函数最值求法及其若干应用

摘 要:函数最值问题是一类特殊的数学问题，而有关函数最值问题的求法就是与函数性质和特点密切相关的重要知识点。在中学教学中函数最值问题对有的学生来说是难以解决的，有的甚至不知如何下手，于是对函数最值问题求法进行了归纳、总结。但由于它涉及的知识面宽、方法灵活、应用广泛，且在许多实际问题中，经常会提出在一定条件下，运费最省、利润最大、成本最低、投资最省等问题。而这些问题在数学上就是函数的最大值和最小值问题。
关键词: 函数最值求法 ， 应用
The function most value calculation methods and some applications
Wu Yun-tao
(Class ( 1 ) Grade 2013，Mathematics and applied mathematics，
School of Mathematical Science)
Abstract: the function most value problem is a special kind of math problem, and the function of the method to get the most value problems is closely related to nature and characteristics of function important knowledge points. In the middle school teaching function most value problem that is difficult for some students, some even don't know how to start, so the function has carried on the induction, summarizes the most value problem solution. But because it involves a wide range of knowledge, methods, flexible and widely used, and in many practical problems, often put forward under certain conditions, the maximum profit, the lowest cost, the problem such as investment in the province, transportation, the shortest. And these problems in mathematics is the function of the maximum and the minimum problem.
Key words: function most value are given , the application
1.引言
随着新课标的不断完善，函数的最值问题也越发的变得重要；它不仅是中学教学的重点，亦是解决一些实际问题的必要手段。因此本文归纳总结了六种函数最值的求法及其在实际生活中的应用。
选题背景： 在函数最值问题中，尤其是多元函数，涉及到的量比较多，在求解某类形式上比较
复杂的函数的最值问题比较困难。而且最值问题是在生产、科学研究和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及工业、农业、交通运输、经济管理以及生活的各个方面的最优问题。例如，最优计划、最优分配等最值问题，具有实际应用价值。目前国内函数最值主要的求解方法有配方法、判别式法、不等式法、换元法、数形结合法、求导法等等方法。
研究意义：函数最值问题是一类特殊的数学问题，而有关函数最值问题的求法就是与函数性质和特点密切相关的重要知识点。在中学教学中函数最值问题对有的学生来说是难以解决的，有的甚至不知如何下手，于是对函数最值问题求法进行了归纳、总结；通过挖掘其内在联系，达到熟悉掌握并且应用它来解

决问题。
它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用；比如最大利润问题，利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件下，如何安排生产才能获得最大利润，这是企业管理的一个现实问题。而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，在高考中，它经常与三角函数、二次函数、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。
2.求函数最值的方法
由于函数最值问题是一类特殊的数学问题，而且有关函数最值的求法就是与函数性质和特点密切相关的重要知识点，并且它涉及的知识面宽、方法灵活、应用广泛，所以对函数最值问题的求法进行了归纳、总结得出如下几种。
2.1 求导法
求导法就是应用导数的定义求函数最值。
最值定理：在闭区间[a,b]上连续的函数?(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
连续函数的最值就是通过比较?(x)在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值来得到。
例1 求函数?(x)=∣x3 - 9x2 + 15x∣在闭区间 [-]上的最大值与最小值。
解 函数 ? 在闭区间[-]上连续，故必存在最大最小值。由于

?(x) = ∣x3 - 9x2 + 15x∣

= ∣x(x2-9x+15)∣


因此
(x)

又因为(0-0)=-15 +0
所以由导数极限定理推知函数在x=0处不可导。求出函数?在稳定点x=1,5（舍） 不可导点x=0,以及端点x= 的函数值
?(1)=7 ， ?(0)=0 ， ?()= ，?()

所以函数? 在x=0处取最小值0，在x= 处取最大值.
说明：若函数?的最大（小）值点x0在开区间（a,b）上，则x0必定是?的极大（小）值点.又若?在x0可导，则x0还是一个稳定点. 所以我们只要比较?在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值就能找到最大值与最小值。[1]
2.2 函数性质法
利用函数的一些基本性质：单调性、奇偶性、有界性和周期性来解决一些函数的最值问题。
有界性：如果存在正数M，对于 为定义在D上的函数，使得 ，称为在D上的有界函数。
单调性：设区间I上可导，若(x)（），则函数在区间I上单调递增（或单调递减）。
例2 求 y= 的最值.

解：y=
=2()
=2()
=2
所以当 即 =+ ,k ymax= 2 .
当 即 =+ ,k ymin= -2
说明：此类函数较为简单，能够一眼看出题目的解题思路；也就是将函数表达式化为只含一个三角函数的式子，然后再利用三角函数的有界性求解即可。
例3 已知函数 ,x 求函数的最大值和最小值。
解：= =x+2+
令g(x)= + 则 =g(x)+2

因为 g(x)在[-，-1]上单调递增 ；在[-1，0)上单调递减
所以当x 时g(x)最大值为g(-1)=-2 ,最小值为g(-5)=-.
故f(x)在[-5，-1]上最大值为-2+2=0，最小值为-+2=-
2.3 换元法
换元就是根据函数表达式的特点，将某一部分看作一个整体或者用一个新变元来代替，达到化繁为简，从而使问题得解。[2]
2.3.1直接换元
例4 求函数 y= 2 的最大最小值 .

解： 令 p= 则p[-,],且 y=()+p =(p+)2-；
所以p=时ymax=1+ ； P= 时ymin=1-
说明：此类函数较为简单，能够一目了然的看出函数的解题关键；也就是把看为一个整体即p=，然后两边平方，在利用配方法求解最值。
2.3.2三角换元
例5 求函数 y = 的最值 .
解：函数定义域为[2，3]，而(）2+2= 1
令 ,(0t)
则 y= ,()
因为 ； 所以
故 当t=0时ymin=1； t 时ymax=
说明：此类函数就是以()2+()2=1 为突破口，转化为 的形式；在通过三角函数的变换，把两个三角函数转化为一个三角函数并用三角函数的有界性求解。
2.4 向量法
利用向量的数量积求函数的最值，可以使一些特殊函数的最值问题变得思路清晰，解题方法简捷巧妙。
例6 当t为何值时函数 S = 有最小值，并求最小值.
解: 将函数变形为 S =
设 a=(t-3,2), b =(t-4,-3) 则有
S =
= =
当且仅当a与b反向 即 =< 0 ，时取等号. 所以t=时 smin =
说明：因函数S =含有无理式，直接计算较为复杂则利用向量的数量积来解。
2.5 均值不等式法
均值不等式： (当且仅当时等号成立)
求解时首先判断是否满足不等式条件一正二定三相等，然后在通过一些配凑技巧转化为均值不等式的形式进行解答。[3]
例7 已知x、yR+且2x+y=1,求u = 的最小值。
解：u =)(2x+y)
=2x
=10+ 10+ = 10+6 = 16
当且仅当 即 x = , y = 时等式成立 ； 所以 u的最小值为16 .
说明：本题不能将u = 直接用均值不等式求值，需巧妙的运用1=2x+y使u=u(2x+y)从而让题目迎刃而解。
例8 已知x< 求函数y=2x-3+ 的最大值。
解：因为 x< 所以 2x-7<0 ； 故 7-2x>0 .
所以 y=2x-3+ =4-[(7-2x)+] 4- =4-10=-6
当且仅当 = 即x=1或x=6(舍)时等式成立。 故 当x=1 时ymax = -6
说明：本题的关键在于构造条件，因为满足均值不等式的条件就是>0，而当x< 时2x-7<0 须化负为正；所以将（2x-7）化为（7-2x）然后通过拆添配凑使其积为常数。
2.6 线性规划法
线性规划：求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，使某个目标函数达到最大或最小。这些约束条件都可以用一组线性方程或线性不等式来表示，可行解就是满足约束条件的解，可行域就是所有的可行解构成的集合。
例9 已知 ,z=x+4y 求z