向量的坐标
就是它终点的坐标
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例1.如图 : 写出a、b、c坐标
a OA (1,2) b OA (1,2) c OB (1,2)
思考:有没有不通过位置
向量，直接就能写出任意
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向量的坐标的方法呢？
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已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
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我来试一试
1.如图 : 写出a、b、c坐标
2.设a (1,2),它的起点坐标(2,1),求向量的终点坐标; 若终点坐标为(2,1), 起点坐标为多少?
3. 已知a＝（ － 2，3），b＝（1，－5），求 3a－b，b－3a的坐标
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即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
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已知a=(x,y)和实数λ，那么 λa= λ(x, y)=(λx, λy)
这就是说，实数与向量的积的坐 标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
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例2.设P(x1, y1)、Q(x2 , y2 ),如何用P、Q的 坐标来表示PQ ？
结论
一个向量的 坐标等于此向 量的终点的坐 标减去起点的 坐标。
（1）若A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处， 队员D位于距EF边2米,FG边5米处.你能确定此时队员 C的位置吗？
(2)若A距EF边2米距FG边1米处，B在距EF边6米距FG边3米 处，D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的 位置吗？
E
HE
H
C
D
C
8m
D 8m
B
AB
F
10m
图1
G
A F
10m 图2
G
平面向量的坐标表示及其运算(1)
我们要学习
1、向量的正交分解与平面向量的坐标表示 2、平面向量坐标的三种运算
G F1 F2叫做把重力G分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量 正交分解。
我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用它 的坐标(一对有序实数)表示，对直角坐标平面内的任一 向量，会有类似的表示形式吗？
若PQ (4,3),求它的单位向量a0
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。
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